Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 201

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 5. УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

439

В силу неравенств (5.5) и условия 2° для функций ¥

и ¥

из класса С (р, г|) имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II h(t,

z,

¥ (t, г), E ) ~ h

(t,

zL

¥

(t,

z),

e) fl <

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

k ( f z - z l

+

\\V(t,

 

 

 

 

 

z ) | | ) <

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< ^ (1

+ TJ) iг — z\\ +

k8,

 

 

 

||i;(^

z,

¥ (f, z), z ) — gi{tL z,

 

¥ (/,

z), e)||<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< М 1 1 г -г(| +

||¥((,

5 ) - ¥ ( ( ,

г )||)<

 

 

 

где

 

 

 

 

А,

 

 

 

 

 

 

(1

+

т]) Iг —

г I -j-

Яб

(t =1,

 

 

 

¥

(t, z), e) = h (t,

 

 

y1 -i- ¥ (/,

 

 

 

e),

 

 

h(t,

z,

X,

 

x,

y L),

 

 

g(t,

z,

¥

(t, z), e) = g(t,

X,

yl +

¥

(t,

X,

yx),

e),

 

 

 

 

 

 

 

gi = p ig (г = 1 , 2 ) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 = sup 1 ¥ (t,

X,

yx) — ¥ (t,

X,

yx) |.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t.x,yt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полагая

в

этих неравенствах

¥

=

¥ ,

убеждаемся,

что

правые

 

части

уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

“2Р

= h(t, X,

ух- f

¥

(/,

 

X,

ух),

е),

 

 

 

 

 

 

8 -ЗГ

=

АіУі +

8 (*,

х> Уі +

У (t,

X,

ух),

г)

 

 

 

удовлетворяют

условию

Липшица

относительно

вектора

z = (х, ух) с постоянной, не зависящей от t. Поэтому урав­

нения

(5.7)

в пространстве В1 X В\ обладают

 

при каждых

А) €

zo =

(х0, Ую) € В1 X В\

 

единственным

решением,

которое обозначим через

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zt =

Z (t0, s, г0/¥),

 

s = t — t0

(zt =

(xt,

уlt)).

 

 

Оценим разность zt — zt, где zt — Z (t0, s,

z0|¥ ).

Из урав­

нений

(5.7)

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

; ________ ____

 

 

 

I

 

g)

xt — xt = x0 — x0+ ) [h (V, z„, ¥

(v, z0), e) — j

^

 

 

 

 

 

 

— h(v,

zv, ¥(n,

zv),

e)]dv,

 

 

 

440 гл . V III. МНОГООБР. УР-НИЙ Б БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Уи Уи

е

-

Уи>) ~Ь

 

(Уіо

 

 

1 A l (t

V

 

(5.8)

+ “ И

е 8

’ [ &

(V, г0, V (V, zv), е) —

 

to

— gl (V, V (V, г„), в)] dv.

Отсюда, учитывая неравенства (5.4) — (5.6), находим

V t

—

*

t

а—ß

N e

 

 

 

 

\

<

 

20ll +

 

 

+

 

к + Ж е ^

 

 

[(1 +n)l|z0 — z0H - 6 jd o <

 

 

1

г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а—ß

 

 

 

 

 

 

 

<

Ne

 

\t-to\ -

 

 

 

 

 

 

 

І

11*0— Zoll +

 

 

 

 

 

 

 

.

«—ß ..

,

 

 

 

 

+ {k +

KN ^

Г

- г - I*-»! [(1 + n)[|ZtIZt)|| +

6jdO.

 

 

 

 

 

 

 

*0

 

 

 

Рассмотрим случай t >• ta. Положим для краткости

 

 

 

 

 

 

а—ß

 

 

XN

 

 

^ t ~ l zt ~ zA e

6 .

 

 

 

s = t ~ t 0, x 1^ k

 

 

 

 

t r

 

 

 

 

-(О—Оо)

(5.9)

 

1 (0 =*

f

(1 +

“П)

 

 

 

 

~b öe

dv

 

 

 

 

to

 

 

 

 

 

 

 

и перепишем предыдущее неравенство в виде

 

 

 

 

 

 

 

Дг =

ІѴДо +

Ѵ (0 -

(5.10)

В силу соотношений (5.9), (5.10), функция / ( і ) удовлетворя­

ет неравенству

а—ß

4 < ( 1 + Л ) [А^Д0 + V I + ße"

или

а—ß

d/

НГ-М1+л)/<Л(1+»1)А0+ «е

откуда

— [/ß-^id+4)s] N (1 -j- Tj) Д0е-я‘(1+ч)« -j- ge

{§ 5. УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

441

Проинтегрируем полученное соотношение в пределах от t0 до t. В результате получим

 

NД,

[1 _

e -M l+T])s] -р

 

/ g - M l+ 4 ) s ^ ; .' ,ц о

 

 

К

 

 

 

- | M I+TI)+?CJLS

 

+

 

6

 

 

(1 + В) +

а — ß

И.

 

 

 

Следовательно, имеем

 

 

а—ß "

 

 

 

 

 

1(f) <

4 ^

-

і і - ь

6

g^i(l+4)s — g 8

 

К

 

*J 1

К (1 +ЛН

и неравенство (5.10) можем записать в виде

 

 

 

 

 

а—ß

At <

NЛ0 + NA0 [еМі+ті>* -

1] +

б gX>i(l+T))s_^

1+ Hi

Отсюда, учитывая соотношения (5.9), окончательно полу­ чаем

(Н-ч)4-:a - ß l

■Z0II4*

 

 

 

\zt -Z t\\< N e

~

J S

 

 

 

 

+

■1+ Г)

1^i(H-4)+~~js

.

(5.11)

 

 

 

 

 

Аналогично находим такую же оценку при t С t0.

Пусть

 

 

 

А

 

 

 

 

 

0(0 =

е

e tP t,

t >

0,

 

 

А

 

 

 

 

 

 

 

 

е в

РГ,

 

t <

0.

 

 

В силу условия 1 °, нетрудно получить следующую оцен­

ку:

 

 

_

a +ß

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где N и ß — те же

||ö ( 0 ||< ^

е

\t\,

 

 

(5.12)

постоянные,

что и в неравенстве

(5.4).

Рассмотрим теперь оператор S, преобразующий функцию ¥ £ С (р, т]) в функцию

оо

S V = 4" 1

О (s) £ 2

Р + S, z (0 s,

г I S'),

—со

 

 

 

T(/ +

s, Z(t,

s, z|¥ )), e] ds.

(5.13)

442 ГЛ. VIII. МНОГООБР. УР-НИЙ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Так как, в силу условия 2°, справедливо неравенство

IЫ*.

2* ОІКІІГаС*. z>

У2,

е)~

(ІіѴ, г>

0, 8)|| +

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

l l g a (*.

 

z . 0 ,

е ) И

^ IIУгI + с о ,

то, учитывая оценку (5.12), находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со

a + ß

 

 

 

 

 

 

 

 

|5 Т ||< 4 ( Л р

+

со) \ е

е

*

=

 

- 2qrß-'Ѵ

-(^P +

ö).

(5.14)

Из соотношений (5.6), (5.9) — (5.13) получаем

 

 

 

 

 

 

a+ß ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\ е

-/SI

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 ' " m i + r O l ^ - z J + M l d s «

 

оо

a + ß

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< 4

- J

 

NX(l + л) I z0— 2 01е

 

 

 

+

 

+

 

Х,(1+Ч)+

 

И

 

 

 

 

 

 

 

 

Яб \е

 

 

— 1 / + Хб ds С

 

 

 

NX

+

Tl)!z0 — г0|| +

б]

j

 

>..(l+T|)+-^l|s|

d s <

< -+ [Л /(1

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

СО

(еК+Я,Ѵ)(1+п)—2ß

 

 

+

ri)!i0 - z 0|| + 6]

( e

 

E

 

Sds.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.15)

Определим теперь p и г] как функции параметра е так, чтобы р (е) -> 0, т] (г) ->• 0 при г -> 0 и чтобы для всех по­ ложительных е <; ех (ei С е0) выполнялись неравенства

2N (Хр + со) < р (ос + ß),

(еК +

XN) (1 +

г)) < ß,

(5.16)

2іѴ2А,(1 + TJ) <T]ß.

 

 

Тогда из неравенств (5.14) и (5.15)

получим

 

 

||STr||< p(e),

 

1S¥ - S V I <

П (») i -

ZJ

+

(5.17)

В частности, при ¥ = \Р: б = 0 и

ÜST+, z J - S V ( t , г0)I < ц (в) Иг0 — г01,

(5.18)

Смотрите также файлы