Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 198

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 5. УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

443

а при zn — z0:

I s w - S

4х il <

sup I V (t, z ) - W (t, z) |.

(5.19)

Согласно

неравенствам

(5.17) и (5.18), SW £ С (p,

г|), а

согласно неравенству (5.19) отображение 5 является сжима­ ющим. Поэтому при а < ех уравнение 4х = 54х имеет в клас­ се С (р, г)) единственное решение 4х = яр (t, г, р). Это реше­ ние может быть найдено методом последовательных прибли­ жений

 

¥„ =

<),

Wn+l = SWn

(л =

0 , 1 , 2 , . . . ) .

(5.20)

Покажем,

что соотношение

у2 — ф (t,

z,

s) (z £ В1 X

X ßf,

t £ R)

определяет интегральное многообразие урав­

нений

(5.1).

в

уравнение 4х =

S'?

решение

тр (t,

z, е),

Подставив

получим тождество

 

 

 

 

 

 

 

Ф (t, z, е) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СЮ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= —

I

G ®

 

+

s ’ z

(*> s>2ІФ)> Ф (z

(t’ s. гІФ), 8) ds.

(5.21)

—oo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заменив

в нем

z

на

Z (t0, t — 70, 2

1ф) и

заметив,

что,

согласно

нашим

обозначениям,

 

Z (t0,

s,

z0\ty)

— zt,

Z (t0,

0,

г0|ф) =

2

0, получим тождественно

 

 

 

z

(t,

s, Z(t0,

t — t0, г|ф) ІФ) =

Z (*0, s + t ~

t Q, г|ф).

В результате выражение (5.21) примет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

сю

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У2 ( = —

J G(v — i)g 2(v,

zv, у2ѵ, в)du,

(5.22)

где

 

 

 

 

— сю

 

 

 

 

 

 

 

 

V— s -f*1,

Zf — Z (t^, t

 

z I ф),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ра/ =

Ф(*. Z(t0, t — t0, 2

|ф, e).

 

 

 

Дифференцируя тождество (5.22) по t и учитывая струк­ туру матрицы G (f), окончательно получаем

dy2t

== Л2д2(

—

е

+ g2 (t, z, уа, e).

Поскольку zt ~ Z (/„, t — tQ, г|ф), zt — (xt, yt) пред­ ставляет собой решение уравнений (5.7) (при 4х = ф), то zt>Уи — Ф {U Zf, е) есть решение уравнений (5.1), которое

444

ГЛ. VIII. МНОГООБР. УР-НИЙ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

при

t — t0 сводится к

(г,

ф (t, г, е)), функция ф, согласно

неравенствам (5.17) и (5.18), удовлетворяет всем остальным

условиям теоремы. Таким образом, теорема доказана.

С л е д с т в и е

5.1.

На

интегральном

многообразии

St

переменная

z (х, уг)

удовлетворяет

уравнениям

(5.7)

(при 'F =

ф),

и

поэтому

исследование решений уравнений

(5.1), лежащих на многообразии St, сводится к исследованию

решений уравнений (5.7).

 

 

 

S t. Исследуем теперь ус­

3. Устойчивость

многообразия

тойчивость

интегрального

 

многообразия

S t. Пусть ' (z (t),

Уг (0) — решение

уравнений (5.1). Справедлива следующая

теорема.

 

 

 

 

5.2.

Пусть относительно уравнений (5.1)

Т е о р е м а

 

выполняются условия 1°, 2°. Тогда можно указать такие

положительную постоянные

е2, рх (е2

ех), что при s <; е2

существует

многообразие

 

W £ В\

начальных

значений

{у2 £ В\

 

, Иу2

II <

Рі}, обладающее свойствами:

 

 

 

а) если у2 (t0) £

W, то при t >

t0

 

 

 

 

 

IIУ2 (0 — Ф (t, г,

р) II<

Ne

 

 

«-/„I

 

 

 

z0(е)) ||;

 

 

 

Иу 2(/0) — ф (t0,

б) если у2 (t0) £ W, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!0а(О — Ф(*. г,

8)||->- оо при / —> сю.

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Наряду с дифференциальной

системой уравнений (5.1) рассмотрим интегро-дифференци-

альную систему

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- ^ r = h ( t, zu

y2t, e),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dyu

 

A

 

 

 

 

 

V

 

 

<5 ' 2 3 >

 

 

 

 

e -rfT =

AiУи +

gi (*. zu Уѵ, в),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уп =

G (*« — 0 а +

4"

j

G (о — /) g2 (о, z„,

y2v,

е) dH,

где

z* =

(x<(

г/1г),

а £

В\,

 

 

t0.

По

той

же

схеме,

кото­

рая была использована при доказательстве

теоремы 5.1,

можно

установить,

что для

каждого

е <

е2,

(е2 <

ех) и а

(I! а I <

Рі)

система

(5.23)

 

имеет

единственное

решение

(zt,

Уч

(t,

а)),

которое является также решением системы

уравнений

(5.1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 5. УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

445

Так как решения системы (5.23)

при t >• t0 образуют

семейство, зависящее от Р 2 а £ ВІ~ > то решения

системы

(5.23)

образуют семейство решений

уравнений

(5.1), зави­

сящее

от

некоторого многообразия

начальных

значений

W cz Bf-.

(zt, yt (і, а)) — решение системы (5.23)

(а, сле­

Пусть

довательно, и уравнений (5.1)). Тогда справедливо соотно­ шение

У2(/> а) — G (^0 — 0 а + ^0

+ 4 “ I G(U — t)g 2(v, zv, д2(ѵ, а), a)dv. (5.24)

■—со

На основании теоремы 5.1 (zt, Т> (t, zt, е)) при е < ег пред­ ставляет собой решение уравнений (5.1), лежащее на ин­ тегральном многообразии S t. Поэтому имеем

 

 

Іо

 

 

 

 

 

\p(t,

zt, e ) = 4 * j G(v — t)g 2(ü,

zv, ij)(y,

zv,

e), e) dv +

 

 

— CO

 

 

 

 

 

 

 

CO

 

 

 

 

 

 

+

^ G (o — 0 g2 (V, zv,

г|з (v, zv,

e),

e) dv.

(5.25)

 

 

К

 

 

 

 

 

Вычитая (5.25) из (5.24) и учитывая, что

 

 

 

 

G (v ~ () = G ( v - t 0)G(t0- t ) ,

 

 

перепишем полученный результат в виде

 

 

 

У2

(t, а )— М?(t; zt, e) = G (t0 — t) [y2 (tQ, a ) — \p (t0,

z0, e)].

 

 

 

 

 

 

 

(5.26)

Отсюда,

учитывая

неравенство (5.12),

получаем оценку

I) У2 (*. а) — Ф (t, zt, е) II

< Ne

||у2 (tQ, а) - ' ф (*0, z0, е) |„

из которой следует утверждение а).

Докажем утверждение б). Пусть (z, yit) — решение урав­ нений (5.1), которое не является решением системы (5.23),

т. е- y2 t„ С W. Оно, очевидно, удовлетворяет интегральному

уравнению

 

 

ф-('-'о)

1 с 4

^ -

У-и = е

У2и + — J в

Ё2 (V, гѵ, у2о, е) dv.

446 ГЛ. VIII. МНОГООБР. УР-НИЙ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВВ

Определим операторы G1 (t) и G2 (0 равенствами

 

 

 

А _

 

 

 

_

А _

 

 

G1(t) = e * ‘PT,

Ga (f) =

— е

е Я+

 

и перепишем это уравнение в виде

 

 

 

 

Ни — Gx(t

g

 

G2 (^

^o) ^ “b

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

+ —

\G 1{ t~ v )g i (v,

z0, yiv, e) do +

 

 

 

 

io

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 4* І

(* —

 

(y-

2t”

Ум,

e) dv- (5-27)

где

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

oo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 =

- Г

(

G a (f0 — o) £ 2 (O,

Z0,

I/2ü>

e)

dt) +

у

 

t ,

t,

 

 

 

 

 

 

0

С другой стороны, так как решение (zt, г|і (t, zt, e)) ле­ жит на интегральном многообразии St, то для него спра­ ведливо тождество

t

»I)(t,

г*

е) = 4 о-

1 О і і 1 — ѵ) § Л ѵ^ z v, V(V,

za,

e). s)dv +

 

 

 

— CO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

oo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 4" J

— v) ëi (». za- Ф (». гг,

e),

e) da.

(5.28)

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычтем

(5.28)

из

(5.27):

 

 

 

 

 

 

Уп

 

zu

е) — Gx(t

 

t0)

G%(t

t0) b -f-

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

4" J Gi у ~

^ ^

tjiv’ ^ dv+

 

 

oo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H-4"

f G2(^ — o)lga(v,

z„, yim

e) — g2(v,

zv, i|>0, e)]do —

 

І1

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— ~

(

Gi (^ — &) §2 (*>, z0, %< e) dü.

(5.29)

 

 

 

 

 

— o o

 

 

 

 

 

 

Если G2 — g b == 0 и t >■ g, то равенство (5.29) совпа­ дает с (5.26) (при а = і/гі.)• В этом случае непременно </2і„ € £ W, что противоречит нашему предположению. Так как

§ 5. УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

447

при t > t0 все члены в (5.29), кроме второго, ограничены, то нам остается показать, что G2 (t — t0)b неограниченопри t > t0, но это сразу следует из того, что при 1 t 0функция

G2 ( t— tn)b = с P fb , являясь нетривиальным решением уравнения

не может быть ограниченной на всей вещественной оси. Со­ гласно оценке (5.12), она ограничена при t ■< t0 и, следова­ тельно, неограничена при t > іп, что и доказывает утверж­ дение б).

С л е д с т в и е 5.2. Если множество a t пусто, то все траектории уравнений (5.1), для которых |]г/2/„|| <С Рі, при­ тягиваются к многообразию St по экспоненциальному закону.

С л е д с т в и е 5.2. Если множество щГ пусто, то многообразие W вырождается в точку y2te — ф (t0, zta, е). В этом случае любая траектория, не лежащая на много­ образии St, удаляется от него.

Глава IX

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

4

и

В заключительной главе мы приведем

обзор ряда работ советских

иностранных авторов гю исследованию

инвариантных поверхностей

 

{интегральных многообразий), не вошедших в монографию, а также укажем некоторые приложения.

§ 1. Обзор работ по интегральным многообразиям, не вошедших в монографию

1. Обзор некоторых результатов советских

авторов.

Как уже

указывалось, основы теории инвариантных по­

верхностей (интегральных

многообразий)

систем обыкно­

венных

дифференциальных

уравнений

были

заложены

Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым еще в 1934 г. В даль­ нейшем их идеи и методы, получив развитие в работах [13], [15] — [20], вылились в стройную теорию — теорию инте­ гральных многообразий, которая впоследствии была сущест­ венно развита в работах советских авторов.

Кроме работ, подробно изложенных в монографии, ис­ следованию интегральных многообразий посвящены работы Ю. И. Неймарка, В. А. Плисса, А. М. Самойленко и др.

Исследовав вначале проблему о существовании, единст­ венности, зависимости от параметра и гладкости инвариант­ ных поверхностей точечного отображения, Ю. И. Неймарк применил эти результаты для изучения аналогичного круга вопросов для интегральных многообразий дифференциаль­ ных уравнений. Им установлены условия существования и грубости тороидальной интегральной поверхности автоном­ ной системы дифференциальных уравнений; доказана со­ храняемость интегральных многообразий автономных систем при произвольных малых неавтономных добавках. Доказано существование поверхности медленных движений в фазо­ вом пространстве системы, описываемой дифференциальны­ ми уравнениями с малым параметром при производных или

Смотрите также файлы