Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 197
Скачиваний: 1
§ 1. ОБЗОР РАБОТ |
449 |
квазилинейными уравнениями. Рассмотрен также вопрос о рождении интегральной тороидальной поверхности от периодического движения. Результаты Ю. И. Неймарка и его учеников см. в [164], [1651, [28] — [30].
Ряд результатов по теории инвариантных многообразий получен А. М. Самойленко. Так, им предложен новый под ход к теории возмущения инвариантных тороидальных многообразий динамических систем, связанный с использо ванием функций Грина для линеаризованной задачи. Этот подход позволяет с общей точки зрения изложить теорию возмущения как гладких, так и недифференцируемых ин вариантных многообразий динамических систем. Подроб ное изложение этих результатов см. в [183] — [186].
Значительные результаты по теории инвариантных по верхностей принадлежат В. А. Плиссу. Им выведены усло вия существования инвариантной поверхности неавтоном ной системы
1 Г = Х ( і . X), |
(1.1) |
не укладывающиеся в обычные рамки теории возмущений. Результаты В. А. Плисса см. в [171]—[175]. О других результатах советских авторов см. в [12], [263, [27], [31], [54], [56], [77], [163], [177], [220].
2. Обзор работ иностранных авторов. Значительный вклад в развитие идей и методов теории интегральных мно гообразий и в применение их к исследованию проблемы воз мущения для широкого класса нелинейных дифференциаль ных уравнений внесли многие зарубежные ученые: в США — С. Дилиберто, В. Кайнер, А. Келли, Н. Левинсон, В. Лауд,
М. Маркус, Р. Сакер, Г. Хаффорд, |
Дж. Хейл, |
Н. Чейфи |
и др.; в Японии — Т. Йошизава, М. |
Урабе; в |
Чехослова |
кии — Я. Курцвейль; в Румынии — А. Халанай.
Одной из первых работ, появившихся в США в области исследования инвариантных поверхностей нелинейных диф ференциальных уравнений, явилась работа Н. Левинсона [87], в которой рассматривались уравнения вида
|
|
- ^ - = |
Х ( х ) + |
г Х * (t, |
X, е), |
(1.2) |
где X, |
X , |
X * — «-векторы. |
|
X * (7, |
х (в)) £ С3, |
|
В |
предположении, |
что |
X ( х ) , |
|||
X * ( t , X, |
е) — непрерывная |
периодическая |
функция t с |
|||
15 Ю. А. Митропольский, О. Б. Лыкова
450 |
ГЛ. IX. ЗАКЛЮЧЕНИЕ |
периодом (о и, кроме того, невозмущенное уравнение
-7Г =»*(*) |
(1-3) |
обладает орбитально устойчивым периодическим решением X = и (0. Н. Левинсон доказал существование, при доста точно малых значениях е > 0, инвариантного тора уравне ния (1.2), представимого соотношением вида
x = H ( t , Ѳ, е), |
(1.4) |
где Н (t , Ѳ, е) — функция, сог периодическая по Ѳ и |
о)2*пе' |
риодическая по t, имеющая первую производную, удовле творяющую условию Липшица. Кроме того, Н (t , Ѳ, е) и (Ѳ) при е 0. Тор X =* Н ( t , Ѳ, е) устойчив в том смысле, что
обладает свойством притяжения при / оо всех близких к нему решений уравнения (1.2).
Решения, лежащие на торе (1.4), представимы в виде
x = H ( t , Ѳ(0, |
е), |
(1.5) |
где Ѳ(t) удовлетворяет уравнению |
|
|
Ѳ, |
е), |
(1.6) |
при этом h (t , Ѳ, е) — функция, сох-периодическая по Ѳ и (іупериодическая по t . С помощью известных результатов
А. Пуанкаре [176], А. Данжуа [33] и П. Боля Н. Левинсон произвел также анализ решений уравнения (1.6).
Так, пусть р (е) — вращательное число для решений урав нения (1.6):
lim |
Ж |
2я |
р(е). |
/-►оо |
* |
~ т |
|
Если р — рационально, тогда существуют периодичес кие решения уравнения (1.2), лежащие на торе (1.4).
Если р — иррационально, тогда любые решения урав нения (1.6) представляются в виде
Ѳ= 2лр* + С + f (t, 2jtpjU T -f C),
где C — постоянная, f (t , T) — непрерывная функция, T - периодическая по t и 2я-периодическая по т. В этом случае
решения уравнения (1.2), лежащие на торе (1.4), представ ляются в виде
x = <D(t, 2 n \ it / T -f С )
452 ГЛ. IX. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
О п р е д е л е н и е 1.1. Порядком периодического ре шения X — и (t) будем называть число характеристических
показателей, имеющих отличные от нуля вещественные
части.
О п р е д е л е н и е 1.2. Степень вырожденности пе риодического решения определяется на единицу меньшим
числом, чем число характеристических показателей, имею щих равные нулю действительные части.
С. Дилиберто доказана теорема о том, что если периоди
ческое |
решение х — и (t) уравнения |
(1.7) имеет |
порядок |
п — k |
— 1 и вектор-функция X (х) |
принадлежит |
классу |
С2, то уравнение (1.7) имеет непрерывное ^-параметрическое
семейство решений х = и (t, X) (X — Х1г ..., |
Xk) и и (/, 0) = |
||||
= и (і) *). |
|
|
|
рассмотрел |
|
Совместно с Г. Хаффордом С. Дилиберто |
|||||
систему с k - м |
вырождением вида |
|
|
|
|
^ -= = 1 |
+ Ѳ,(Ѳ, у, г) + еѲ8 (Ѳ, у, |
z, |
t, |
е), |
|
■%- = Ау + Y, (Ѳ, у, г) + гУе(Ѳ, у, |
z, |
t, |
е), |
( 1.8) |
|
= еД (Ѳ, f)y + eCz + eZE(Ѳ, г, t, г),
где у, z — соответственно п — k — 1- и /г-векторы и функ
ции, стоящие в правой части, являются оц-периодическими по Ѳи со2-периодическими по t.
Для системы (1.8) установлена следующая теорема [39].
Т е о р е м а 1.1. Пусть функции, стоящие в правой части системы (1.8), принадлежат классу С3; А, С — по стоянные матрицы, все характеристические числа которых имеют отрицательные действительные части.
Тогда существует такое достаточно малое е0 > 0, что для каждого 0 < е е0 система (1.8) допускает существо вание асимптотически устойчивого инвариантного тора, определяемого соотношениями
У = Т1(Ѳ, t, г), г — Г2 (Ѳ, t, е),
где Тъ Т2 имеют первые производные, удовлетворяющие ус ловию Липшица, являются щ-периодическими функциями Ѳ
*) Следует заметить, |
что при k =■ 1 этот результат установлен |
А. Пуанкаре; случай k => |
п — 1 исследован в работе Г. Рииба [179}. |
