Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 194

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

 

 

§

1.

ОБЗОР РАБОТ

453

и

ы . г - п е

р и о д и ч е с к и м и

ф

у

н к ц и я м и t, К р о м е т о г о 7\ (0, /, е)

О,

Т

2 (Ѳ, t,

б)ф О п р и

е

- * ■ 0.

 

Центральное место в указанных работах С. Дилиберто занимает исследование периодических ^-поверхностей раз­ личных классов нелинейных дифференциальных уравнений.

Приведем определение периодической ^-поверхности [39].

Рассмотрим систему уравнений

 

 

 

 

 

ДГ =

Ѳ(Ѳ, у ) ,

j

 

 

 

(1.9)

 

 

 

 

 

I

 

 

 

l

f

=

Y

(Q’ у)>

 

— периодические

где Ѳ= (0lt ..., 0fe), у

=

( y lt

.... y t), Ѳ,

Y

функции Ѳ(0!, .... ѲД с периодом

со (сщ,

....

о>4). (Здесь

существенно / >• 1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Систему (1.9) можно записать в виде

 

 

 

 

 

 

- $ - = * ( * ) .

 

 

 

 

(МО)

где X — п-вектор ( п =

&-р /); х =

(Ѳ, у )

и соответственно

X = (Ѳ, Y ).

 

 

 

k < q

<

k +

/; у

= 5 (ф) —

Пусть ф = (фь

 

Ф?);

 

/-вектор-функция из класса С1, периодическая по ф с перио­

дом р =

(р2,

 

р„), где р,

= со,

для

і ==

1,

k

(S

(ф) =

— S 0 =

 

const

при

q — 0).

Пусть

ф' =

(фь ..., фА)

и

ср" =

= (Фй+ь

•••,

Ф„).

Таким

образом, ф =

(ф', ф"),

S (ф) =

= S (ф', ф") иS (ф) будет иметь тот же период по ф', что Ѳ и

Y по 0.

 

 

 

 

=

 

(ф) следующим образом:

 

 

 

Определим х

S *

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S * (ф) = (ф'.

S (ф)).

 

 

 

(1.11)

О п р е д е л е н и е

1.3. Поверхность S*, определяемая

соотношением

 

 

х - S * (ф),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

называется

п

е р

и о д и ч е с к о й

q - п о в е р х н о с т ь ю

для

уравнения

(1.9), если 5* удовлетворяет следующим условиям:

 

 

Iе

as*

( і =

1, ..., q) линейно независимы для каждого ф.

2°

д

щ

каждого фиксированного

 

поверхность у —

Для

ф '

=S (ф', ф") является гомеоморфизмом q — k -мерного тора.

3°. Каждое решение, имеющее хотя бы одну точку на S*,

полностью лежит на 5*.

454

ГЛ. IX. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основной класс уравнений, для которых С. Дилиберто рассмотрел вопрос о существовании периодических ^-по­ верхностей, имеет следующий вид:

 

dt

 

=

 

Ѳ (Ѳ,

у ,

Я) — / 4- Ѳ* (Ѳ, у ,

Я),

( 1. 12)

 

dy

=

Y (Ѳ,

 

Я),

 

 

 

 

 

 

 

У ,

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где Ѳ^, У определены для всех Ѳ, у ,

Я в ^-области;

 

 

 

 

 

 

І Ы С ^ ,

I Я | < 4

 

 

 

где К у ,

К г . — отличные от

нуля постоянные. Предполага­

ется также, что правые части системы (1.12)

принадлежат

классу С2 в К

-области и являются периодическими функция­

ми Ѳс периодом со

(о»!, ...,

coft) (условие Н ) .

 

 

О п р е д е л е н и е

1.4.

Система

уравнений (1.12)

называется н

о

р м

а

л

ь н

о

й , если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У(Ѳ,

0,

 

0) =

0,

Ѳ*(Ѳ,

0,

0) =

0,

(1.13)

и в ы р о ж

д е н н о

й

н

о

р

м а

л

ь н о й

,

если

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

(Ѳ,

 

у ,

0) =

0,

 

(Ѳ,

у ,

0) =

0.

(1.14)

Нормальная и вырожденная нормальная системы могут

быть представлены соответственно в виде

 

 

 

 

-£®- =

/ +

Ѳ*(Ѳ,

у ,

Я) =

Ѳ(Ѳ,

у ,

Я),

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Я) =

У (Ѳ,

 

(1.15)

 

Ч - =

В

(

В

) у

+ Ѵ * (

в ,

у ,

у ,

Я)

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

■ § - =

/ +

Ь [ с

(Ѳ) +

Ѳ*(Ѳ,

у ,

Я)] =

Ѳ (Ѳ,

у ,

Я),

-§ - = Я1а(Ѳ) +

В(Ѳ)і/ + У*(Ѳ,

у , Я)] == ЯУ (Ѳ, у ,

где *) |Ѳ* (Ѳ, у ,

Я) 1 = о (\\у\\ +

I Я|), || Y R (Ѳ, у ,

= о(ІІ*/Г + ІЯІ)-

Я),

(1.16)

Я) | =»

*) Для некоторой вектор-функции g (Ѳ, у ,

области, соотношение II g (Ѳ,

у , 1) || = о (11(/11+

области

К '

С К существует

постоянная

С

> 0

Ъ , у , Х £

К '

имеет место || g (Ѳ, у , X) || <

С

(|| у

X) , определенной в К - |Я|) означает, что для

такая, что для всея

|| + |X |).

 

 

 

 

§ 1. ОБЗОР РАБОТ

 

 

455

Ч

а с т и ч н о

в ы р о

ж д е н н а я

 

н о р м

а л

ь н а я

с и с т е м а определя­

ется как система вида

 

 

 

 

 

 

 

 

dB

/ +

А [с (Ѳ) -ь ѳ* (Ѳ,

у ,

А)] =

Ѳ (Ѳ,

y ,

k ),

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy'

■ А [ а

(Ѳ) + ßu (Ѳ) </1 +

ß12 (Ѳ) y 2 + Y

R' (Ѳ, у , A)] =

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

= AF1^, у ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к ) ,

 

= ß 22 (Ѳ)у 2 +

Г*’ (Ѳ,

у ,

к )

=

Y 2 (Ѳ,

у ,

к ) ,

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.17)

где у

= ( у \

у 2) ,

Y = (АГ1,

Y 2),

у ‘ =

( у \ ,

.... ^ ), Г1' =

=

....

Y ^ ,

/ х + / 2 =

/,

||ѲК|| = о (II г/||2 +

| А[).

О п р е д е л е н и е

1.5.

 

Нормальная, вырожденная

нормальная или частично вырожденная нормальная систе­

мы

называются

С (С)-системами, если

соответственно

Ѳ,

Y , Y 1, Y 2 принадлежат в

/С-области

классу С (L ').

 

Нормальная,

вырожденная

нормальная

или частично

вырожденная нормальная система называется С,+1 (Я+1)-си-

стемои»

 

линейных

членов, если

да (Ѳ)

,

относительно ее

„

’

д Ѳ і

 

В (Ѳ), В ц

(Ѳ) и с(Ѳ) принадлежат классу Cr (L r ).

 

 

Оп р е д е л е н и е 1.6. Нормальная система

-^ = Ф(Ф, г, к ) ,

( 1. 18)

- g -------Z(cp, г, к),

удовлетворяющая условию (Я), называется С ( Ь г ) - э к в и в а ­ л е н т н о й системе (1.12), если существует преобразование

Ѳ =

ф,

I

і/ =

уИ ( ф , г, k) = м (ф) г +

M R(ф, 2, А,), I

переводящее систему (1.18) в систему (1.12), в котором М (ф)

и M R (ф, г, А) — to-периодические функции ф,

принадле­

жат в области К

классу С

+ х

(L r+l), причем М

(ф) несин­

гулярна для каждого Ф и

[|

= о (||г||а +

|А|).

Для вырожденной нормальной системы соответствующее

преобразование имеет вид

 

 

( 1.20)

g =

2 + kM (ф) 2 +

kM R(ф, г, А),

456 ГЛ. IX. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

где М и M R обладают теми же свойствами, что и М ,

M R в

(1.19).

 

1.7.

Две нормальные системы на­

О п р е д е л е н и е

зываются С ( Ь г ) - л и

н е й н о - э к

в и в

а л

е н т н ы м и , если

в

приве­

денном выше определении

1.6МЙ= 0.

 

 

О п р е д е л е н и е

1.8.

С

(//)-нормальная

система

называется п р о с т о й ,

если она

С

(//^-линейно-эквивалент­

на нормальной системе, для которой соответствующий коэф­ фициент В (Ѳ) при у — постоянный.

О п р е д е л е н и е

1.9. С

(//^-нормальная система,

линейные члены которой принадлежат классу

C r ( L r ),

на­

зывается с л а б о - п р о с т о й ,

если для

каждого 8 >

0 она

яв­

ляется линейной Сг(//)-эквивалентной нормальной систе­

мой, линейная часть которой В

(Ѳ) у имеет вид

В (Ѳ) У = [ В

г + е (Ѳ)] у ,

где

 

1)В г — постоянная матрица;

2)IIе (Ѳ)||ѳ < е ;

3)существует такое фиксированное N , что среди С е ,

для которых

С е В е С іГ1— жорданова каноническая

форма,

имеется такое СЕ, для которого

 

 

 

 

 

||Св||||СГ1| | < ^ .

 

(1.21)

О п р е д е л е н и е

1.10. П р е

д е л ь н ы м и х а р

а к

т е

р и с ­

т и ч е с к и м и ч

и с л а м и периодической

поверхности у

=

0

на­

зываются пределы при е

0 абсолютных значений корней

характеристического уравнения для В е .

 

 

 

Предельные характеристические

числа эквивалентных

систем идентичны.

 

 

 

 

 

Для приведенных классов уравнений С. Дилиберто по­

лучил ряд фундаментальных результатов о существовании и свойствах периодических ^-поверхностей [39].

 

 

 

Т е о р е м а

1.2.

П у

с

т

ь

с и с

т

е

м

а

(1.12) я

в

л я е т с я

п

р о с ­

т о й

 

н о р м а л ь н о й

с и с т е м о й

 

к л а с с а

 

 

С

 

( L r~ l )

( г >- 2) с х а ­

р а к т е р и с т и ч е с к и м ч и с л о м ,

 

о т л и ч н ы м

 

о т

1 п р и

 = 0.

 

 

 

 

Т о г д а д л я к а ж д о г о К Ф

 

0 в н е к о т о р о й о к р е с т н о с т и % — 0

с

и

с

т

е

м

а

(1.12)

и м е е т

е

д

и

н

с

т

в

е

н

н

у

ю

п е

р и о д и

ч е с к у ю

q - п о ­

в

е

р

х

н

о

с т ь

у = S

(Ѳ,

7)

(

п

е

р

и

о

д

и ч

е

с

к

у

ю п о

Ѳ с

 

п е р и о д

о м

со)

и з

 

к л а с с а

С/-1

( И ~

х )

о т

н

о

с

и

т

е

л ь

н

о

 

Ѳ и

S (Ѳ,

0) =

0.

 

§ 1. ОБЗОР РАБОТ

457

Аналогичный результат при ряде предположений уста­ новлен также для слабо-простой нормальной системы, нор­ мальной, вырожденной нормальной, а также частично вы­ рожденной нормальной систем.

Рассмотрим теперь систему уравнений вида [391

■~ H f- — 0 (Ѳ, у ) ,

( 1.22)

■W = г(0’ У)

и предположим, что она имеет С г (і/)-периодическую q -по­

верхность, представимую соотношением

 

у

= 5 (Ѳ, ф)

(ф = ф1(

. . . , фт , m = k — q).

 

О п р е д е л е н и е

1.11.

Будем

говорить,

что Ѳ, ф,

z

(2 t, ...,

z i - q ) являются С

( L r )-н о р м

о л ь н ы м и к о о р д и н а т а ­

м и

на поверхности у

=

5 (Ѳ, ф), если

существует

преобра­

зование

 

У= Мф, ф, г),

 

(1.23)

 

 

 

 

где М (Ѳ, ф, 2 ) — периодическая функция Ѳ, ф, принадлежа­

щая классу С'+1 ( L r + l ) в /С-области, которое для каж­

дого Ѳявляется локально однозначным и переводит систему

(1.22) в C r

( L r)-систему

 

 

 

 

 

т

Н

ф (ф. Ѳ-

*).|

 

 

-§ -.= Ѳ(ф, Ѳ,

2),

}

(1.24)

 

^ - = 2(ф, Ѳ,

2),

 

 

причем М

(Ѳ, ф, 0) =

S (Ѳ, ф).

 

 

 

О п р е д е л е н и е

 

1.12; Нормальные координаты на­

зываются у с р е д н е н н ы м

и

н о р м а л ь н ы м и

к о о р д и н а т а м и ,

если

преобразование (1.23) удовлетворяет дополнительному ус­ ловию

М (0 ~f- h , ф, г) — М ( Ѳ 1 + h, . . . ,

-f- h , ф, г) =

 

 

 

= М(Ѳ, ф, г ) .

(1.25)

О п р е д е л е н и е

1.13. Поверхность у = 5 (Ѳ, ф) на­

зывается л и н е й ч а т о й

п е р и о д и ч е с к о й

^-поверхностью,

если

Смотрите также файлы