Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 205

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ И

 

 

ПОЛУМАРТИНГАЛЫ

(КОНЕЧНОЕ ВРЕМЯ)

47

П р и м е р

3.

Если

Х = (хп, 9~п) и Y = {уп, &~п) — два

супер­

мартингала,

то

последовательность

г — (хп А у п, &~п) образует

супермартинга'л.

 

 

Х = (х„,

,Тп) ~ мартингал и /(х )—-функ­

П р и м е р

4.

Если

ция, выпуклая книзу, такая,

что М | / ( х ) | < о о , то последова­

тельность

F = (/ {хп), &~п) образует

субмартингал. Это следует

непосредственно из неравенства Иенсена. В частности, последо­

вательности F =

( I

хп Г, 3~п), а >

1, F = ( I хп I log+ I Хп |, 9~п), где

log+ а — max (0,

log а),

образуют

субмартингалы.

основных

3.

Перейдем

к формулировкам и доказательствам

фактов о полумартингалах.

 

 

 

1, . ... N, — супер­

Т е о р е м а

2.1

Пусть X = (хп, 3~п), п =

мартингал. Тогда для любых

 

двух

марковских (относительно

F = (H~n),

п — 1,

. .. , N) моментов х и а таких, что Р (г ^ N ) =

= P ( f f < ^ ) =

1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xa ^ M (x t lâr a)

 

({т>а}, Р-п. н.)

(2.4)

или,

что эквивалентно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Х х /\в ^ м (хх \ Н~о)

(Р-п. н.).

(2.5)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Прежде всего заметим, что М | хх [< оо.

Действительно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

I

 

N

 

 

 

N

 

M U J - V

 

| xTM P = V

 

J U „ | d P < ^ M | x „ | < o o .

 

 

n=l {t=«}

 

n=1{t=rt)

 

n=l

 

Рассмотрим множество {а =

n} и покажем,

что на множестве

{а =

п) [] {х ^ о) = {о =

п} [] {х ^

п} выполнено

неравенство

(2.4).

На

этом

множестве ха = хп, и согласно лемме 1.9

 

М(хт \Н~а) = М (хх \&~п)

Так что достаточно установить,

({о = п}, Р = п. н.).

что на {о = п} {] {х ^ п} Р-п. н.

 

 

хп>

М(хт \ Т п).

 

 

 

Пусть

Тогда

 

 

 

 

 

J

(хп — хх)dР =

J

(хп — хх) dP +

 

 

Л П {о—п) п {т > п]

ЛП{сг=/г}П{т=п}

 

 

 

 

+

J

(xn — xx)dP =

J

(xn — xx) d P ^

 

 

ЛП{ч=л}П{т>л}

ЛП{ст=«)П{т>«}

 

 

 

 

 

>

J

{xn+i — Хх) dP,

(2.6)

 

 

 

Л П {а=п)П (т > п+1}

 

 

 

где последнее

неравенство

выполнено в силу того,

что

хп^

> М {хп+1 \&гп) (Р-п. н.) и множество

А Л (о =

п) П {т >

п} е= FTп.

48 МАРТИНГАЛЫ [ГЛ. 2

Продолжая

неравенства (2.6),

находим

 

 

 

 

 

 

I

 

 

(хп — xx) d P >

 

 

 

I

 

{Xn+i — xx) d P ^ ...

 

ЛП{а=п}Л{т>га}

 

 

 

 

 

 

ЛП{а==/г}П{т>«+1}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. . . >

 

 

 

J

 

(xN - x x)dP = 0.

(2.7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЛЛ{сг=гс}Л{т*=.Ѵ}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку

ß \ ( J ( a

— «}

есть

множество

меры

нуль,

то

 

 

 

 

 

 

 

п= 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

из (2.7) следует (2.4).

 

 

 

 

 

 

 

п =

1,

. . . . N, — супер­

С л е д с т в и е

1.

Пусть X = (хп, &~п),

мартингал.

Если

Р ( т ^ а ) = 1 ,

 

то Mxj ^

Мха ^

Mxt ^

Мх^.

 

С л е д с т в и е

 

2.

Пусть

X = {xn,STn), п =

1, . . . ,

N, — суб­

мартингал.

Если

 

Р ( т ^ а ) = 1 ,

то МХ[ ^

Мха

Мхт ^

Мх^.

 

С л е д с т в и е

 

3.

Пусть X =

(хп, @~п),

п =

1,

. . . , N, — супер­

мартингал. Тогда,

если г — марковский момент и P ( x ^ N ) =

1,

то М I хт I <

Мх, +

 

2Мх~ ^

3 sup М I X

I.

 

 

 

 

 

 

В

самом

деле,

|хт | =

хт +

2х~ и, по следствию 1,

М | х т | =

= Мхт +

2Мх~

MXj +

2Мх~. Поскольку (хп Д 0, 5TJ, п =

1, ...

. . . ,

N, — супермартингал

(пример 3),

то

последовательность

(х~, £Г([),

где

х~ — — хп Д 0,

 

образует субмартингал и, по

следствию 2,

Мх~ ^

Мх~. Значит,

 

 

 

 

 

 

 

М I хт j <

 

Mxj -f- 2Мх~ <

IVJXj +

2Мх" <

Mxj +

2М j xN| <

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< 3 sup M I хп |.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

га< N

 

 

Просматривая доказательство теоремы 2.1, замечаем, что

если

Х = (хп, @~п),

п =

1, . . . ,

N,

является

мартингалом,

то

в (2.6),

(2.7)

неравенства

превращаются

в равенства.

Следова­

тельно,

справедлива

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

2.2. Пусть X =

(х„,

@~п), п — 1, . .., N, — мартин­

гал. Тогда для любых двух

марковских моментов т и о таких,

что Р (т ^ N) = Р (о ^ АО =

1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ха =

М (хт\&~а)

 

({т>а},

Р-п. н.)

 

(2.8)

или,

что эквивалентно,

хаЛТ— М(хт |ЗГ0) (Р-п. н.).

 

 

 

С л е д с т в и е

1. Если Р ( т < а ) = 1 ,

то Мх,=Мха==Мхх==Мхѵ.

4.

 

 

Т е о р е м а

2.3.

Пусть X =

(х„, @~п),

п = \ , . ..,

N, — суб

мартингал.

Тогда для всякого Л > 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р (шахх„

J

^ 4 “

 

 

 

xNd P ^ - T Mx+,

(2.9)

 

 

 

 

 

М

П

 

А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§

1]

 

ПОЛУМАРТИНГАЛЫ (КОНЕЧНОЕ

 

ВРЕМЯ)

 

49

=

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Введем

марковский

момент т —

m in{n< A :

х„>Я}, полагая т = А,

если

max хп < Я. Тогда

по следствию 2 теоремы 2.1

 

 

 

 

 

 

tis^N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мл:« >

Мхт

J

Хх dP +

J

 

 

 

xx dP ^

 

 

 

I max

х„ ^ Я)

 

max X ,

< AI

 

 

 

 

 

1»<JV

"

 

 

< N

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

d P +

 

J

xNdP.

 

 

 

 

 

 

f max

* „ >

Al

 

 

Г max

x„ <

Al

Отсюда

получаем

 

 

U<AT

"

 

/

 

 

U<N n

]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЯР {max

> Я} < M.%

J

Я д ,

d

P

=

 

 

 

 

n=C N

 

 

 

max

x„ < A)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n^N

n

}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

J

xNdP^

 

 

 

J

x+dP<Mx+,

 

 

 

 

f max

x„ > Al

( max

x„ >

Al

 

 

 

 

 

 

ln < (V П

)

l « < (V

"

j

 

 

что и доказывает (2.9).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично

доказывается

и (2.10).

 

Нужно лишь положить

т = т іп { я ^ А :

хп ^ — Я} с т = А,

если

min хп >

— Я.

 

Сл е д с т в и е (неравенство Колмогорова). Пусть X = (хп, @~п),

п— 1, . . . , 1V, — квадратично интегрируемый мартингал (г. е.

мартингал с

< оо, n =

1, . .

А).

Тогда

последовательность

хп> ^ п )

будет

субмартингалом

(пример А)

и в силу

(2.9) вы­

полнено

неравенство

 

 

мА

 

 

 

 

 

Р {max 1хп 1^

Я} ^

 

 

(2.11)

 

 

-„г -.

 

 

 

 

п< X

 

 

А

 

 

 

Т е о р е м а

2.4. Пусть X = (хп, 9~п), п =

1,

А, — неотри-

цательный субмартингал.

Пусть

Мх^ < оо

( 1 < р <

оо). Тогда

М[max хп]р < оо и n^N

M{maxxn¥ ^ ( p ^ {)

MxpN.

(2.12)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим

у — max хп и

F (Я) =

= Р { у ^ Ц - Тогда в силу (2.9)

 

 

ЯР(Я )< j xN dP.

(2.13)

(У >А)

 

 

Для вывода неравенства (2.12) оценим сначала М { у/\ L f ,

где

50

МАРТИНГАЛЫ

[ГЛ. 2

 

 

Используя (2.13) находим, что

L

L

м {у Д L f = - I XPF (dX) =

J F (X) d (Xp) - [XpF (Я.)]^ <

0

0

L

L

“аI1»L оI

Ar" 'ІР = 1Г=ГТМ^ » < !'Л Ц "‘ ІІ-

Согласно неравенству Гёльдера y q =

 

 

М [xN(y А V f ' '] <{Mx»Nf

М [(у A l )(p~I)?]I/<7 =

 

 

 

 

= [MxP/]llp{ M ( y A L f f lq.

Итак,

 

 

 

 

М(у А L f ^ q [ M ( y А L f ] Uq[MxpN]llP

 

и, поскольку М (у А L)p^

Lp < оо,

 

 

 

М {у А L f ^ q pMxpN.

(2.14)

По теореме 1.1

Мур — Нш M ( y A L f .

Поэтому из

(2.14) сле-

дует требуемая

оценка:

 

 

 

 

Мур ^ qpMxpN<

оо.

 

С л е д с т в и е . Пусть X = (хп, ЗГп),

 

— квадра-

5.При исследовании асимптотических свойств полумартин

галов X = (хп, @~п), п — \, 2, . . . , важную роль играют нера­ венства Дуба о числе пересечений интервала (а, 6) (см. далее — теорема 2.5).

Для формулировки этих неравенств введем необходимые определения.

Пусть X = (хп, @~п), п = 1, . . . , N, — субмартингал и (а, Ь) — непустой интервал. Введем понятие «числа пересечений снизу

 

ПОЛУМАРТИНГАЛЫ

(КОНЕЧНОЕ ВРЕМЯ)

51

вверх интервала (а,

Ь) субмартингалом

X». С этой целью обоз­

начим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то — О,

 

п ^

N : хп^

а},

 

 

 

Т] =

min {0 <

 

 

 

т2 =

min {tj <

п ^ .Ѵ: лг„

Ь},

 

 

 

т2т_, =

min {т2т_2 <

/г <

А1;

хп<

а},

 

 

т2т =

min {т2т_; <

п <

TV:

>

ft),

 

При этом,

если

inf

лг„ >

а,

то

Ті

полагается

равным N,

а мо-

менты т2,

т3, ...

п<іѴ

 

 

 

Соответствующие замечания

не определяются.

относятся и к последующим моментам.

 

пересечений

снизу

О п р е д е л е н и е

2.

Числом

ß =

ß(a, Ь)

вверх интервала (а, Ъ) называется то максимальное т, для которого момент т2т определен.

Т е о р е м а

2.5. Если

X =

(хп, £Г„),

п = 1

, N, — субмар-

тингал, то

 

 

 

 

 

 

Mß(a, b

М[; N '

Мх + + |

 

Ь—а

 

(2.15)

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Поскольку

число

пересечений интер­

вала (а, Ь)

субмартингалом

Х — \хп,ЗГп),

n ^ .N , совпадает

с числом пересечений интервала (О,

b — а) неотрицательным

субмартингалом Х + = ({хп— а)+, @~п),

n ^ .N ,

то можно считать,

что исходный субмартингал неотрицательный и а = 0.

Итак, надо показать,

что для b >

О

 

 

Mß(0,

=

 

(2.16)

Положим х0 = 0, и пусть для і — 1, ...

I 1, если тт < г ^ т от+1 для некоторого нечетного т,

\ 0, если хт < і ^ х т+1 для некоторого четного т.

Тогда Р-п. н.

 

N

 

 

bß(0, ЬХ: S %i

Xi —

* / _ ,]

и

1=1

 

 

 

 

 

h i — 1} —

U [hm

І} \

hm+l ^ f}]-

 

m нечетно

 

 

Смотрите также файлы