Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

38

НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ

[ГЛ. f

{М (äxl P t) <

а) П {т <

s} = (хМ (Л 8Г() <

а} П {т < 's) s=

— {0, й} П

^ ^ P s-

Далее, согласно определению условного математического

ожидания для всякого А s= 9ГХ

| М ( а х І ^ ) й Р = | а х ^ Р =

J

ЬdP.

(1.28)

А

А

А П {т=<}

Множество А П {т =

г} е $Гt. Поэтому

j

idp=

J

M (ii^)dP = {xM (ai^)dP =

Afi{T=t]

ЛП{т=Й

А

=

jM(axl Pt)dP.

(1.29)

А

Поскольку М(5хІ^"<) ^-измеримо, то, в силу произволь­

ности

множества

Д е ^ ,

из

(1.28),

(1.29)

вытекает,

что

М ( а х І ^ , ) = М ( а х І ^ ) (Р-п. И.).

лемма

дает

примеры

наиболе

3.

Примеры.

Следующая

употребительных марковских

моментов.

— действительный

про­

Л е м м а

1.10.

Пусть І' =

(^(, І е Г )

цесс, непрерывный справа,

F = {3Tt),

t(=T, — неубывающее се­

мейство непрерывных справа а-алгебр,

3~t = 5ГІ+

и С — открытое

множество в

R1. Тогда моменты

ас =

inf {t ^

0: ^ е

С),

тгс =

inf >

0: ^ e

C}

§ 41

ПРОЦЕСС

БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ

39

щая, в дальнейшем часто используемая

Л е м м а 1.11. Пусть

Х = Ц{),

t ^ T — действительный не-

прерывный случайный

процесс,

=<t{cd: | s,

s ^ t ]

и D — зам­

кнутое множество в

R1.

Тогда момент оD=

inf (t ^

0:

является марковским

относительно системы

—

t ^ T .

Случайный процесс ß =

(ß^),

заданный на вероят­

ностном пространстве (Й,

Р),

называется процессом броунов­

ского движения *), если

1) ßo = 0 (Р — п. н.);

M [ß ,- ß s] =

0,

D [ß7— ßs] = 02| t — s I;

4)

для

почти всех

с о е й

функции

ß* = ßf(®)

непрерывны

(по t,

0

ß часто

называют стандартным

В

случае о2= 1 процесс

процессом

броуновского движения.

(достаточно

«богатом»)

Существование такого процесса на

посредственного построения.

Так, пусть т),, %,

. . . — последо­

вательность

независимых гауссовских, N (0, 1), случайных вели­

чин И фД/).

<Рг(0> •••>

— произвольная

полная орто­

Т е о р е м а

1.13. Для каждого t, O ^ t ^ T , ряды

оо

ßt = 2! Г]/Ф/ (0

сходятся Р-п.

н. и определяют процесс броуновского движения

Р((,‘< *) = 71я

\

e~''mdy-

MIP' I= /

I -

— OO

Пусть ^

= a(ßs,

Нетрудно

проверить,

что процесс

броуновского

движения

является

мартингалом

(относительно

(У?), 0 < * < Г ) :

причем

M(ß<|Srß) =

ßs

(Р-п. н.),

(1.30)

(Р-п-н.), t > s .

M[ ( ß ; - ß s)2l ^ ]

= *

- s

(1.31)

Как всякий процесс с независимыми приращениями, процесс

броуновского движения является марковским:

м № + > ) !4

(Р-п-H.),

s > о,

(1.32)

В частности, для

любого

борелевского

множества B g I

на

R 1

P(ßi s ß | ^ ß )

= P(ßi e ß | ß s) (Р-п. и.),

(1.33)

Важное

свойство

процесса

броуновского

движения

ß — (ß<),

0 ^

t ^

Т, состоит

в

том, что он является

строго марковским

(относительно

0 < t < Г) с

Р(т(со)< Т) = 1

выполнено

следующее усиление соотношения (1.32):

м [Щ ,+, ) ! П 4 = м [/( іщ ) і ( Ч (R-п. н.),

(1.34)

где s таково,

что P(s + т ^ Г ) =

1.

ß = (ßt)

определен

для всех

0, то для

всякого марковского

момента

т = т(со)

(относительно

( ^ ) ,

0) с Р ( т < о о ) = : 1

процесс

42

НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ

[ГЛ. 1

dp (s,

X,

t,

у)

1_

д 2р (s ,

X,

t, у)

s < t ,

(1.39)

ds

2

д х г

dp (s,

X ,

t,

x)

1 â2p (s, X ,

t,

y)

t > s .

(1.40)

di

— T

dy*

’

со

Р (

шах ßs > X) = 2Р (ß ,> х) =

=

Гe-y2i2tdy. (1.41)

o<s<f

у 2nt

J

X

Обозначим

т — in f{ /^ 0 : ß^ — а}

момент

первого достиже­

ния процессом

ß уровня а ^ О .

Этот

момент

является

марков­

ским моментом (лемма 1.11). Поскольку

Р ( т < г ) — Р(

шах

ßs^Ssa),

то в силу (1.41)

со

оо

р

< ' ) = - p m J e~yV' d y = Y

i

1

е~№ dy’

<1 42)

0

p ^(t)~

а/VT

отсюда находим, что плотность

существует и

задается формулой

p' {i]= v è

w e- " ß‘-

<'■«>

T =

in f^ > 0 : $t = a — bt},

а > 0,

0 < ö < o o ,

— момент первого достижения

процессом

броуновского движе­

ния прямой

а — Ы. Известно,

что

плотность

p%(t) = — -

в этом случае определяется формулой

dt

Px(t)=

e -(M-«)»/2t.

(1.44)