Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

N

N

ЬЩ(0, &)< М

—

J

{Xi — Xi-i)dP =

i=i

; = i {x;= i }

N

N

= 2 1 М(л:,—jc,_, |^-, _,)dP—

j

[ М ( д с , | ^ - і ) - ^ - і ] г і Р <

i=ip-r'}

N

i=1{xi=1}

< V

Г[M(JC/ l&'i-i) — JC£_,]rfP = MxN.

Теорема доказана.

аналогии с ß {а, Ь) можно определить

З а м е ч а н и е . По

Мсс(а, Ь) тем же методом, что и при

выводе (2.15), можно по­

лучить следующую оценку:

М(% - ^

м

+ 1ь\]

(2.17)

Ма(а, Ь) ^

В

этом параграфе будет

предполагаться, что полумартин­

галы

Х = (хп, S?~n) определены

для

п — 1, 2, . ...

Т е о р е м а 2.6. Пусть X — (хп, @~п),

п < оо, — субмартингал

такой,

что

оо.

(2.18)

sup Мхф <

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

х* = lim sup хп,

xt — lim inf хп.

Предположим, что

П

П

0.

(2.19)

Р {х* > x j >

Тогда, поскольку {х* > x j —

(J

{х* >

b > а > x j

(а,

b — рацио-

нальные числа), то найдутся

а <Ь

такие а и Ь, что

Р {х* > b > а > x j >

0.

(2.20)

Пусть $N(a, b) — число

пересечений

интервала

(а, Ь) суб­

мартингалом (хп,&~п),

и

ß00(a,

b) = lim ß^ (а, b). Тогда

согласно (2.15)

N

Mß^, {а, Ь) = Нш Mß^ (а, Ь ) <

sup Мх% + I а\

— ------- < о о .

N

о — а

Итак, Р (х* =

X,) = 1, и, следовательно,

Ѵ\тхп существует

с вероятностью

П

обозна­

1. Этот предел будем в дальнейшем

чать х^. Заметим, что в силу леммы

Фату

Мх+sSj sup Мх+.

С л е д с т в и е

1. Если Х — {хп, З г^),

п ^

П

\ , — отрицательный

субмартингал (или положительный супермартингал),

то с ве­

роятностью 1 существует lim хп.

С л е д с т в и е

П

1, — отрицательный

2. Пустъ X = (хп, ЗГ„), п >

следовательность X = {хп, @~п), п = 1,

2, . . . ,

оо, с

хоа = \\тхп

П

и

= о U 8~п \

образует отрицательный субмартингал (по-

'П=1 /

ложительный супермартингал).

п — 1,

2 , . . . ,

— отрица­

Действительно,

если X = (xn, 9 rn),

тельный субмартингал, то по лемме Фату

Мх^ =

М lim x „^ lim

>

— о о

С л е д с т в и е

3. Если Х ~ ( х п, @~п),

п ^ І , — мартингал, то

(2.18) эквивалентно условию

sup МI хп I < о о .

(2.21)

П

В самом деле, М | хп |=Мх+-|- Мх~=2Мх+ — Мхга=2Мх+ — Мхг

Поэтому sup М I хп I = 2 sup Мх+ — Мхг

п

п

хп — М (ті 12Гп) (Р-п. и.),

1.

54

МАРТИНГАЛЫ

[ГЛ. 2

Заметим,

что в случае конечного времени,

1

всякий

мартингал

является регулярным,

поскольку

xn = M(xN \£Гп),

1 ^

п ^

N.

Т е о р е м а 2.7. Следующие условия на мартингал Х = (хп, &~п),

1,

эквивалентны.

(A) регулярность, т. е. возможность представления в виде

хѣ— М (Л I 2Гп) (Р-п. и.)

с

М I т) I

< °°;

(B) равномерная интегрируемость величин xh х2,

(C)

сходимость последовательности

xt, х2, . . .

в

L1:

l i m

М 1 хоа — хп \ = 0\

П

(D)

sup МI А7 1 1<

оо и

величина

x^ — Um хп

такова, что хп —

П

П

_

=

М (*»!£■„)

(Р-п. н.),

т.

е. последовательность

X = (х,

5Гп),

1 ^ / г ^ о о ,

образует мартингал.

Надо показать, что

вели­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

(А)=Ф(В).

чины хп =

М (р 15Г„),

1,

равномерно интегрируемы. Имеем

\хп К

М ( h

I \ff~n),

M U „ | < M | t]|,

sup М| xn К

М| г) I <

oo.

Отсюда для

с > 0,

b >

0

получаем

П

хп I dP <

т] I dP =

Iplöfp-f

J

l p l d p <

{ I хпI > 4 П ! I Ч I > Ь)

{ I х п ] > с) п {I ЧI < Ь)

< Ь Р { І * я І > с } +

I | г ) М Р < у М и „ |

+

IТ] jöfp.

Следовательно,

{| чі>Ъ]

(I Ч I > Ь)

sup

x „ | r f P < y M | p | +

T\\dP,

{ \ х п \ > с )

(ІЧІ >Ъ)

lim

sup

\х п I dP <

J

I У]I d P .

С A

oo

п

{| *„ | >С)

{I Ч I > Ь)

Но b >

0

произвольно,

поэтому

lim sup

f

\xn \dP = 0,

С 4 oo

n

, .

%. .

(\xn\>c)

что и доказывает утверждение (В).

то,

(В) ==> (С). Поскольку х„== М (г] 15Гп) равномерно интегрируемы,

во-первых, supM|A:„|<oo

и,

следовательно,

lim xn( = x 00)

существует

П

3

теоремы

п

(следствие

2.6) и, во-вторых, согласно

§ 31

РЕГУЛЯРНЫЕ МАРТИНГАЛЫ. ТЕОРЕМА ЛЕВИ

55

х2, . . . сходится

в L 1

(скажем, к случайной величине

у),

то

sup МI хп I <

оо.

Тогда

на

основании следствия 3 теоремы

2.6

П

lim л:„(==хоо),

и,

значит,

М | хп —■у |-> 0,

Хп-^-х^

существует

П

Следовательно,

(Р-п. н.), п —>оо. Поэтому у — х^ (Р-п. н.).

т. е. М|ж„ — *то|->0, п-> оо,

и М(д:„|5гт ) — -> М ( * J ^*т), если

оо. Но М(д:„| &~т) — хт (Р-п. н.),

и, значит, xm — { x j 9~т)

щий полезный результат (П. Леви), упоминавшийся в §

1 гл.

1.

Т е о р е м а

2.8.

Пусть т) =

л(со) — интегрируемая (М | г) 1<

оо)

случайная величина

#"2 s . . .

— неубывающее семейство

Q-подалгебр 5F. Тогда

при я -> оо Р-п. н.

М (лІ^-я)-> М (гіІ^ те),

(2.22)

где

'«=і

'

Обозначим хп= М(г) |@~п). Последова­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

тельность

Х = (хп, @~п), я ^ І ,

образует регулярный

мартингал.

Согласно

теореме

2.6 существует lim *,«(=--О ,

и

по

лемме

Фату М|

К

М|

л I-

Далее,

если

и т >

я ,

то

I

xm dP = I

хп dP =

I М(т] \g~n)dP =

J л^Р-

л

л

л

л

По теореме

2.7

последовательность

{дгт , я г ^

І}

равномерно

интегрируема.

Поэтому

МхлІ^т —

J —►0, т -> оо,

и,

значит,

J

x ^ d P ^ J Л^Р-

(2-23)

Равенство (2.23)

выполнено для любого А е

и, следова-

множества А из

оо

тельно,

fljÄ любого

алгебры [J

Левая и

правые

части в (2-.23) представляют

Я==1

ст-алдитивные меры (быть

может,

принимающие и отрицательные значения,

но конечные),