Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

§ 4]

СОХРАНЕНИЕ

СУПЕРМАРТИНГАЛЬНОГО СВОЙСТВА

57

З а м е ч а н и е .

Для

равномерно

интегрируемого

мартингала

X = (хп,

п),

1, свойство (2.24) остается выполненным и без

предположения,

что Р ( т ^ с г )= 1 .

А именно, ха= М {хх |@~а)

({т^а},

Р-п. н.),

т. е.

ХоА%= М(.Ѵх \&~„)

(Р-П. н.).

(2.25)

§ 4. Сохранение супермартингального свойства

для марковских моментов. Разложения Рисса

и Дуба

> М (ц |^Д),

1

(Р-п. н.).

(2.26)

Тогда, если Р(сг

т < о о ) — 1, то

ха^ М ( х х\$~а)

(Р-п. н.).

(2.27)

З а м е ч а н и е .

Отметим, что утверждение теоремы остается

в силе и без предположения, что Р (т <

оо) = 1. Соответствующее

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы

2.10.

Поскольку хп=

= М (ті|^„) + [л:„— M(ri|Sr „)]

и (g„,

STn), %ѣ= хп — М (ті|^„),

n ^ l , — неотрицательный

супермартингал,

то, принимая

лишь для

случая,

когда

х „ ^ 0

(Р-п. н.).

положим

xk — x / \ k .

Покажем,

что

Мл:т < оо .

Для

этого

Тогда

^

Мх,

(следствие

1

теоремы

2.1),

и

поскольку

Р (т < оо )= 1,

то

ХХ ~ ХХ' 7{t <оо} ~

• %{Т<оо}] •

Поэтому по лемме

Фату

М х

т

<

l i m

Щ х г — М х , <

о о .

----

н

*

k

R

Рассмотрим теперь

моменты

xk = x / \ k ,

ak =

a f \ k . Для

них

согласно

теореме 2.1

x0k ?> М [x%k| @~0k)

и,

следовательно,

если

А е

@~а,

то

J x„k d P >

J xXkdP,

ЛП{ч<й}

ЛП{ог<й)

поскольку

А П {о <

k) е= @~ак.

§ 4]

СОХРАНЕНИЕ СУПЕРМАРТИНГАЛЬНОГО СВОЙСТВА

59

то существует

lim *„,p(=m „) и хп ^ т п^ уп (Р-п. н.). Значит,

МI тп I <

оо и

р->СО

M(Wn+i

=

М ( lim x„+i, р \ Т п) = lim М (хп+и р \9~п) =

=

lim М (хп+)+р| $~п)=

lim

М {хп, р+і | 5Г„) =

р -> оо

р~> оо

— М ( lim лг„, р+1 |^ ) = М ( т „ 1 5 гр) =

/п„.

р ->

оо

Итак, М — (тп,@~п),

1,

— мартингал.

^

т„,

то я„ ^

0.

Положим теперь я„ =

— т„. Поскольку

Ясно также, что П =

(я„, #"„),

п ^ І ,

— супермартингал.

Оста­

лось,

следовательно,

показать,

что ПтМя„ = 0.

Согласно определению

тп,

я ^

П

І ,

Р-п. н.

М ( я п ц_р I @~п)

М [ х п + р

НТ-п+р I & ~п\ = =

'

=== М \Хп+р \&~п\

Щ/г == Хп, р

Win \ 0,

р

>ОО.

Поэтому по теореме

1.3

Пт Мя„+Р =

Пт

Г я„+р0Р =

Нт

Г

М (я„+р \9~п) dP =

0.

р -¥ со

р

оо

"

р

оо

"

Установим теперь

единственность

разложения (2.30).

Пусть

хп =

тп -\- пп— другое

разложение того же типа. Тогда

М [хп+р I

п] =

М [пгп+рI &~п1 + М [Лп+рI &~„] —

-f

М [я„+р| ^

„].

Но при р->

оо Р-п. н.

M[*n+p|0"n]-*m„,

М[^га+р і з м - о .

Поэтому

тп =

тп, а я„ =

я„ (Р-п. н.)

для

всех я ^ 1.

3.

Применим

разложение

Рисса

для

доказательства сле­

дующего предложения, обобщающего теорему 2.10.

Т е о р е м а

2.12. Пусть

X =

(хп, ЗПп),

я ^ І ,

-—супермартин­

гал,

мажорирующий

некоторый

регулярный

мартингал

(хп ~^

^ М (ті|^ '„ )

Оля некоторой случайной

величины rj

с М | г) | <

оо,

1, Р-п. н.).

Тогда,

есл« Р (т ^ а )= = 1 ,

то Р-п. н.

*ст> М (* т| ^ а).

(2.31)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Представим хп в виде хп= М (л| Ѳ~Р)+

где

$„=

хп — М (лі &~п).

Супермартингал

Z = (j„, #"„), я > 1 ,

согласно

теореме

Рисса

допускает

разложение

$„ =

/п„ +

я„.

Заметим,

что

в

качестве

тп

можно

взять

M

^ l ^ ) ,

где

5оо =

1 іт?«>

а

Пп

взять

равным

М ( J j У п). Поэтому хп =

~ М (л +

1&~п) + я„.