Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

§ 5)

ПРИМЕРЫ

531

то нетрудно доказать, что существуют

tnt =

lim

т[п),

yt =

lim у р

Yi+i =

2

A\(s,

I)

(s,

I) Ai (s,

i)

,

s—0

(13.159)

mt+1— Yi+i

2

(S,

i )

( ß , ß I ) - 1(S, I ) (S, g) (gs + , -

A , (S, D )

s = 0

Отметим, что оценка (13.159) совпадает

с оценкой макси­

мального правдоподобия для вектора Ѳ по наблюдениям

g*+l =

==(Ео> • • • > Е<+1}-

2 (интерполяция гауссовской марковской цепи).

2.

П р и м е р

Пусть

Ѳ, = (Ѳ, (0, . •

Ѳй (t)),

t== 0,

1,

— марковская

цепь,

определяемая

рекуррентными

уравнениями

=

ао(0 +

аі (О

+

b (t) е, (t + 1),

(13.160)

где

a0(t),

a,(t),

b(t)

зависят

лишь

от

t.

Случайный

вектор

Ѳ0 ~

N (т,

у).

Рассмотрим задачу оценивания величин О,, в предположении,

что Ѳ* = ß,

s < t.

Пусть

mß(s, t) = M (0S IѲ# =

ß),

Y (s>0 — Yp (s>t) — M [(0S —

(s, t) (0S — mß (s, t))* \0, =

ß],

mt = M0„

yt — cov (0*, Ѳ,).

Тогда согласно теоремам 13.4 и 13.10

mt+\ =

а0 (*) +

a i (*) m<*

Vt+i — al (t)ytâ[(Q + b(t)b* (t)

(13.161)

и

mß (s, t) = mt + yt (<p*)* Yt (ß -

mt\

Y (s, t) =

ys~ ys(<p*)’ Y^«p| y*.

(13.162)

где ф‘=

а1(if—1) ... a{(s). В частности, если 0f+1 = 0f+

et ( /+ 1), то

m^(s, t) = m +

^

( ß

—m) ,

у (s,

t) = ( s +

y) [l -yipj] •

(13.163)

П р и м е р

3

(интерполяция

с

фиксированным

запаздыва­

нием).

Рассмотрим

задачу

оценивания

величин Ѳ3 по наблю­

дениям

ll+h — {£о> •••> Еs+J. гДе

h — фиксированная

величина.

Обозначим

nifi (s) =

nt (s, s -j- fi),

yh (s) =

у (s,

s +

h)

и

предпо­

ложим,

что при всех s — 0,

1, ...

матрицы

у (s,

1) (ф^+1)* Y^+i

невырождены.

§ 51

ПРИМЕРЫ

533

3.

П р и м е р

4

(линейный прогноз стационарных последова­

тельностей). Пусть І„

t = 0,

±1, ± 2 , — стационарный в широ­

ком смысле процесс

с

М|, =

0 и спектральной плотностью

Me (t) -

О•

м в (

о . м

« в

(

( . * ) = Ц

Положим Ѳ, =

| <+1—е (t -(- 1). Тогда для (Ѳ„

£,), t = 0,

± 1 ,...,

получаем систему уравнений

Ѳ/+і —

— if

— Y

+ T 8 V+

1)>

(13.170)

I/+1 =

+

8 {t +

!)•

Согласно теореме 13.13 n{ (t, s) =

M (Ѳ, | £Г|) и n2(t, s) — M (g, |

)

определяются из уравнений (13.138), (13.139):

n:(t+

1,

s ) = — -^rii(t,

s ) - - ^ n 2{t, s),

(13.171)

n2(t+

l,

s) =

nx(t,

s),

c nx(s, s) = ms, n2{s,

s) =

l s.

условие

ws =

M(Os |^"|)

и

Входящее

в

(13.171) начальное

Ys определяются из уравнений (см. (13.56), (13.57))

ms+i

2

2

2(1 + Ys) ^ s+1

^s)>

(13.172)

V

—

■

(13.173)

Ts+1

1+Ys -