Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 260
Скачиваний: 0
522 УСЛОВНО-ГАУССОВСКИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. 13
Продолжая указанный выше способ «отщепления» перемен
ных, |
мы видим, что характеристическая функция |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
М |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеет |
вид экспоненты от |
неотрицательно |
определенной |
квад |
||||||||||
ратичной формы переменных z0, . . . , |
zt, что и доказывает услов |
|||||||||||||
ную гауссовость последовательности (Ѳ, g), управляемой |
урав |
|||||||||||||
нениями (13.46), (13.47). |
|
|
|
|
|
|
задачи, рассмо |
|||||||
7. |
Продолжим |
изучение интерполяционной |
||||||||||||
тренной в п. 5. |
|
Если |
условное |
распределение |
n a (s) = |
|||||||||
Т е о р е м а |
13.10. |
|||||||||||||
= P(0S |
нормально, |
то параметры mp(s, |
t) и |
|
yp(s, t) |
|||||||||
распределения |
ІІа, р (s, t) — P (0S ^ |
а | ff~\, Of — ß) при |
всех t > s |
|||||||||||
определяются из соотношений (ср. с (12.109), (12.110)) |
|
|
||||||||||||
|
mß(s, t) = |
m{s, t) + y(s, 0(ф*)*Yf+ (ß — mt), |
|
(13.116) |
||||||||||
|
Yp (s, t) = |
Y (s, |
t) |
у (s, |
t) (ф*)’ Y+qp^Y (s, t) |
|
(13.117) |
|||||||
c mp(s, s) = ß, |
Yp (s>s) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Условное |
|
распределение |
P(0s ^ a , |
||||||||||
0i ^ ß |^ '|) нормально. Поэтому согласно замечанию к теореме |
||||||||||||||
о нормальной |
корреляции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
mp (s, |
t) = М (0SI ff-}, Qt = |
ß) = |
M (0SI ff-}) + |
(ß - |
M (0< | ff-})) |
|||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(13.118) |
|
|
|
Yß(s, |
t) = dn — dl2d^2dl2, |
|
|
(13.119) |
||||||||
где |
|
|
|
|
||||||||||
|
dn = |
cov (0S, 0S1ff"}) = |
у (s, |
t), |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
d\2 |
— cov (0S, 0f I ff-\), |
|
|
|
|
|
(13.120) |
|||||
|
|
d22 = |
cov(0f, |
0f \ff~)). |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Согласно (13.100) и лемме 13.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
M [(Of — mt)* \ff~}, 0S] = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
(ф*Г + |
№)* “ |
(m* (s>*) (ф|)* + |
№)*) = {®s — |
m (s, |
t)Y (q>')\ |
||||||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
mtY\ |
|
|
|
|
|
d i2 = |
cov(0s, Qt \ff-}) = |
M[(0S— m(s, t) (Of - |
|
= |
|
|
||||||||
|
= M {(0S - |
m (s, t)) M [(Of - |
mtY НИ, |
0S] | ff-}} = |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
(cp')’ = |
Y (s, /)K )’. |
(13.121) |
§ 3] |
ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИНТЕРПОЛЯЦИИ |
§23 |
Из |
(13.118) — (13.121) получаем требуемые представления |
|
(13.116), (13.117). |
|
|
З а м е ч а н и е . Из (13.117) следует, что ковариация vR(s, t) |
||
не зависит от ß. |
|
|
8. |
Займемся теперь выводом обратных уравнений интерпо |
|
ляции (по s при фиксированном і) для т (s, t), у (s, t) |
и тя (s, t), |
|
Yß(s, t). |
|
0 |
Т е о р е м а 13.11. Пусть выполнены предположения (I) — (IV), Тогда моменты fhAs, t) и уЛ«> t) удовлетворяют уравнениям
(по s < t)
mß(s, t) = |
m ( s , s + |
1) + |
Y(s, s+ 1)(<P®+1)*Ye++1 \m^(s+ 1, t ) - m s+x], |
|||||||
Yß (s>0 == Yp (s, |
s + 1) + |
Y (s, s + |
1) (cpf+1)* Y++1Yß(s + |
1, t) X |
(13.122) |
|||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
X V++l(pss+ly (s, |
s + 1) |
(13.123) |
|
c m^(t, f) = ß, |
Yß(^> |
0 = |
°- |
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Из |
(13.116), |
(13.117) получаем |
|
||||||
mß(s, s + |
\) = |
m(s, |
s + |
1) + |
y (s, s + |
1)(<P|+1)*Ys++i (ß — |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(13.124) |
Yp(s>s + |
1) = |
Y(5, |
s + |
1) — y (s- |
i)(<P|+1)*Ys++14Ps+1y (5, |
s + 1). |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(13.125) |
Покажем, что для процесса (Ѳ, g), управляемого уравне |
||||||||||
ниями (13.46), |
(13.47), |
для всех |
s < u ^ t |
|
|
|||||
Р ( Ѳ * < а |£ І , Ѳ„, |
. . . , 0f) = P(0s < a |^ E , Ѳ„). |
(13.126) |
Для этого рассмотрим произвольные измеримые ограниченные функции f(0s), Хц+1(Ѳ. І). ёо(Ю> Я(Ѳц) соответственно от 0s,
(Ѳв+„ •••> |
itt+i. •••. |
h)> (So. •••> |
Іи)> ѳи и заметим, что при |
S < и |
|
|
|
М (хц, (Ѳ, і) |
........0J = |
м {хЦ, (ѳ, |)| !Г|, ѳ„) |
|
И |
|
|
|
М {Я(0„) |
(ЮМ [/ (0.) х і+1 (Ѳ, & I |
0J } = |
=М{Я(0ы)^ (|)/(Ѳ ,)х [і+1(Ѳ, 6)} =
=м{я(еи)^(|)/(э5)М[х1+1(0, аиг«. ѳ„ .... ѳ„]} =
-= м {>.(0„)«Sf(Öf(Ѳ.)м[X*+1 (Ѳ, ö |
i n ѳ«]} = |
= M{Ä(0il)g g (S )M [/(0 .)m |
Ѳ.]М[ХІ+1(Ѳ. 6 ) Щ 0J}- |
524 |
у с л о в н о -г а у с с о в с к и е п о с л е д о в а т е л ь н о с т и |
[ГЛ. 13 |
Следовательно, в силу произвольности функций A,(0s) и |
g“(g) |
|
м [/адm |
в.] м к « <в. ö щ в„]=м|/ft) xi+, № а I n - e .i- |
|
= М(М[1(0,)ХІ +1( Ѳ , І ) Щ Ѳ,........в(][^1 . в„) = |
|
|
|
- M ( x [ t l (0, І)М [/(Ѳ ,)|Г |, ѳ„........Ѳ ( ] т ѳ « Ь |
Из-за произвольности %*+1 (Ѳ, g) отсюда следует требуемое ра
венство (13.126).
Принимая во внимание (13.126), находим
n„ß(s> 0 = |
M [naj(W i(s, s + |
1 )1 ^|, 0, = ß]. (13.127) |
Из этой формулы |
вытекает |
|
mß(s, 0 = |
M [яіѲв+І <s>5 + О |
Ѳі = ß]> |
что вместе с (13.114) приводит к уравнению (13.122). Воспользуемся следующей известной формулой для под
счета |
условных |
ковариаций: если g, | — случайные |
векторы, |
||||||||||
Mg*g< 00 и ^ — некоторая о-алгебра, |
то |
|
|
|
|||||||||
соѵ (g, |
I \9) — М [cov (I, g \9, |
I) Щ + |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
+ соѵ[М (g IS?, g), |
M (g [9, |
g) 19]. |
(13.128) |
|||||
Согласно этой формуле и равенству (13.127) |
|
|
|
||||||||||
Yß(s> 0 = cov(0g, 0g|0"f, 0t ==ß) = |
|
|
|
|
|
|
|||||||
= |
М[соѵ(0s, 0 |
, m |
0,, Qs+l) \ n |
|
= |
ß] + |
|
|
|
||||
+ |
с о ѵ [ М ( Ѳ ,т 0„ |
0g+I), |
М (0gI 9~\, |
Ѳ,, Ѳ,+1) | П |
Ѳг = ß] = |
||||||||
= |
M[cov(0s, Вв \!Г]+1, 0,+I) | n |
0t — ß] + |
|
|
|
||||||||
+ |
cov[M (0,|^*+p 0g+1), |
М ( 0 .|П и ’ 0.+I) | n |
0, = ß] = |
||||||||||
= |
М [Ч + ,(5’ 5 + !) і^ Ь |
ѳ<= Р] + |
|
|
|
|
|
||||||
+ |
cov [m0s+i (s, |
s + |
1), т ѳ^+і (s, s + |
1) |
|£"f, 0t = |
ß] = |
|
||||||
= |
Yß (s, s + 1) + M [(m0e+i (s, s + |
1) — |
mß(s, 0) X |
|
|
||||||||
|
|
X ( ”4 |
+1(s, s + |
1) — Wß(s, 0)*]lFf, 0( = |
ß]. |
(13.129) |
|||||||
Но |
из |
(13.122) и (13.124) вытекает |
|
|
|
|
|
|
|||||
\ + |
, |
s + |
!) — « ß (s>0 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= |
Y (s, |
s + |
1) (ф;+*)’ y ++1 [0g+1 - |
mß (s + |
1, 0], |
(13.130) |
|||||
что вместе с (13.129) |
приводит к искомому уравнению |
(13.123). |
|||||||||||
Т е о р е м а 13.12. П уст ь |
в ы п о л н е н ы |
п р е д п о л о ж е н и я |
(I) — (IV). |
||||||||||
Т о г д а м о м ен т ы |
пі (s, t) |
и |
у (s, |
t) |
у с л о в н о г о р а с п р е д е л е н и я |
§ 4] |
|
|
РЕКУРРЕНТНЫЕ |
УРАВНЕНИЯ ЭКСТРАПОЛЯЦИИ |
525 |
|||||
Иа (s, 0 == Р (0S< |
а I |
удовлетворяют |
по |
s < t |
(обратным) |
|||||
уравнениям |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
m (s, t) = |
m (s, s + |
l) + v(s, s + |
l)(qp|+1)’ y++I [m (s + |
1 >t) — ms+i\, |
||||||
Y (s, |
t) = |
y(s, |
s - f |
1) + |
|
|
|
|
|
(13.131) |
|
|
|
|
|
|
|||||
+ |
Y(s, s + |
1)(ф*+Тѵ^+іѴ («+ |
1. 0 Y^+i(P|+1Y(s. s + |
1) (13.132) |
||||||
c m (t, t) = |
Y {t, t) — yt, y{s, |
s + 1) = |
Yß (s>s + 1). |
|||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Уравнение (13.131) |
непосредственно |
||||||||
выводится из (13.122). Для вывода (13.132) воспользуемся пред |
||||||||||
ставлениями (13.127), (13.128). Получим |
|
|
|
|||||||
v(s, |
о = |
сот (в,, в, I £■*)=» |
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
М[соѵ(Ѳ,, |
в,|;Г}, |
ѲІ+1) | Г |] + |
|
|
|
|||
|
+ |
соѵ[М(Ѳ,|Г!. в,+1), |
М (Ѳ ,|П Ѳ,+1) | ^ ] = |
|
||||||
|
= |
м[соѵ(ѳ,, |
ѳ ,|гг|+„ |
ѳ,+|) | ^ ] + |
|
|
|
|||
|
+ |
соѵ[М(Ѳ,|У!+1, Ѳ,+І), М(Ѳ,|іГ«+„ Ѳ,+,)|:Г}] = |
||||||||
|
= |
y (s, s + 1) + М ( [m0s+] (s, s + 1) — m (s, 0] X |
|
X [m ,j+ I(s. s + 1) — m{s, /)]'] гг*1. |
(13.133) |
Но согласно (13.122) и (13.131) |
|
|
lflos+i ( s , s + l ) — m(s,t) = y { s ,s + 1) (ф*+І)* Y++i [9s+1- m |
(«+ 1»0], |
|
что вместе с (13.133) дает уравнение (13.132). |
|
|
§ 4. Рекуррентные уравнения оптимальной экстраполяции |
||
1. |
Под экстраполяцией понимается оценивание |
векторов Ѳ„ |
l t по наблюдениям £о = {|0, . . . , gs], где t > s. Как и в случае
непрерывного времени (§ 5 гл. 12), уравнения экстраполяции будут выведены только в двух частных случаях, что вызвано тем, что условные распределения Р(Ѳг^ а , g( ^ ft \&~f) Уже не
являются, вообще говоря, гауссовскими.
Прежде чем переходить к формулировкам теорем, поясним, каким образом можно выделить те случаи, в которых удается построить экстраполяционные оценки.
526 |
|
|
УСЛОВНО-ГАУССОВСКИЕ |
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ |
[ГЛ. |
13 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В силу (13.56) и (13.78) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
mt+ l = |
[а0 (t, 1) + |
а, (/, |
g) mt] + |
f(b ° В) (t, l) + |
а, (t, g) ytA] (t, g)] X |
|
||||||||
|
|
|
|
X [(ß°ß)(*. Z) + |
Ax(t, l)y tA](t, Щ+ Х |
|
|
|
||||||
|
|
X |
|
f(ß » ß) (t, l) + |
(t, g) ytA‘ (t, g)]l/2 ë (t + |
1), |
(13.134) |
|||||||
e/+i = |
[A, А £) + |
А А £) m*] + |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
+ |
|
[(ß o ß )(f,|) + Л,«, |
|
^)]'/2ë « + l). |
(13.135) |
|||||||
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Л, (1, S) = м (Ѳ( 11F|), |
н2 (/, |
s) = |
М (g, I 1Г|) |
|
|
|||||||
оптимальные |
(в |
среднеквадратическом смысле) |
оценки Ѳ, и ^ |
|||||||||||
п0 |
?о= {?о> |
• • •> У • |
Поскольку |
n{(t, |
s) = |
M[M(0^|5r |)|5 r |] = |
||||||||
= М {mt I ^"1) |
и |
M (ё (t + 1) \@~l) = 0 |
для |
всех |
t + |
1 > s, |
то |
|||||||
уравнения для |
пх(i, |
s) и n2(t, s) можно попытаться |
отыскать, |
|||||||||||
беря М (-1£Г|) от обеих частей в (13.134), (13.135). |
|
|
||||||||||||
ние |
Нетрудно заметить, что на этом |
пути совместное отыска |
||||||||||||
п{ (t, s) |
и n2(t, s) |
становится возможным, |
если |
предполо |
||||||||||
жить, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а0 (t, |
g) = а0(t) + |
а2(/) %t, |
a, {t, |
%) = ах(t). |
(13.136) |
||||||
|
|
M t , |
l) = |
Ao(t) + |
A2(t)lt, |
Ax(t, |
I) = |
A, (t), |
(13.137) |
|||||
где |
матричные |
функции at (t), |
Ai(t), |
i = 1, |
2, |
и |
векторы a0(t), |
A0{t) зависят лишь от времени.
Если же нас интересует лишь оценка значений Ѳ„ то отыс
кание щ (t, s) становится |
возможным, |
если потребовать вы |
||||||||||
полнения |
(13.136) с a2(t) = |
0. |
Пусть |
выполнены |
предположения |
|||||||
2. |
Т е о р е м а |
13.13. |
|
|||||||||
(I) — (IV) |
и (13.136), |
(13.137). |
Тогда |
моменты nx(t, |
s) и n2(t, |
s) |
||||||
удовлетворяют уравнениям |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
« i ( f + l . |
s) = |
а0(0 + |
|
Яі (t) пх(t, |
s) + a2(t)n2(t, |
s), |
(13.138) |
|||||
n 2 (t + 1, |
s) = |
A0(t) + |
Ai (t) щ (t, s) -f- A2 (t) n2 (t, s) |
(13.139) |
||||||||
c «,(s, s) — ms, |
n2(s, |
s) = |
gs. |
и к тому же а2(0 — 0. |
то |
|
|
|||||
Если |
выполнено (13.136) |
|
|
|
||||||||
nx{t + 1, s) — aQ(t) -f- ax(t) nx{t, |
s), |
nl (s,s) = ms. |
(13.140) |
|||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о |
получается |
непосредственно |
усредне |
|||||||||
нием обеих частей (13.134), (13.135). |
|
|
s) и n2(t, s). |
|||||||||
Рассмотрим теперь обратные уравнения для пк(t, |
||||||||||||
Т е о р е м а |
13.14. |
Пусть |
выполнены |
условия |
(I) — (IV) |
и |
||||||
предположения |
(13.136), |
(13.137). |
|
|
|
|
|