Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 256
Скачиваний: 0
§ 4] |
|
|
РЕКУРРЕНТНЫЕ |
УРАВНЕНИЯ |
ЭКСТРАПОЛЯЦИИ |
|
527 |
|||||||||
Тогда справедливы уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
IП\ (/, s - f |
1 )\_/л, (^, |
s)A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
\ n 2(t, s + |
\ ) j ~ \ n 2(t, |
s)/ + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
+ е д |
( D,(S' E)EDt <S' |
l}) [S,+, — A0(s) — Al (s)m, - |
A , (S) y , |
|||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(13.141) |
|
Dl (s, l) = |
(b о ß) (s, |
g) + |
a, (s, |
l) ysA\ (s, |
|), |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
D2 (s, l) = |
(B о ß) (s, |
i) + |
Ai (s, |
I) ysA\ (s, |
I), |
|
||||||||
E - E (ix i), |
матрица Ф^ определяется |
из |
рекуррентных |
уравне |
||||||||||||
ний |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
f a{(t— 1) |
a2(t— 1)\ |
|
t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ф = |
( л |(1 — 1) |
Л2( / - 1 |
) К |
’ |
|
|
= |
|
|
|
(13.142) |
|||||
а |
|
|
«1 (t, |
|
|
|
о |
|
i-l |
|
a0(«) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(13.143) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
n2(t, |
о ) ; ~ ф° и 0 |
+ |
Ф і- |
Л («) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Если выполнено (13.136) и к тому оюе а2(/) = 0, |
то |
|
||||||||||||||
пх {t, s + |
1) = |
я, (t, |
s) + |
[(b о ß) (s, I) + |
a, (s) vH! (s>6)] X |
|||||||||||
|
|
|
X [(ß ° ß) (s, Q + |
Л, (s, |
t) yaA] (s, |)]+ X |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Х[Іі+і — A0(s, |
i) — Л, (s, |)m j, |
(13.144) |
|||||||||
где матрица i)>* определяется из уравнений |
|
|
|
|||||||||||||
a |
|
|
|
= ai(t |
l) |
|
|
|
^ = |
£ <*x*>» |
|
|
(13.145) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я, (<, 0) = |
^m 0 + |
21 |
^ - ‘a0 (и). |
|
|
(13.146) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u=0 |
|
|
|
|
|
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
По |
индукции из |
(13.134), |
(13.135) по |
||||||||||||
лучаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mt |
|
|
m0 |
+ 2 |
ф«"‘ |
a0(u)\ |
|
|
|
|
|
|
||||
= |
Фо |
|
А0( и ) Г |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
t- 1 |
D,(n, £)D2+ («, DD1! 2(u, |
I) |
|
|
(13.147) |
|||||||||
|
|
|
|
|
!)• |
|||||||||||
|
+ |
E |
ф-_1 |
D f («, |
|) |
|
|
|
|
ё ( и + |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
528 |
УСЛОВНО-Г'АУССОВСКИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ |
[ГЛ. 13 |
|
Возьмем от обеих частей в (13.147) условное математическое ожидание М (• | Тогда, учитывая, что М [е (м+1) 1 П н ]= °> и > s, из (13.147) легко находим
п\ (/, |
s + |
1) \ _ |
|
|
|
|
п2(/> |
s + |
1) / |
|
|
|
|
|
( п■ |
SA |
1 ^ |
( Di {s* ® Ü2+ (s>® D^ (s- ® |
e (S + 1 ) . |
|
|
= U » , |
W |
+ ®s+4 |
D f is, £) |
||
|
|
|||||
что вместе с (13.135) приводит к системе уравнений (13.141). Уравнения (13.144) выводятся аналогичным образом.
§5. Примеры
1.Приведем ряд примеров, иллюстрирующих возможности использования выведенных выше уравнений фильтрации, интер поляции и экстраполяции.
П р и м е р |
1 (оценка параметров). Пусть О— (Ѳ,, . . . , Ѳ*.) — |
|||||||||
гауссовский |
вектор с |
МѲ = т |
и соѵ(Ѳ, Ѳ) = у. Требуется |
оце |
||||||
нить Ѳ по наблюдению за /-мерным процессом %t, |
t = 0, 1, |
. . . , |
||||||||
удовлетворяющим рекуррентным уравнениям |
|
|
|
|
||||||
|
| г+І = |
Л0(/, |
l) + |
Ax{t, |
l)Q + Bx{t, |)е ,(/ + |
1) |
(13.148) |
|||
с £о = |
°- |
|
|
|
(I) — (IV) для mt — М(Ѳ|£Г|) |
и yt — |
||||
В |
предположениях*) |
|||||||||
— соѵ(Ѳ, Ѳ|/F |) |
из (13.56), (13.57) получаем рекуррентные урав |
|||||||||
нения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mt+l = mt + vH! & І) [(ß.ßj) (t, |
І) + At (/, I) y tA\ (/, |
l)j+ X |
|
|||||||
|
|
|
|
X [i,+i - A 0(t, D - A i i t , |
l ) m t\, |
(13.149) |
||||
Yt+1=-Yt - Y A ( t , |
|
|
l) + Ax{t, l)y tA\{t, Dj+ЛХ/, |
g)Yt |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(13.150) |
|
c m0 — m , Yo = |
Y- |
Если матрицы {ВХВХ)* (t, |
£) |
невырождены |
||||||
Т е о р е м а |
13.15. |
|||||||||
(Р-п. н.), / = |
0, |
1........ |
то решения уравнений |
(13.149), |
(13.150) |
|||||
*) |
Предположение (II) можно |
заменить в данном случае |
условием |
|||||||
М Sp Л, (t, I) а \ (t, |
|) < со. |
|
|
|
|
|
|
|
||
§ 5] |
|
|
|
|
|
ПРИМЕРЫ |
|
|
|
|
|
|
529 |
|
задаются формулами *) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
mt+1= |
£ + |
Y 2 |
Ш ЯпбіГ' (s, iM H s, |
Ю |
X |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
s=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
m + |
y |
2 |
ЛГ (S, |
Ю ( В і В І ) - 1 (s, Ю ( І>s 4* 1 |
A)(s> Ю) |
|
(13.151) |
||||||
|
|
|
s=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y/+i |
|
E + v S A U s , |
D i B t â r ' f s , |
SM i(s, i) |
|
|
(13.152) |
|||||||
|
|
|
|
s = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
По |
теореме |
13.3 |
условное |
распреде |
|||||||||
ление |
Р { Ѳ ^ а | ^ } |
является |
гауссовским |
(Р-п. н.) |
с |
парамет |
||||||||
рами (mt, |
yt). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Предположим, что матрица yt является положительно |
опре |
|||||||||||||
деленной. |
Тогда у условного распределения Р {Ѳ |
|
\ 9~\} |
суще |
||||||||||
ствует |
плотность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Условное распределение Р {£і+1< |
6 | #"|, Ѳ} |
также |
(Р-п. н.) |
|||||||||||
является гауссовским с параметрами {(А0(/, |
|) + |
А, (і, |
I) Ѳ), |
|||||||||||
{BiB\)(t, I)}. Поскольку матрицы (BiB1)(t, g), |
t = О, |
1, ..., невырож |
||||||||||||
дены (Р-п. |
н.), |
то у распределения Р [|<+1 |
Ь [ SF\, |
Ѳ} |
существует |
|||||||||
плотность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ilf+1 \b 1*0’ |
ö) — |
|
Ть |
|
|
• |
|
|
|
|
Но тогда согласно формуле Байеса существует плотность
,, , dP (Ѳ< a\srf,,)
задаваемая формулой
|
|
|
(Р-п. и.). |
(13.153) |
|
J h t + I ( h + i\Ü , *)/е(*Іі£) dx |
|
||
Обозначим |
|
|
|
|
|
g i(t+ 1, |
|) = (2яГ2 |
det Y/+1 . |
(13.154) |
§2 {t + |
1. Ю— |
|
|
|
= (2 я Р ~ V det yt • det (ß,ßj)(£ |) J |
|& x)f,(x\P0) dx. |
|||
|
|
* k |
1 |
(13.155) |
) |
Cp. с теоремами 12.2 и |
12.8, |
|
|
