Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 213
Скачиваний: 0
§ 4] |
СОХРАНЕНИЕ СУПЕРМАРТИНГАЛЬНОГО |
СВОЙСТВА |
6! |
|
С л е д с т в и е 1. Если |
П = (я„, &~п), п ^ О , — потенциал, |
то |
||
существует |
натуральный |
возрастающий |
процесс Ап, п = О, |
|
1........ такой, что |
|
|
|
я„ = М 0 4 J &"п) — Ап,
где Л ^ ^ Н т Л ,,.
|
П |
|
|
|
|
|
т „ — Ап, где (тп, £Гп) — |
||||
Действительно, согласно теореме я„ = |
|||||||||||
некоторый |
мартингал. |
Покажем, что тп — М (Л^І @~п). |
Имеем |
||||||||
0 < Ап = тп — |
|
|
и |
0 < Л „ < Л оо, |
где |
МЛте = lim МЛ„ = |
|||||
— П т [Ыт0— МяД = |
|
|
|
|
|
П |
|
|
|||
Мт0< оо. Поэтому последовательность Л0, |
|||||||||||
П |
|
|
|
интегрируема. Величины я0, л {, ... |
также |
||||||
Л1, . . . равномерно |
|
||||||||||
равномерно интегрируемы, |
поскольку я „ ^ 0 |
и Мя„->0, |
/г-> оо. |
||||||||
Отсюда |
вытекает, |
что |
такова же и последовательность |
т0, |
|||||||
ти ... |
Из теоремы |
2.7 |
получаем, что существует moo = |
limm„, |
|||||||
причем |
тп = М(тоа\ @~п). |
|
|
|
|
П |
|
||||
Обозначим я^ — іітя „. Тогда я00 = |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
Лм |
= lim [тп— Ап] = tn^ — Ах . Но я^ = 0 (Р-п. н.), поэтому т„ = |
|||||||||||
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Р-п. н.). Значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
пп = тп — Ап = |
М (m^ I Т п) — Ап = |
М(Л*, | Т п) — Л„. |
|
||||||||
С л е д с т в и е . |
2. |
Если |
супермартингал |
Х — {хп,9 гп), |
п ^ О , |
||||||
мажорирует |
некоторый |
субмартингал |
Y — {yn,&r^), |
п ^ О , |
то |
||||||
существует |
натуральный |
возрастающий |
процесс Ап, |
п ^ О , и |
|||||||
мартингал (тп,@~п), |
п ^ О , |
такие, что |
|
|
|
|
|
||||
|
х„ = пгп -\- М(Лоо|^"„) — Ап, |
0 |
(Р-п. н.). |
|
(2.35) |
Доказательство сразу следует из разложения Рисса (2.30)
ипредыдущего следствия.
5.Натуральный процесс Ап, п — 0, 1, . . . . по определению является #'„_,-измеримым (а не только ^„-измеримым) при каждом n ^ 1. Этому допущению можно придать несколько иную, но эквивалентную формулировку, оказывающуюся более
удобной в |
случае |
непрерывного времени (см. § 3 в гл. 3). |
||
А именно, |
пусть 0 = |
Л0 ^ |
А, |
. .., где случайные величины А„ |
STп измеримы и МЛ^ < |
оо. |
|
Т е о р е м а 2.14. Для того чтобы Ап были &~п- г измеримыми, п ^ \ , необходимо и достаточно, чтобы для каждого ограничен
ного мартингала Y = |
(уп, @~п), |
п = 0, 1, |
... , |
|
оо |
У п - 1(Л„ |
Л„_і) = |
Мг/^Л^, |
|
м 2 |
(2.36) |
|||
n=l |
|
|
|
|
где Уоо = [ІтУп-
п
62 М А РТИНГАЛЫ [ГЛ. 2
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Н е о б х о д и м о с т ь . Пусть Ап |
п-гиз- |
||||||||
меримы, |
МАХ < |
оо. Тогда, поскольку |
|
|
|
|
||||
то |
|
|
Щ |
п А ѣ = Щ п - \ А п , |
|
|
|
(2-37) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
М 2 У п - \ ( А п — Л„_,) = |
l i m М 2 у п - і ( А п — Л„_,) = |
|
||||||||
ГС=1 |
|
|
|
N-*oo |
п—1 |
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
l i m |
2 [Мг/„Л„— |
|
l i m Мг/Ид, = |
М ^ Л ^ . |
|||||
|
N->oo п=1 |
|
|
|
|
іѴ-> оо |
|
|
||
Д о с т а т о ч н о с т ь . Пусть |
выполнено (2.36). |
Тогда |
|
|||||||
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м 2 |
Л„ [Уп-\ — Уп\ = 0 |
|
|
(2.38) |
||
|
|
|
|
П=1 |
|
|
|
|
|
|
для любого |
ограниченного |
мартингала |
Y = (yn,3Tn), |
п ^ О . |
||||||
•Воспользуемся |
теперь |
тем |
фактом, |
что |
если |
Y = |
(yn,&~n), |
|||
п ^ О , — мартингал, |
то |
«остановленная» |
последовательность |
|||||||
(Упа-і’ ^ |
п)’ |
|
также будет мартингалом для любого мар |
|||||||
ковского момента т (см. далее теорему 2.15). Беря |
т = 1 и |
|||||||||
применяя (2.38) |
к мартингалу (упАр@~п)> получим, что |
|||||||||
|
|
|
|
М А Л У о - у д ^ О . |
|
|
|
(2.39) |
||
Аналогичные |
рассуждения |
с т = 2, |
т = |
3, и т. д. приводят |
к тому, что если справедливо (2.38), то тогда имеют место
равенства |
(2.37) |
для |
любого |
ограниченного мартингала F — |
|||||||
==(Уп, &~п), |
tt> 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из (2.37) следует, что |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
М {\уп - |
*/„_,] [Л„ - |
М (Л„( 0V ,)]} = 0. |
(2.40) |
|||||
Положим уп+т = Уп, |
т > 0 , |
|
|
|
|
|
|||||
|
Уп — sign [Л„ — М ( А п \&~„_[)], |
Ук = |
М(Уп\$~к), |
k < n . |
|||||||
Тог'да из (2.40) находим |
|
|
|
|
|
||||||
о = |
М {sign [ А п - |
М ( А п |
\ P n - i ) ] - У п - і ) { А п - |
м ( А п |
= |
||||||
|
= |
М {sign [ А п - |
М ( А п І0Ѵ.,)]} { А п - |
М ( А п |Г„_,)} = |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= М | Л „ - М ( Л ге| ^ _ , ) | , |
|||
откуда |
А п — М ( А п |
|
(Р-п. |
н.), |
т. е. |
А п ^ ’„_1-измерлмы. |
|||||
6. Т е о р е м а |
2.15. |
Пусть |
Х — (хп, &~п), |
1, — мартингал |
|||||||
(полумартингал) |
и т = |
т(ю) — м. м. |
относительно системы (&~п)> |
||||||||
п ^ |
1. Тогда «остановленная» |
последовательность (хпАХ, @~п), |
|||||||||
п~^ |
1, также является мартингалом (полумартингалом). |
§ 4] СОХРАНЕНИЕ СУПЕРМАРТИНГАЛЬНОГО СВОЙСТВА 63
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Достаточно |
доказать |
теорему |
для |
|||
случая, когда X является супермартингалом. Из |
равенства |
|
|||||
^ х А п |
^ |
^ т^{ Х—т) |
х > л} |
|
|
|
|
|
|
т < п |
|
1 |
|
|
|
следует, что величины хХап ^-измеримы , интегрируемы |
при |
||||||
любом п = 1,2, ... |
и х Х А ( п + ] ) - |
хтЛга = %{х>п) ( х п+1 - |
Х п ) . |
Поэтому |
|||
М [ххМп+1) - |
хХАп I ЗГп) = Х(х>п)М (хя+1 - *„ I Г п} < |
О, |
|
откуда очевидным образом получаем утверждение теоремы. Заметим также, что эту теорему можно было бы непосред
ственно вывести из (2.5) (для супермартингала). Действительно, беря в (2.5) а = т и вместо т беря тДм, находим что Р-п. н.
Хх л т = Х і х Л п ) Л т > Щ Хх Л п \ Я ~ т>
|
|
|
|
Г Л А В А |
3 |
|
|
|
|
|
МАРТИНГАЛЫ И ПОЛУМАРТИНГАЛЫ. |
|
|||||||
|
|
НЕПРЕРЫВНОЕ ВРЕМЯ |
|
|
|||||
|
§ 1. Непрерывные справа полумартингалы |
|
|||||||
t ^ |
1. Пусть (О, , Р) — вероятностное пространство и F = (&~t), |
||||||||
0, — неубывающее семейство о-подалгебр |
|
О |
|||||||
|
О п р е д е л е н и е |
1. |
Супермартингал |
Х — (х{, @~t), |
|||||
(М |Х ;|< оо , |
М (xt \&~s) ^ |
xs, |
t ^ s ) |
называется |
непрерывным |
||||
справа, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) траектории xt непрерывны справа Р-п. н.; |
т. е. |
|
||||||
|
2) семейство (SFt), |
ti^O, |
непрерывно справа, |
|
|||||
|
|
|
= |
|
s > t |
t > 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Многие из результатов предыдущей главы переносятся |
на |
|||||||
непрерывные |
справа супермартингалы и субмартингалы (т. |
е. |
|||||||
на |
полумартингалы). |
всего |
один полезный |
результат, дающий |
|||||
|
Приведем |
прежде |
|||||||
условия существования у супермартингала |
X — (xt,!F t), |
0, |
|||||||
непрерывной |
справа |
модификации. |
|
|
0, непрерывно |
||||
|
Т е о р е м а 3.1. Пусть семейство F = (£ГД |
||||||||
справа. Для |
того чтобы супермартингал |
X — (xt, £Tt), |
0, |
допускал непрерывную справа модификацию, необходимо и
достаточно, |
чтобы функция mt = M x t, |
0, |
была непрерывной |
справа. |
|
|
|
Для доказательства нам понадобится следующая. |
|||
Л е м м а |
3.1. Пусть X = (xt,£ Tt), |
t ^ 0 , |
— супермартингал, |
для которого существует такая интегрируемая случайная вели
чина у, что xs ^ M ( y |
|£%) |
Р-п. н., s ^ 0. |
Пусть т, ^ |
х2^ |
.. . — |
|
невозрастающая последовательность марковских моментов. |
Тогда |
|||||
семейство случайных |
величин {.хХп, п = |
1, 2, |
...} |
равномерно |
||
интегрируемо. |
|
Положим уп — хХп, |
|
$ГХп. |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
= |
Тогда |
||||
по теореме 2.10 хХп ^ |
М (хХп_11@~хп) или, |
в новых обозначениях, |
У п > М ( У п - і 1 % ) . |
(3.1) |
§ П |
НЕПРЕРЫВНЫЕ СПРАВА ПОЛУМАРТИНГАЛЫ |
|
65 |
|||||||||
Отметим для дальнейшего, что |
Млг0 ^ |
Муп> |
Шуп- \ > |
Мг/. |
||||||||
Возьмем |
теперь |
е > 0 |
и |
найдем |
такое k~k(e), |
что |
||||||
lim Муп — Му* < е . Тогда |
для |
всех t i ^ k |
|
Муп — Myk < е. |
|
|||||||
П |
|
(3.1) |
для |
|
k |
|
|
|
|
|
||
Далее, в силу |
|
|
|
|
|
|
||||||
j \y n \d P = |
|
f |
yndP — |
J |
yndP = |
|
|
|||||
{\yn\> x) |
|
{yn>K) |
|
|
{»„<-*■} |
|
|
|
|
|
||
|
= My„ — |
|
J |
yn dP — |
J |
|
yn dP < |
|
|
|||
|
|
|
|
j |
|
г/А GfP — |
J |
ykdP^ |
|
|
||
|
|
|
(Уп<И |
|
{Уп<-Ц |
|
|
|
|
|||
< e + M y k — |
I |
y k d P ~ |
|
[ |
yfec f P < e + |
[ |
| y k |rfP. (3.2) |
|||||
|
{»».<*} |
|
|
{»n<-4 |
|
|
{| »„]>*} |
|
|
|||
Ho |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м \Уп \ |
^ |
МУп + 2МУп ^ |
|
+ 2M I У |
|
|||||
Р { \ У п \> Ц < |
к |
|
^ |
|
К |
|
|
к |
|
|
||
при Л —> оо. Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
sup |
|
( |
\y k \dP-*0, |
X-».00, |
|
|
|||||
|
«> ft ,, |
•L |
|
|
|
|
|
|
|
|
и, значит, согласно (3.2)
lim sup 1 _ и Я-“>V оо П^ fe
JГ I Уп \dP <ie. |
(3.3) |
(1 У п \ > 4
Поскольку величины |
y u . . . , |
yk интегрируемы, то |
для |
дан |
||||||||||
ного е > |
0 |
найдется такое L > |
0, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
max |
f |
I |
Уі I dP < |
|
e. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{\»i\>L} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вместе c (3.3) это влечет за собой |
равномерную |
интегри |
||||||||||||
руемость |
последовательности |
г/ь |
у2, ... |
Лемма |
доказана. |
со |
||||||||
З а м е ч а н и е . |
Если |
Р (т 1^ А г) = 1 , |
N < o o , |
то |
лемма |
|||||||||
храняет свою силу без предположения |
|
xs ^ |
М (г/ \@~s)> s!>0, |
|||||||||||
поскольку |
тогда |
достаточно |
рассматривать |
лишь |
s е [О, |
Л/], |
||||||||
а для таких s |
М (у \&~s) с у=*хN, Ml xN | < |
оо. |
|
tu |
t2, |
... — |
||||||||
2, |
Д о к а з а т е л ь с т в о |
т е о р е м ы |
3.1. |
Пусть |
||||||||||
числовая |
|
последовательность |
такая, что |
^ ^ |
t2^ |
• • |
• ^ |
tn I t> |
3 Р. Ш Липцер, А. Н. Ширяев
66 |
МАРТИНГАЛЫ (НЕПРЕРЫВНОЕ ВРЕМЯ) |
[ГЛ. 3 |
п-* оо. По предшествующей лемме величины (xtn, п = 1, 2, ...) равномерно интегрируемы, и поэтому из неравенства
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Р-п. н.) |
|
|
|
(3.4) |
||
получаем (теорема |
1.3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
xt > M ( x t+\&'t) |
(P-п.п.), |
|
|
|
(3.5) |
|||||||
где *) xt+ = |
lim Xfn. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Согласно |
|
tl |
|
|
|
|
^~t = |
Srt+, а xt+, очевидно, |
@~{+- |
||||||
|
предположению |
|
|||||||||||||
измеримо. Поэтому из (3.5) следует |
равенство Р (xt ^ xt+) == 1. |
||||||||||||||
Предположим теперь, |
что mt = mt+, т. е. Мл:, — Млу+. Тогда |
||||||||||||||
из равенства Р (лу ^ х,+) = |
1 |
сразу следует, |
что Р (xt = xt+) = 1. |
||||||||||||
Тем самым, |
у супермартингала X = (xt, SFt), |
|
0, |
существует |
|||||||||||
модификация |
Х + — (xt+, |
|
t), |
0, |
|
траектории |
которой, |
оче |
|||||||
видно, непрерывны справа с вероятностью 1. |
|
|
|
|
|||||||||||
Пусть теперь у супермартингала |
X — {xt, 5Гt), t ^ O , суще |
||||||||||||||
ствует |
непрерывная справа |
модификация |
Y = |
(yt, tFf), |
0. |
||||||||||
Тогда, |
поскольку |
P(xt = yt) = l , |
|
0, то |
Mxt = |
Myt, |
и по |
||||||||
лемме 3.1 |
|
lim M(/s = |
М lim ys == Мyt+ — Мyt. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
s-^t |
|
|
s^t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Иначе говоря, |
математическое |
ожидание |
tnt = |
M.v, ( = |
Myt) |
||||||||||
непрерывно |
справа. |
|
мартингал |
X = (xt,&~t), |
^~t — SFt+1 |
||||||||||
С л е д с т в и е . |
Всякий |
||||||||||||||
0, |
допускает непрерывную |
справа |
модификацию. |
|
|||||||||||
З а м е ч а н и е . |
В теореме 3.1 предположение о непрерыв |
||||||||||||||
ности |
справа |
семейства |
|
F = |
{@~t), |
і ^ О , |
является |
существен |
ным. Если оно не выполнено, то для существования непре
рывной |
справа |
модификации у супермартингала |
X = |
(xf,3?~t), |
|
0, |
достаточно, например, чтобы процесс |
хь |
0, |
был н |
|
прерывным справа по вероятности в каждой точке |
t, |
т. е. |
|||
чтобы P-lim xs = |
xt. |
|
|
|
|
|
s-^t |
|
|
|
|
§ 2. Основные неравенства. Теорема сходимости. Сохранение супермартингального свойства
для марковских моментов
1. Т е о р е м а 3.2. Пусть X — (xt,$~t), t ^ T , — субмартингал непрерывными справа траекториями. Имеют место следующие
*) Существование Р-п. н. предела |
lim x f |
вытекает из теоремы 2.6, |
|
поскольку последовательность (л, |
t ), |
п — I, 2, |
.... образует субмартингал. |