Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

§ 4]

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА

ФИЛЬТРА

559

где

т (t, t +

1) =

М [Ѳ( |

Следовательно,

+ О — mt+\ =

\ai — (bo В) (BoB)+

—

t +

1)) =

и

= a(Qt — m(t ,t +

1)),

M[(m6((^+

1, t) — mt+l) (m6i(t+

1, t) — m, + 1)*| = ay (t,t + 1)a ,

где

y (^ t +

1) =

М[(Ѳ<— m(t, t +

1))(0/ — m(t, t +

1))*].

Но

со­

гласно (13.110)

Y (*, t +

1) = yt — ytA\ [ßoß-f- H[Y^I]+ ^iYr

Значит

для

yt,

t > 0,

также справедливо

рекуррентное

уравнение

\

Aak- 4

размерности

(kl X k)

равен

k\

G2 — (b ab ...ak~xb)

размерности

(II)

ранг

блочной

матрицы

(k X Ik)

равен k;

не вырождена.

(III)

матрица B B *

Y0-

При этом

Тогда

существует и

не зависит от уо Ншу< =

Sp у0 <

00

и

матрица

у0

t -> ОО

решением

является единственным

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА

ФИЛЬТРА

561

Пусть

і — max [/<;&: ct Ф 0].

Тогда

из (14.109)

получаем

г—1

£/

Уі= /=0

=

Ci’

и, следовательно,

і-1

і-\

'

Dk — dk

^ i — ^,i°jdk

1у j =

iHk- і+і.

і—о

/=о

Поэтому в силу (14.108)

Dd*x = D y * J j i c ' Dyk_

= 0 .

і=О

Отсюда по индукции устанавливаем, что

Dd‘x — 0, j ^ k , что

вместе

с

формулой

(14.105)

доказывает

утверждение

леммы.

С л е д с т в и е . Пусть D =

D(kxi), d — dikXk)—некоторые матри­

цы и

D n — ( D d D , . . . d * - ' D )

—блочная

матрица

порядка (k X til),

n ^ k . Тогда

матрицы

Л е м м а

14.5.

Пусть

Ѳ= [Ѳ, (/),...,

ОД/)],

/==0,1, ....

—гауссовская последовательность, удовлетворяющая

рекуррент­

ному

уравнению

Ѳ/+і=аѲ<+ 6 е (* + 1). Ѳо =

0,

(14.110)

где а и

Ь—матрицы

размерностей

(k X k)

и (k X k) и

е(/) —

последовательность

независимых гауссовских векторов

в(/) =

= (8j (/),

.. .,

гк(/))

с независимыми

компонентами,

Мб; (/) = 0,

Мву (/) == 1, / =

1, . . . .

А,

/ =

0,1, ...

Если

блочная матрица

G2 — {b ab ...

ak~ xb)

размерности

{ky^lk) имеет ранг k, то матрица Г<=М0/0? при

является положительно

определенной.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Из (14.110) находим

Гі+, =

МѲі+іѲ;+1 =

М[аѲі +

6 е(/+ 1)][аѲ< +

&в(/+ l)f =

Поэтому

= аМѲіѲіѴ + frMe (/ +

1) в (/ + 1) b .

Г/+І =

аГ,а* +

&&\

Г0 =

0.

(14.111)

Следовательно,

Г, = ЬЬ\

Г2 =

М* +

abb*а"........

Гt = bb' + abb'a + ...

+ а*-'ЬЬг {аГ)*~\

Пусть t — k. Тогда,

очевидно,

Yt — GiGl и при t > k

г* -

g gi

t -

1

2

a’bb" (аУ.

(14.112)

2

+

І=к

Поскольку ранг матрицы G2 по предположению равен к, то

ранг матрицы

G2G2 также

равен

к. Тогда

из (14.112) следует,

что при

к

матрица Д

не вырождена.

Л е м м а

14.6.

Пусть

(Ѳ, І) =

( [Ѳ,, . . . ,

Ѳ„], [h, ■■■, l N]) ~

соѵ (Ѳ, Ѳ) =

М[(Ѳ — МѲ)(Ѳ — МѲ)*],

(14.113)

соѵ (і, і |б) =

М [(І — М (і 1Ѳ)) (І — М (II Ѳ)Л.

(14.114)

Тогда матрица

соѵ (Ѳ, Ѳ ||) =

М[(Ѳ — М (Ѳ IІ)) (б — М(0| І ) Л

(14.115)

также положительно определенная.

Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу невырожденности

матриц