§ 41 |
|
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ |
СВОЙСТВА |
ФИЛЬТРА |
563 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(см. (14.100)) |
с |
Ѳ0 = |
0. Тогда |
у? = |
М Г(Ѳ° — |
(Ѳ°. — m?V*l |
m°t — M (0“ I ЗГ)), |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£<+i — |
|
(t -f- 1). |
(14.118) |
Обозначим |
ѳ = |
Ѳ°, |
| = |
(|„ . . . . |
l k), Ѳ= |
(Ѳ°, Ѳ°, . . 0 ° . . , ) , è = |
= (e2(l), . . ., |
e2(k)). |
И |
пусть |
|
|
|
|
В = |
diag (В ... В), |
ä — diag (а ... а) |
|
— блочно-диагональные матрицы, |
у которых отличны от нуля |
лишь блоки, стоящие на диагоналях, равные соответственно
матрицам В и а. Тогда систему |
уравнений |
(14.118) |
для / = 0, |
1, ѵ -, /г— 1 можно представить |
в виде І = |
йѲ + /Зё. |
Векторы |
(Ѳ, Ѳ) и ё независимы, поскольку независимы последователь
ности е, (t) и e2(t), t = 1, 2, |
... Поэтому |
|
и |
М (І |Ѳ) = |
5М (Ѳ 10) |
|
|
|
|
I |
— M (I IѲ) = |
й [Ѳ — М (Ѳ IѲ)] + |
ßë. |
Отсюда в силу |
независимости векторов Ѳ и е получаем |
соѵ (I, І IѲ) = а соѵ (Ѳ, ѲIѲ) ä* + |
ß ß ’. |
Поскольку матрица ВВ* |
не вырождена, |
то не вырождена |
и матрица ВВ* = diag(ßß* ... ВВ*). Далее, матрица соѵ(Ѳ, Ѳ) =
= мѳ!Цѳ°)* |
является |
невырожденной по |
лемме 14.5. Поэтому |
по лемме 14.6 будет не вырождена и матрица |
|
соѵ (в. в 11) = М[(0° - |
М (0» I Уі))(в;- |
м (Ѳ» I ЗС|))-] = |
у», |
что и доказывает лемму. |
|
|
равен k, то для любого |
Л е м м а |
14.8. Если ранг матрицы G, |
вектора X = (хи . . . , |
xk), |
\ лу | < оо, |
і = 1, |
. .. , k, |
|
|
|
|
sup x*ytx < |
оо. |
|
(14.119) |
|
|
|
t >о |
xt — (x |
xk(t)), |
t — 0, |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть |
1, . . . , T > |
k, — управляемый процесс, удовлетворяющий рекур |
рентному уравнению |
xt+l — a*xt + A"ut, |
x0 — x, где управление |
ut = (и, (t, xQ........ xt), . .., |
ut (t, Xo, |
... , |
xt)) выбирается так, |
чтобы |
минимизировать функционал |
|
|
|
|
|
|
|
Г - 1 |
|
|
|
|
Ѵт(х] и) — х*ту0хт+ 2 |
[x"tbb*xt + u*tBB*utj. |
(14.120) |
Согласно замечанию к теореме 14.2 оптимальное управление üt, і = 0, 1, . ... Т — 1, существует и задается формулой
Üt = - [ B B ‘ + A P (t+ 1 ) А '\+ AP ( t + 1 )а%,
564 |
ПРИМЕНЕНИЯ К ЗАДАЧАМ СТАТИСТИКИ |
[ГЛ. 14 |
|
где хі+х — a x t + |
A*üt и |
|
|
|
р (t) = ЪЬ* + aP (t+ 1) а ~ a P ( t + 1) А* [ВВ* + АР (/ + 1) Л’]+ X |
|
|
X A P ( t + 1)а*, Р(Г) = уо- (Н.121) |
Сравнивая это |
уравнение с |
уравнением (14.103), |
убеждаемся |
в том, что |
P(t) = yT- f |
(14.122) |
|
Поскольку (см. (14,94)) |
для |
оптимального |
управления |
й = (й0, • • •, й-т—\) |
|
|
|
|
Ѵт(X, и) = |
х*Р (0) X = х*утх, |
|
то для доказательства леммы достаточно показать, что |
|
Ѵт(х; « X |
с < оо, |
(14.123) |
где постоянная с не зависит от Т.
По условиям леммы матрица G( имеет ранг k. Поэтому
матрица GIGi не вырождена. |
|
|
х0), |
. . . , |
щ (t, х0)), |
опре |
Рассмотрим |
управление |
üt = (üt (t, |
деленное следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
„ |
|
{ - A a k - t - ^ G ’ß A - ' i a f x , , |
t ^ k , |
|
|
u t = |
\ |
|
|
0, |
|
|
|
t > k . |
|
|
|
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|
Соответствующий управляемый |
процесс Jèt, |
t = 0, 1, . . . , |
Jct+X = |
— а xt Ar A*üt, ровно |
за |
k шагов попадает |
в начало координат, |
поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* * = ( а * ) Ч + 2 Ѵ ) * " '~ 'Л Ч = |
|
|
|
|
|
|
|
|
t=о |
k - \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*\k—t—1 |
A'Aak~1-' |
(GIGi) 1? xn |
|
(«Т |
|
|
2 |
|
|
|
(а*) |
|
|
|
|
|
|
t=о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
(fl*)‘ {-£ — (G *G i) |
(G T G i)~1} Xg — 0. |
Рассмотрим |
функционал |
VT(x,ü). |
Так |
как |
«, = |
0, |
xt — 0, |
t > k , то sup VT (x, ü) < |
оо. |
Но |
в силу |
оптимальности |
управле- |
T > k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
НИЯ U :====(Uq, |
• . • , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sup Ѵт(х, и) ^ |
|
sup Ѵт(х, й). |
|
|
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
T ^ k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sup x*vr x = |
sup |
(х, « X s u p |
Кг (х, й) = |
max |
Ѵт(х, и) < о о . |
0 |
Г > 0 |
|
|
Г > 0 |
|
|
0 < Г < / г |
|
|
|
§ 4] |
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ |
СВОЙСТВА |
ФИЛЬТРА |
565 |
Л е м м а |
14.9. Пусть y°t, t = |
0, 1, . . . , |
— решение |
уравнения |
(14.116) с начальным условием у° = 0. Если ранг матрицы G, равен k, то существует
lim у? = у0, |
(14.124) |
t-+oo |
|
где у0 — неотрицательно определенная симметрическая матрица
с Spy°<oo . Если к тому же и |
ранг |
матрицы G2 равен k, |
а матрица ВВ* не вырождена, то |
матрица у0 положительно |
определенная. |
|
|
14.8 величины х*утх |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Согласно |
лемме |
ограничены для любого |
(| лу | <оо , |
7 = 1 , •••> k). Пока |
жем, что эти величины являются монотонно неубывающими
функциями |
Т. |
Ти й°(Г]) и й°(Т2) — оптимальные управления, |
Пусть |
Т2 > |
отвечающие |
длительностям наблюдения 7’, и Т2 соответственно. |
Тогда, |
если х°(Тх) и x°t (T2) — траектории |
управляемых процес |
сов для |
управлений й°(7’1) и й°(Т2) соответственно*), то |
X у°тх = |
|
|
(X; |
й° (7’2)) = |
|
= |
¥ |
[ « |
( т 2) у ь ь • ( х ° ( т +2) )(а; ( т г ) у |
в в(г-; (гг))| > |
|
|
> |
З 'К З Щ ))’ ЬЬЦЩЩ + |
(й°,(Т,)у ВѲ-(й?(Г2))| > |
|
|
|
|
|
|
|
>Ѵ«Гі(х; |
й°(Т,)) = х \ тх. |
|
Поэтому, |
если й°(Г„) — оптимальное управление |
на интер |
вале |
Тп, |
а |
Т'п+1 == Тп 1, |
то |
|
|
|
|
|
|
Ѵ% {х\ й°(Тх) ) ^ Ѵ йт^х-, й°(Г2) ) < |
< Ѵ°т |
|
|
и |
в |
силу |
равномерной |
(по |
Тп) |
ограниченности |
величин |
Ѵ° |
(л;, й ° ( Т ^ существует |
lim Ѵйт [х\ |
й° (TJ) = |
дс*у°х. |
|
|
Отсюда |
в силу произвольности |
вектора л: |
ясно, |
что пре |
дельная матрица у0 является симметрической, неотрицательно определенной и Sp у0 < оо.
Если, наконец, rangG2 = £, |
а матрица |
ВВ* не вырождена, |
то по лемме 14.7 для любого |
ненулевого |
вектора х |
x*ykx>Q . |
Но величины л:*угл: являются |
монотонно неубывающими. По |
этому для любого ненулевого |
вектора х х*утх > 0 , |
Т > |
k, что |
и доказывает положительную |
определенность матрицы |
у0. |
!) Индекс 0 у V j (X, •), й° (Т), x°t (T) указывает на то, что у0 = 0.
1
566 |
|
ПРИМЕНЕНИЯ К ЗАДАЧАМ СТАТИСТИКИ |
[ГЛ. 14 |
3. |
Д о к а з а т е л ь с т в о |
т е о р е м ы 14.3. |
Возьмем управ |
ление |
|
й, = — [ßß* + |
ЛуМ*]- ' A f a x t, |
|
где |
|
(14.125) |
|
х<+) = |
а х , + А*и, |
(14.126) |
|
|
и матрица у0 определяется из |
(14.124). Покажем, что |
|
|
lim х’у°х1— 0. |
(14.127) |
|
|
if оо |
|
|
|
В силу (14.125) и (14.126) |
|
|
|
xUi4 °xt+\ = |
{х]а + й\А) у0 {а*х, + |
А*й(} = |
|
|
= |
it] [ау°а — 2ау°Л* (ßß* + ЛуМ’)- ' ЛуѴ + |
+ ау°Л (ßß* + Лу°Л*)_1 [ßß* + |
Лу°Л — ßß*] (ßß* + |
Лу°Л*)-1 X |
|
|
X Лу°а*} xt — тВВ*іц = |
|
= x,* {ауѴ — ау°Л* (ßß* + ЛуМ*)-1 Лу°а*} xt — щВВ'щ. (14.128) |
Поскольку у0 есть предел последовательности матриц у°, удовлетворяющих уравнениям (14.116), а матрица ВВ* невы
рожденная, то у0 |
является решением уравнения |
|
|
у° = ау°а* |
ЬЬ* — йу°Л* (ßß* + |
Лу°Л*)~' Лу°а*. |
|
Отсюда и из (14.128) |
находим |
|
|
|
|
|
|
|
хІ+іУ°Хі+і — х]у°xt = |
— [xibb'xt + ÜtBB*üt]. |
|
Следовательно, согласно лемме 14.9 |
|
|
|
|
|
|
|
Г - 1 |
|
|
|
|
|
0 < |
хту°хг = х*у°х — 2 |
[x'tbb'xt + utBB*m] ^ |
|
|
|
|
|
|
t—о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< х'у°х — Ѵ%(х; й° (Т)) -> 0, Т -> оо. |
Теперь ясно,- что |
поскольку |
матрица |
у0 |
не вырождена (лем |
ма |
14.9), |
то |
|
lim хт= 0 |
|
|
|
(14.129) |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
Г - * оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
F°r (x; |
ü°(T)) = |
x*y°x= lim |
^[х'фЬ 'й + |
йіВВ'ш]. |
(14.130) |
Т -> о а |
|
|
|
ГН> оо 1 = 0 |
|
|
|
|
Пусть |
теперь у0 — (не обязательно нулевая) |
неотрицательно |
определенная симметрическая |
матрица. |
Тогда |
в силу |
(14.120) |
Ѵ°т(х\ й ° ( Т ) ) ^ Ѵ т(х- Й(Г))<
Г - 1
^ХтУьхтА- 2 [x)bb'xt + UtBB'üt]. (14.131) 1=0
