Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 353

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 4]

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФИЛЬТРА

567

 

 

Переходя

в этих

неравенствах к пределу (Т

оо),

находим

с учетом

(14.129)

и (14.130),

что

 

 

Ііш х*утх — lim Ѵт(х\ й (Г)) =

lim Ѵйт(х; й° (Т)) = х*у°х.

(14.132)

71 -> оо

7' -> оо

Г

оо

 

 

Следовательно, в силу произвольности вектора

х

1іту7- = у°

 

 

 

 

Г - > со

существует. При этом у0 не зависит от начальной матрицы у0. Выше уже отмечалось, что у0 является положительно опре­ деленным решением матричного уравнения (14.104). Покажем, что в классе положительно определенных симметрических ма­

триц это решение является единственным.

Действительно, пусть у(І)

и у(2> — два таких

решения.

Обо­

значим \\1), і ^ О ,

решения

уравнений

(14.103)

с

у<н=

у<1>и

у02>(=

У(2) соответственно.

Тогда

согласно доказанному

 

 

 

lim у(А =

у0 == y(i\

i = l ,

2.

 

 

 

 

 

Г - > ° о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема доказана.

 

 

 

 

 

то в формулировке

З а м е ч а н и е

1.

Если sup Sp МѲ,Ѳ[ <

о о ,

 

 

 

 

<>о

 

 

 

 

 

 

поскольку

теоремы 14.3 можно отказаться от предположения (I),

S p у ,

S p MOfOf.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З а м е ч а н и е

2.

Пусть процесс

(0,,

І<) =

([Ѳі(0.

•••>

(г1)],

[|,(0, •••, |г(01)

удовлетворяет рекуррентным уравнениям (за­

дача

Калмана — Бьюси)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ѳ/4-i —

алѲ/ +

Ь,е, (t +

1),

 

 

(14.133)

 

 

 

\( —

 

+

^1е2 (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cp. с (14.100)). Чтобы в терминах матриц а,, Ьь Л, и ß, сфор­ мулировать условия, обеспечивающие существование предела lim yt, достаточно заметить следующее. Поскольку

t ОО

£ж = Л,п,Ѳг -{- А]Ь\ЪХ( / + ! ) + ß,e2 (t -j- l)t

то, полагая

 

а =

а, - ЫЫАх [AibibUX + ВХВ\\~' Л,а„

Л =

Л,а,,

Ь=

[ЬФХ- ЬхЪХАХ {АуЬфХАХ+ ВхВХГ1AxbibX\'ß,

B = {AxbxbXAX + BxBX)m,

сводим задачу исследования существования limy, к уже изу-

t ОО

ченной задаче для системы (14.100).

4. П р и м е р 3. Пусть Ѳ, и — одномерные процессы с

Ѳ(+1 = aQt -f Ьгх (t + 1), £ ж = ЛѲ, + ß e 2 ( / + 1).

568 ПРИМЕНЕНИЯ К ЗАДАЧАМ СТАТИСТИКИ [ГЛ. И

Тогда,

если

А ф О,

Ъ ф О,

В ф 0,

то выполнены условия тео­

ремы

14.3

и предельная

ошибка

фильтрации у0 — lim yt

(yt = М (Ѳ, — mtf, mt = M (0J|o,

\ t))

 

t

оо

определяется как

по­

ложительный корень

квадратного уравнения

 

 

 

 

Ѵ2 +

В Ц I - а 2 )

- Ь 2

у —

Ь 2 В 2

= 0.

 

 

 

А 2

 

А 2

 

§ 5. Рекуррентное вычисление наилучших приближенных

 

 

решений (псевдорешений) линейных

 

 

 

алгебраических систем

 

 

1.

Пусть заданы вектор у = (уь

. . . , у и) и матрица Л = ||а і;-||

порядка ( k \ n ) и rang А ^ min (k, п). Тогда система линейных алгебраических уравнений

Ах — у,

(14.134)

вообще говоря, может не иметь решений, а если и имеет, то решение может быть не единственным.

Говорят, что вектор х° есть наилучшее приближенное реше­ ние (псевдорешение) системы (14.134), если

 

 

 

I у — Ах° р = inf \ у — Лл: I2

(14.135)

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

и, если

также | у — А х ' \ = т’

і\у — Ах і,

то

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

k

 

 

I x ^ ^ U ' i 2,

 

(14.136)

где I у-

Ах

 

Уі - 2 ацхг і

 

2 1ж, р.

 

=2

 

 

 

 

 

і=1

 

/= I

 

 

/=1

 

Иначе говоря, псевдорешение есть приближенное решение,

имеющее наименьшую «длину».

 

 

 

Хорошо известно *),

что такое решение х° задается формулой

 

 

 

 

 

X

о

л +

у,

 

(14.137)

 

 

 

 

 

 

= А

 

где А +— матрица,

псевдообратная к матрице А (см. §

1 гл. 13).

Из (14.137) видно, что для отыскания псевдорешений требу­

ется находить

псевдообратную матрицу А +. Однако,

как будет

показано в этом параграфе,

 

используя уравнения оптимальной

фильтрации (13.56), (13.57), можно предложить рекуррентную процедуру нахождения псевдорешений, не требующую «псевдо­ обращения» матрицы А.

2. Начнем с того случая, когда система алгебраических уравнений Ах — у совместна (k^ri). В этом случае псевдоре-

) Q m ., например, § 5 гл. 1 в [30].

§ 5] ПРИ БЛИ Ж ЕН Н Ы Е РЕШЕНИЯ 569

шение х = А у выделяется среди всех решений а: тем, что его длина является наименьшей, т. е.

Введем некоторые

обозначения.

Пусть t — 1, 2,

k —

номера строк

матрицы

А,

at — строки

матрицы А,

 

 

 

 

а1

 

 

 

 

At =

 

 

г/, — элементы

вектора

у,

t = 1.........k,

 

 

Рассмотрим для каждого t (совместные) системы линейных алгебраических уравнений *)

Положим также

А,х = у*.

 

 

(14.138)

 

 

 

 

 

 

xt = A t y t,

Уt = E — AtAu

 

 

(14.139)

Т е о р е м а

14.4. Векторы

xt и матрицы

yt, t = 1,

. . . , k,

удовлетворяют системе рекуррентных уравнений

 

 

xt+ i = хі + Чіа*і + \{аі + <ѵА + і)+ {Уі + і - аі+ \хі)>

*о =

°>

(14.140)

Y / + j =

Y / - Y i a ; + , ( ö / + i Y <a ; + , ) + a t + i Y t , Y 0 =

£ .

( И . 1 4 1 )

где

 

 

> at + lytat+l > 0 ,

 

 

{at + іУtat+1)

[af+ iYfa<+ ij

 

(14.142)

0,

 

at + iytai+i =

0’

 

 

 

 

 

 

 

 

и вектор Xk совпадает с псевдорешением х°.

 

 

 

Если rang А = k, то (at+ lyta)+ l)+ — (at+ lyta)+

при всех

t — 0, . . . , k — 1.

Пусть Ѳ= (Ѳ1). . . , Ѳй) — гауссовский

Д о к а з а т е л ь с т в о .

вектор с МѲ =

0, МѲѲ* =

Е, и пусть

 

 

 

 

 

Ъ* = АА.

 

 

(14.143)

Тогда по теореме о нормальной корреляции (теорема 13.1) и

в силу того, что М^ — 0, МѲ(|*) — At, М(|*)(£*) — А(А'(,

т / ^ М ( Ѳ І ^ ) = At (AtAt)+Ü*-

) Размерность вектора х равна п при любом t.

570

 

ПРИМЕНЕНИЯ К ЗАДАЧАМ СТАТИСТИКИ

 

 

[ГЛ. 14

 

 

 

 

Но

по свойству 6° псевдообратных

матриц (см.

§

1

гл. 13)

At (AtA't)+= A t . Поэтому

 

 

 

 

 

 

nit = A t l*.

 

 

(14.144)

 

Далее,

опять-таки по теореме о

нормальной

корреляции

yt = E — A t At = Е — At {AtA))+At =

 

 

 

 

=

МѲѲ* -

МѲ (gO* (м f e O ( l O T (мѳ (|*)У = м [(Ѳ - m t)

(Ѳ -

т , У ] .

 

 

 

 

 

 

(14.145)

С другой стороны, систему уравнений (14.143) можно пред­ ставить в следующем эквивалентном виде, принятом в рас­

смотренной выше схеме фильтрации:

 

Ѳг + і — Ѳ*, Ѳ0 = Ѳ; It + 1 = Щ+ іѲ, £0 = 0

(14.146)

(ср. с системой (13.46), (13.47)). Из уравнений фильтрации

(13.56)

и (13.57) применительно к схеме (14.146)

находим, что

m t + ! =

m t +

YА

+1 ( a t + iYА + 1)+ (S* +1 — a t + >m t)>

m o =

°>

 

 

 

 

 

(14.147)

Vt +1 =

Y( —

Yta ) +

1 ( a t + .Yta t + .) + a t + iYi.

Y0 —

E -

 

 

 

 

 

(14.148)

Итак, требуемое рекуррентное уравнение (14.141) для у( уста­ новлено. Чтобы теперь из (14.147) вывести уравнение (14.140), поступим следующим образом.

Пусть 2 — Ѳ*х. Тогда

 

 

=

М AtQQ*x — Atx = у \

 

' Mltz =

MatQQ*x =

atx = yt,

(14.149)

Mm,2 =

M A tltz =

A t M ltz =

A t y t = xt.

Умножая левую и правую части (14.147) на г и беря затем математическое ожидание от полученных выражений, находим

МЩ + lz = Mmtz + ytat + l (at + {ytat +,)+[M|£+ lz — at +,Mmtz\,

что вместе с (14.149) приводит к искомому уравнению (14.140). Из (14.139) и (14.137) вытекает также, что xk = x°.

Для доказательства заключительной части теоремы положим для данного t

t

b = at + \ — xi!iCsas,

(14.150)

S = = 1

 

где числа cu . . . , ct выбраны так, чтобы величина bb* была минимальной. Обозначая с вектор-строку (щ, . . . , с,), запи­ шем (14.150) в векторной форме:

b = at + 1 — cAt.

( 1 4 . 1 5 1 )

§ 5]

ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ

571

Тогда

 

 

bb

— at + lat + 1 ^at + [^tc

cAtAtc.

Отсюда в силу минимальности величины bb* вытекает, что вектор с = (с\. с,) удовлетворяет системе линейных алге­ браических уравнений с [AtA]} — at+lA*u и, следовательно,

 

 

с = о,+|Л ;( Л ,Л ;р = я ,+ |Л,+.

(14.152)

Из (14.151) и (14.152) следует, что

 

 

 

 

 

 

b =

al+ l ( E - A + At)

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

bb' =

at+ l( E - 2 A + At + {A + A t) y t+ l =

 

 

 

 

 

 

 

= аі+ЛЕ — ATAt) ЯІ+І = a t+iytat+u

где мы воспользовались свойством 4° псевдообратных матриц

(§ 1 гл. 13).

А равен к,

то ранги

матриц

At,

Если

ранг матрицы

t = 1,

. . . ,

k, равны t. Поэтому при любом t = 1,

. . . , k

строка

аі+] не является линейной комбинацией строк

аи . . . ,

а(,

и,

следовательно, bb* > 0. Но bb* — at+\4ta)+v поэтому at+]\ tat+l > 0.

Теорема доказана.

 

 

 

 

 

3.

 

Обратимся теперь к тому случаю, когда система алгебраи­

ческих уравнений Ах = у несовместна.

Оказывается, что и в этом

случае для отыскания псевдорешения х° — А +у можно построить рекуррентную процедуру, не требующую «псевдообращения» матрицы А.

Будем предполагать, что матрица А — \\аң\\ имеет поря­

док (kyin). При описании рекуррентных процедур существенно различать случаи k ^ . n и k > n . Рассмотрим здесь лишь слу­ чай

Т е

о р е м а 14.5. Пусть k ^ n и rang А = k. Тогда псевдоре­

шение

х®= А +у совпадает с вектором х*, найденным из системы

рекуррентных уравнений (14.140), (14.141).

Для доказательства нам потребуется Л е м м а 14.10. Пусть В — матрица порядка (тУ^гі) и Е —-

единичная матрица порядка (п~Хп). Тогда

 

lim (аЕ + В*В)-]В* = В +,

(14.153)

а4-0

 

lim (аЕ Ат В*В)~1а = Е — В +В.

(14.154)

аіО

 

Смотрите также файлы