Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 230

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

590

ЛИНЕЙНОЕ

ОЦЕНИВАНИЕ

СЛУЧАЙНЫХ

ПРОЦЕССОВ

 

 

[ГЛ.

15

Тогда согласно теореме

10.3

xt и

yt

удовлетворяют

 

системе

уравнений

(15.45),

(15.46)

с

заменой l t

на %и Xt

на

xt,

причем

yt ==yt. Из

(15.45)

следует,

что

оценка

А,

 

является

линейной

(ср. с представлением (15.33)).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Покажем теперь, что оценка Xt является оптимальной.

 

 

Пусть

qj(t,

£)— некоторая

линейная

оценка

Ѳу (/)

по

^

и

q f ( t , Q — последовательность

линейных . оценок

от

 

gА п ) ,

 

 

I in),

где

T{n) = {ti0

,

 

t f ) g - fn +

D;

,(n + 1)

 

 

A n +

1)1

 

 

w0

 

,

 

 

Ot+ 1 j,

t f

== 0,

t f

=

t,

такая, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q^t,

g) =

l.i.m. q f(t,

g).

 

 

 

 

 

 

 

 

Положим

i f (t,

І) =

M (Ѳ/ (t) I

 

„),

где

 

„ =

а ja:

f (n), ...

 

 

 

и обозначим kf\t,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

J o

 

. .., !(«)},

g)

оценку,

полученную из i f (t, g)

 

 

J

 

 

 

 

 

 

§ ш на |

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

заменой

величин |

. . . .

 

••.,

g » .

По лемме 14.1

 

 

 

 

 

 

‘ о

 

Ы

 

 

Ч

 

 

 

‘ п

 

 

 

 

 

 

линейная

оценка

k f (t,

g)

является

оптимальной

 

линейной

оценкой

Ѳ,

 

по

величинам g <«),

. . . ,

g <«>,

т.

 

е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М[Ѳ, (/) - Аf

 

Ч

 

 

 

*п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Но

 

 

(Л g)]2 <

М [Ѳ/ (/) -

 

?<»> (/,

g)]2.

 

 

 

м [А/& g) -

ат (/, I)]2= м [Я/а, I)- i f

а, I)]2.

 

 

 

 

 

 

Так же, как и при доказательстве леммы 10.1, устанавли­

вается,

что

 

 

lim М [Â/ (t, I) -

 

I f

(t,

g)]2 =

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м [Ѳ, (t) -

Ai

(t,

I)]2 =

lim M [Ѳ/ (t) -

Аf

(t , l) ]2 <

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< lim М [Ѳу. (/) -

 

q f

(t,

g)j2 =

M [Ѳ;. (/) -

q, (t, g)]2,

что и доказывает оптимальность оценки Ay (t, g), j— 1,...,

k.

 

 

З а м е ч а н и е . Аналогичным образом проверяется,

что опти­

мальные (в среднеквадратическом смысле) линейные оценки

интерполяции и экстраполяции для процесса

(Ѳ„

g,),

удовле­

творяющего

 

системе (15.44),

могут

быть получены из соответ­

ствующих оценок для случая гауссовского

 

процесса (Ѳ„ |,).

 

 

3.

Приведем

два

примера,

иллюстрирующих

возможности

применения теоремы 15.3. Эти примеры поучительны в том

отношении,

 

что рассматриваемые

в

них

процессы

задаются

§ 2]

Ф И Л Ь Т Р А Ц И Я

Н Е С Т А Ц И О Н А Р Н Ы Х П Р О Ц Е С С О В

591

в виде системы уравнении, не совпадающей с

рассмотренной

выше системой (15.44).

y t

и zt — независимые

 

 

П р и м е р

1. Пусть

между

собой

винеровские

процессы.

Рассмотрим процесс (Ѳ„

l t),

О, удо­

влетворяющий системе

стохастических уравнений

 

 

dQt —

Ѳ/ dt + (1 + Ѳ,) dyt

 

(15.49)

 

d\t = B t dt + dzt,

 

 

 

 

где | 0 = 0, а Ѳ0 — случайная величина, не зависящая от винеровских процессов y t, zt, t ^ O , с МѲ0 — m, M (Ѳ0 — m f — у > 0.

Положим

1+Ѳд

dys,

W2(t) ~ z t.

КМ(І +Ѳ*)*

Эти два процесса являются некоррелированными между собой винеровскими процессами в широком смысле, и

dQt =

~ Q t d t + V М (1 + 0 ,)W , (t),

dl t =

(15.50)

Qt dt + d W 2 (t).

В отличие от (15.49), эта система является уже частным случаем исследованной системы (15.44). Поэтому по теореме 15.3 оптимальная линейная оценка Kt значений Ѳг n o ^ = (g s,

и ошибка фильтрации Уг = М[ 0, —

определяются из урав­

нений

 

 

dX{ = — dt “I- \ t {d^i — hf dt),

Aq— tri,

yt = —2y* + M(1 + Ѳ,)2 — y2,

Y0 = y.

Для полного решения задачи необходимо вычислить

М(1 + 0 ^ = 1 + 2/г( + Д, + л?,

где

щ = МѲ;, At = M{Qt — n t)2.

Из (15.50) находим

nt — n0— J ns ds

о

592

 

Л И Н Е Й Н О Е

О Ц Е Н И В А Н И Е

С Л У Ч А Й Н Ы Х П Р О Ц Е С С О В

[ГЛ . 15

и в силу формулы Ито

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д /= М (Ѳ* — П()2=

М j(Ѳ0 — д0)2 — 2 I (Ѳ5 — ns)2ds +

 

 

 

 

+

{ (1 +

0S)2ds +

2 j ( ß t - n s) (1 +

Ѳ,) dys } =

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= \ - 2 l &

, d s +

j ( ! + A ,

+ 2n, + n J)* .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

Таким образом, оптимальная линейная

оценка Kt и ошибка

yt определяются

из системы уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

dkt — — kt dt + yt (dlt — Xt dt),

 

 

 

 

 

 

 

 

Yt ~

~~ 2Vt — Y< + 1+

+ 2nt + n2,

(15.51)

 

 

 

 

ht =

— щ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А/ =

— Af +

1 +

2nt -f- n2,

 

 

 

 

где A0 =

n0 =

 

m,

у0 = Д0 =

у.

yt и 2 t — независимые между

со­

П р и м е р

 

2.

Пусть снова

бой винеровские процессы, а

процесс

(0t,

gt)> ^ ^ 0 ,

определя­

ется

из

уравнений

dQt — — Ѳ* dt + dijt,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ъ

—

» , « + * , .

 

 

<15-52)

где

£0 =

0,

a

Ѳо — гауссовская

случайная

величина,

МѲ0 =

0,

M0o = Y> не

зависящая

от

процессов

yt и zt.

Рассмотрим

за­

дачу линейного оценивания величин Qt и 0^ по

=

 

 

Обозначим

Ѳі (0 = Ѳь

 

02 (0 = Ѳ?- С помощью формулы Пто

убеждаемся

в том, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

äQ2 (t) =

— ЗѲ2 (t) dt-\- 30, (t) dt +

ЗѲ2 (f)dyt.

 

 

Итак,

0, {£)

и

02 (t) удовлетворяют

системе

стохастических

уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(t) =

— Ѳ, (it) dt +

dyt,

 

 

 

(15.53)

 

 

d% ( 0

=

1 - зѳ 2 ( 0

+

30, {t)] dt + ЗѲ2 (t) dyt.

 

 

 

 

Обозначим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«M 0 =

l/t,

W2(t) =

V 2

J

02( s ) ^

 

yt

W3(t) = zt,

 

 

 

 

 

V 2 '

§ 3]

ОЦЕНИВАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ

593

Нетрудно проверить, что W^{t), W2(t) и W3 (t) ~ некоррели­ рованные между собой винеровские процессы в широком смысле. Следовательно, процессы Ѳ, (t), Ѳ2 (t) и lt удовлетворяют сис­ теме уравнений

dQ{(t) — —-

(t) dt + d it7, (t),

dB2 (t) = [ -

ЗѲ2 (t) dt + 30! (/)] dt + ^ d W l + - ~ dW2 (t), (15.54)

d%t = ö2(t)dt + dW3(t),

где lo = 0, а вектор (0j (0), Ѳ2(0)) имеет следующие моменты:

МѲ,(0) = МѲ2(0) =

0, МѲ?

(0) = 1/2,

МѲі (0) Ѳ2 (0) = МѲо= 3/4,

Система (15.54)

МѲІ(0)

= МѲо= 15/8.

является системой

типа (15.44), и, следова­

тельно, оптимальные линейные оценки для Ѳі(/) = Ѳ* и Ѳ2(/) = Ѳ^ могут быть найдены из системы уравнений (15.45), (15.46).

§3. Линейное оценивание стационарных в широком смысле случайных процессов с дробно-рациональным спектром

 

1.

Цель этого

параграфа — показать,

как теорема

15.3 мо­

жет быть применена к построению оптимальных линейных

оценок для процессов, указанных в заголовке. Соответству­

ющие результаты для случайных последовательностей

были

рассмотрены

в

§

1

предыдущей главы.

Пусть

г] =

(гр),

— оо < / < оо,— действительный

стационарный

(в

широком

смысле)

процесс,

допускающий спектральное представление

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

”' =

J

 

 

 

 

 

 

 

 

<| 5 И >

 

 

 

 

 

— оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

Ф (dk)— ортогональная

спектральная

 

мера,

 

МФ(й?Я) = 0,

М I

Ф (dk) I2 =

- g - ,

 

 

(г) = 2

bkz \

Qn (г) =

z“ +

2

akz \

 

 

 

 

 

 

 

 

fc=0

 

 

 

 

 

 

k=0

 

а действительные части корней уравнения Q„(z) = 0 являются

отрицательными.

Рассмотрим

процессы

 

 

 

 

 

 

 

 

Г]j(t)=

оо

 

Wj(ik)<&(dk),

 

 

1 , . . . ,

 

(15.56)

 

 

[

е ш

j =

 

n,

 

 

 

 

—оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

частотные

характеристики Wj(z),

/==

1,

. . . ,

п,

подобраны

следующим специальным

образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

Wi { z ) = z ~ (n-'i)Wn {z)+

2

ßÄ2 - (fe“ /+1).

/ =

1, . . . ,

« — 1, (15.57)

 

 

 

 

 

 

k=i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

594 ЛИНЕЙНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 15

2

akWk+l (z) -f 2

‘ß„

(15.58)

/ - 1

 

 

(15.59)

2

ß/'^n—/+/> / == 2,

. . ., Ai.

/= 1

,ЧТО

 

 

 

(2) + ß/]

i — 1 >. . . > n — 1,

(15.60)

 

Wn(z) = z~

-1

 

 

1

 

І

akWk + l (2 ) +

ßn.

 

 

 

 

k=0

 

 

 

 

Отсюда

получаем

 

wj z ) +

S

I + ß„

Wn(z) = z-

2

ak (

 

 

fe==o

V

 

 

/= k + i

 

и, значит,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^ n(2 ) =

P!rii(z)/Qn(z),

(15.61)

где P{n-\(z) — полином степени не выше п.

 

Тогда

из '(15.60),

(15.61)

получаем, что

 

 

 

W j{z)=

P(n-\{z)IQn{z),

j = l ,

(15.62)

где полиномыPnL\{z)

имеют

степень не выше п — 1, причем

в силу (15.59)

 

 

 

 

 

 

Wx{z) =

Pn_ x{z)IQn{z).

(15.63)

Таким образом,

процесс 'Пі(0 = тЬ t ^ O .

процесс

Т е о р е м а

15.4.

Стационарный в широком смысле

т1і(0==ть допускающий спектральное представление (15.55), является компонентой п-мерного стационарного (в широком

смысле) процесса тр =

(г|і(0.........т)„(0), удовлетворяющего сис­

теме линейных

стохастических

уравнений

 

dT\i(t) =

r]j+1(t)dt+ ß,dW t,

/ = 1, . . . ,

п — 1,

 

 

 

 

 

 

(15.64)

dr\n (t) =

— 2

Ö/T1/+1 (0 dt +

K d W t

 

 

/=о

 

 

 

 

 

с винеровским процессом

в широком смысле

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

Wt =

j -

-

1 0 (d \)

(15.65)

 

 

 

—00

 

 

 

и коэффициентами ßb

.. ., ß„, задаваемыми формулами (15.59).

При этом Мгр ( 0 ) ^ =

0,

0, / = 1 , . . . , п.

Смотрите также файлы