Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Сравнивая (16.90)

и равенство

t

М

(-Лу*/(s))2 ds —

t

J

I Ys(^*(s))2c?5 = Pt,

о

о

находим,

что должно

быть также выполнено равенство

+ АПі ) тНѴ ) = 0,

(16.96)

где согласно (16.87)

оптимальное декодирование

т }

опреде­

ляется из уравнения

dm*t= V P y e ~ pt/2dlt,

m5 = m,

(16.97)

а передаваемый сигнал I* = (&),

0 <

^<

Г (см. (16.86)),

удовле­

творяет уравнению

dlt =

У

~ е рт (Ѳ -

т?) dt +

d W t,

$ =

0.

(16.98)

Из

(16.97) видно,

что

оптимальное

декодирование

может

быть

записано также

в следующем

виде:

__

1 _РS

trit = m - \ - Y Ру J е

2

dgs =

о

__

* _ Р5

=

т + Ѵ Ѵ ч [ е

2 l? +

y j e

2

& d s \ .

(16.99)

о

Уравнение же (16.98) показывает, что оптимальная

опера­

ция кодирования

состоит

в том, чтобы

посылать

все

время

не само сообщение Ѳ,

а

«расхождение»

Ѳ— т)

между вели-

чиной Ѳ и ее оптимальной оценкой ті,

умноженное на

У —

Итак,

доказана

Л е м м а

16.6.

В

классе допустимых линейных кодирующих

функций

(16.84)

оптимальное

кодирование

(Ло, А\)

существует

и задается

формулами

iPtß

(16.100)

A \ { t) m l

(16.101)

Л Л Ш = Y'- -

При этом оптимальное декодирование пг}

и

передаваемый

сигнал

It

удовлетворяют

уравнениям

(16.97),

(16.98).

Ошибка

воспроизведения

д*(/) =

Ѵе-р<.

(16.102)

З а м е ч а н и е

1.

Рассмотрим класс

линейных

кодирующих

функций A0(t) +

Ai (t) Ѳ, не использующих обратную связь. Иначе

632

ПРИМЕНЕНИЕ К НЕКОТОРЫМ

ЗАДАЧАМ

УПРАВЛЕНИЯ

[ГЛ. 16

говоря,

будем предполагать, что

функции

Л0(/), Л, (f)

зависят

г

лишь от времени,

J [Л2(/) + Л2 (7)J Ш < оо и

о

t

y j M[^o(s) + Л! (s) Ѳ]2 rfs

Р,

0 < / < 7 \

О

Поскольку

М [Ло(s) +

А х (S) Ѳ]2 = [Л0 (S) +

тА\

(s)]2 + уЛ2 (s),

Yt

________Y_______

^ 1+ Рt '

<

1 + yJ л2( s ) ds

Ä (t) = inf М [Ѳ — m tf >

•

Но для кодирующих функций

Â(f) =

j / y *

A a{ t ) = - A x ( t ) m

среднеквадратическая

ошибка

в точности

равна

■jqrpj'

Поэтому

З а м е ч а н и е 2. Отметим еще одну особенность процесса

являющегося оптимальным

передаваемым сигналом. Если (Л0, А\)

—некоторое

допустимое

кодирование, то

согласно теореме

7.12

и уравнению (16.86)

d\t = [Л0 (t , £) -f Ai (t , I) m t] dt +

d W t,

где

W —

— винеровский процесс.

Для

оптимального

сигнала

Ao(t,

£’) + А \ (t,

g*) т\ = 0.

Поэтому

процесс

£* =

(£?),

0 ^ / ^ Г ,

совпадает

с

соответ­

ствующим ему обновляющим

процессом

W7 —

^"Г)- Следо­

вательно,

в

оптимальном

случае

передача устроена

так, что

передавать

надо

только

обновляющий

процесс

W = (Wt, F f y

3. Покажем теперь,

что

найденное

в

лемме

16.6

кодиро­

вание (Ло, Л() является оптимальным также в

том

смысле,

что оно дает

наибольшую

информацию

ІДѲ, g)

о Ѳ в

прини­

маемом сообщении

ëo =

{£s>

Для

каждого

/,

0 < ^ < 7 \

Пусть

Іг =

sup ІДѲ, g),

где

sup

берется по

всем

сигна­

лам Іо =

{І5,

удовлетворяющим уравнению (16.82)

с до­

пустимыми кодирующими функциями А =

(A (t, Ѳ, g)),

0 = ^ < Т .

Л е м м а

16.7.

Процесс Г =

O ^ s^ T },

найденный

в

лемме

16.6, является

также

оптимальным в

том

смысле,

что для него

І/ =

І/(Ѳ,П =

Т".

(16.103)

До к а з а т е л ь с т в о .

Пусть А — (А (t, Ѳ, g)), 0

^ Г, —неко­

торое допустимое кодирование. Тогда из теоремы

16.3

и

пред­

положения

(16.83)

следует,

что

t

ІДѲ, g) =

о

М [ Л2 (s, Ѳ, g) — А 2 (S,

I)] ds <

t

< у | М A2( s , d , l ) d s ^ ~ ,

(16.104)

о

где Л(5,!) =

М[Л(а, Ѳ, Ю|^]-

Л (s, Ѳ, g*) = Ло (s, g) +

А* (s) Ѳ

с

С другой

стороны,

возьмем

Ло(s, g)

и ЛДа),

определенными

в

лемме

16.6.

Тогда

и, значит, согласно

(16.104),

(16.90)

t

h (ѳ, Г) =

J

J М [Л5

(S, І) + ЛГ (s) Ѳ]2 ds = ^ - ,

о

что вместе с (16.104) доказывает требуемое

равенство (16.103).

4. В настоящем

пункте будет показано,

что линейное коди­

§ 4]

ОПТИМАЛЬНОЕ КОДИРОВАНИЕ И ДЕКОДИРОВАНИЕ

635

dQt =

a(t)Qt dt + b( t ) dWt,

(16.110)

где винеровский процесс

W — {W^),

не зависит от

МѲ0= т ,

D0o = у > 0, a

\ a ( i ) \ ^ . K ,

| 6(f) 1=^/0

| = (£,),

Будем

предполагать

(ср. с (16.86)),

что

процесс

0 < f < 7 \

получаемый на выходе канала,

является единствен­

ным сильным решением уравнения

=

|) +

A x{t, D W t

+ dWt,

Іо=

0,

(16.111)

где

винеровский

процесс W — (Wt),

не

зависит от

W,

Ѳ0 и (неупреждающие)

кодирующие функции Л0(/,

|) и

(t, |)

удовлетворяют условиям

Р I

f Ло (t,

I) dt <

оо 1 =

1,

sup

IЛ, (t, х)

I <

оо

U

j

x * C , t < T

и энергетическому ограничению

М [Л0 (t, І) +

Л,(*,

I) Ѳ,]2< Р

с заданной константой Р.

Пусть