Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 201
Скачиваний: 0
« 5] |
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ |
669 |
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
Полагая в (17.100) |
т(|) = |
тя (£) и обозначая 6Я (|) = Ѳ,я (6)і |
|
получаем для оценки |
бя (|) |
представление (17.92). Для про |
||
верки свойства (17.93) достаточно заметить, что
|
Рѳ{тя ® |
> t) = р j |
j al (I) ds < |
H J , |
||||
откуда |
в силу (17.90) вытекает, |
|
что |
|
||||
|
Рѳ{тя (S) = |
00) = |
рѳ I |
хнj |
a? (£) dt < H |
} = 0. |
||
Далее, |
(5) |
|||||||
|
|
« © |
= 0 |
- j |
|
I |
at {l)dW , |
|
и по лемме 17.4 |
величина [6Я (g)— Ѳ] У н является нормально |
|||||||
распределенной, |
IV (0,1), для каждого Ѳ. |
|
||||||
Наконец, согласно теореме 7.22 для любого несмещенного
плана Д = А(т, б), |
удовлетворяющего условиям (17.96) и (17.97), |
||||||||||
Мѳ[6 (!)-Ѳ ]2> |
|
|
|
|
н |
--- ОО < |
Ѳ < |
оо. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравнение этого неравенства с (17.95) |
показывает, |
что |
план |
||||||||
Дя = |
Д (тя, 6Я) является оптимальным в среднеквадратическом |
||||||||||
смысле. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема доказана. |
|
|
|
смысл |
константы Н > 0, |
||||||
2. |
Свойство |
(17.95) раскрывает |
|||||||||
входящей в определение планов Ая = |
Д(тя, бя): если требуется |
||||||||||
построить последовательный план, для которого дисперсия |
|||||||||||
ошибки (при |
всех |
Ѳ, — оо < |
Ѳ< оо) |
равна заданной |
величине |
||||||
е > 0, |
то в |
качестве такого |
плана |
можно взять план |
Дя== |
||||||
= Д (т-Н’ ötf) с |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Согласно утверждениям теоремы 17.6 этот план обладает |
|||||||||||
рядом |
несомненных достоинств: |
он |
является |
несмещенным, |
|||||||
а тот факт, что распределение величины (6Я (|)—Ѳ) У Н является |
|||||||||||
в точности нормальным, N ( 0, 1), |
дает |
возможность строить |
|||||||||
для Ѳ доверительные интервалы.
Возникает, однако, существенный вопрос: не являются ли эти достоинства следствием того, что.среднее время наблю дения Мѳтя является слишком большим? В приводимой ниже
670 ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ И РАЗЛИЧЕНИЕ ГИПОТЕЗ [ГЛ. 17
теореме для случая *) at (х) = xt даются оценки этого среднего
времени в зависимости от задаваемой величины дисперсии ошибки.
Т е о р е м а |
17.7. |
Пусть |
наблюдаемый |
процесс |
\ t, tT^- 0, |
|
имеет дифференциал |
|
|
|
|||
|
|
|
d \t = |
B%t dt + dWt. |
|
( 1 7 . 1 0 1 ) |
Тогда |
для |
последовательного плана Дя = |
Д (тя, бя), Я > 0, |
|||
при всех |
п = |
1,2, ... |
|
|
|
|
|
|
М ѳт « ( £ ) < о о , |
— о о < Ѳ < о о , |
( 1 7 . 1 0 2 ) |
||
и |
|
|
|
|
|
|
Мѳтя Ш < 2 [ [ Ѳ | Я + |
2 \ / я ] + |
(Ѳ2Я2 + 4Я) + 2Я , |
(17.103) |
|||
—оо < 0 < оо.
Вслучае Ѳ< 0 для Мѳтя (|) справедлива оценка снизу:
|
|
|
|
|
|
|
Метя ( |) > — 2ѲЯ. |
|
|
|
|
|
(17.104) |
|||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Прежде |
всего |
|
заметим, |
что |
в рас |
||||||||||
сматриваемом случае оценка |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
тя |
(6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ы & ) = T f j |
b ä h |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
может быть переписана в следующем |
виде: |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
• |
J2 (?) ~ ХН (І) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
t |
|
|
Ьн ( 1 ) - |
%н' 2Н |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для доказательства неравенств (17.102) заметим, что по |
|||||||||||||||
формуле |
Ито |
|
|
|
і |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
if = |
20 Jg*ds + 2 |
l 8dWs + |
t. |
|
|
(17.105) |
|||||
Отсюда получаем |
|
|
|
Jт ц (5 )/ |
|
|
|
|
|
|
||||||
Н |
т я |
(?) |
/ й |
Х ң (1) |
f |
|
|
( |
t |
|
|
|
|
|||
|
= |
|
й |
|
=;2ds2\dѳt + |2 |
|
SsJ* |
|
I dt -f- 4 д ) |
|||||||
|
о |
|
|
о |
\ |
о |
|
|
о |
чо |
|
|
|
|
|
|
|
) |
Из теоремы |
17.4 |
следует, |
что Pg |
|
dt — оо |
= |
1, |
I ѲI < |
00. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
§ 5] |
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ |
671 |
|
и, следовательно,
хн (6) ( <t |
\ |
тя <б) / •( |
|
\ |
|
|
||
т |(|)< 2 Я - 4 Ѳ |
I |
|
|
К |
« 7, |
\ о |
|
|
|
ѵ 0 |
|
/ |
|
о |
|
||
< 2 Я + |
4 |Ѳ |тд(|) + |
4тя (|) sup |
|
I« |
|
(17.106) |
||
Обозначим |
ß = |
|
sup |
|
Тогда |
из |
(17.106) |
|
|
|
0 < t < , X H (l) j L |
||||||
получим |
|
J |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тн2 ( 1 ) - 4 т н (|)[|Ѳ|Я + р ] - 2 Я < 0 , |
|
|
||||||
а значит для каждого Ѳ |
|
|
|
|
|
|||
хн (l) |
< 2 [ IѲIЯ + |
ß] + |/iT T 0T F + ßF + 27T |
(17.107) |
|||||
По теореме |
3.2 |
для |
р > |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
t |
p\ |
|
XH (?> |
|
|
Moßp = Мѳ |
sup |
|
|
J |
1s dWs |
|||
Is ds |
|
|||||||
\ о |
|
(? ) |
0 |
|
|
0 |
|
|
Поэтому (p = 2m)
*Я<?> 2m
м » Г < ( ^ т Г м »
|
|
|
|
|
( 2 m - 1 ) ! ! / r < ° ° |
’ (17Л08) |
||
поскольку случайная величина |
*я<5) |
d W s~ N ( 0 , H ) . |
|
|||||
J |
\ s |
|
||||||
Из (17.107) и (17.108) |
|
о |
|
|
|
|
||
получаем неравенство Мѳ[тя (£)]п< оо, |
||||||||
— оо < |
Ѳ< оо, п = |
1,2, |
... В частности, |
для случая п = 1 |
||||
Мѳтя ( і К 2 [ | Ѳ | Я + |
(Мѳр2)’/2] + 1/8 (Ѳ2Я2 + |
MOß2) + 2Я < |
||||||
|
|
< 2 [ | Ѳ |Я + |
2)/ЯІ + |
/8(Ѳ 2Я2 + |
4Я) + 2Я. |
|||
Для вывода оценки (17.104) достаточно заметить, |
что в слу |
|||||||
чае Ѳ< |
0 из (17.105) следует неравенство |
|
||||||
|
|
|
|
|
х н |
(?) |
|
|
|
Тя(6)> — 2ѳ я - |
J |
Is |
d W s . |
|
|||
Усредняя обе части этого неравенства, получаем оценку (17.104). Теорема доказана.
