Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

§ п

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

25

В частности, если для

последовательности %п, п =

1,

2, . . . ,

существует интегрируемая

случайная

величина

| такая,

что

то справедливо неравенство (1.2).

и

п =

2,

Т е о р е м а

1.3.

Пусть

(Р-п. н.)

<

оо,

1,

. . .

Для того чтобы

М Цп\S)-> М (£ \S) < оо

(Р-п. н.),

(1.3)

необходимо и достаточно, чтобы последовательность

п = \ , 2,...,

была равномерно интегрируемой.

полезное

Из теорем 1.2 и L3 вытекает следующее

С л е д с т в и е .

Если

(Р-п. н.) и последовательность Іп,

п — 1,

2, . . . , равномерно интегрируема,

то

М ( |£„— %W§)-+Q,

я-»оо

(Р-п. н.)

(1.4)

Т е о р е м а

1.4

(теорема

Лебега о мажорируемой сходи­

мости). Пусть

(Р-п. и.) и существует такая интегрируемая

случайная

величина

т),

что |£,г |^ т ]. Тогда

М (| £„ — £ 11^)->0,

я —> оо

(Р-п. и.).

З а м е ч а н и е

1.

Теорема

1.3, ее следствие

и теорема

1.4

сохраняет свою силу, если сходимость

(Р-п. н.) заменить

на

сходимость

по вероятности: £ = P-limg„.

З а м е ч а н и е

2.

Беря

в

П

в качестве S

теоремах 1.1 — 1.4

тривиальную

сх-алребру {0,

й},

получаем

обычные

теоремы

о предельном переходе под знаком интеграла Лебега,

поскольку

в этом

случае М(т}]^)=Мті.

@~о, $~\,

Пусть

теперь . . . ,

~2,

gr2s

•••

— неубываю­

щая (...,

...) последовательность а-под-

алгебр

Обозначим

Ѳ~^ =

er |( J ЗГпj

минимальную сг-алгебру,

содержащую алгебру событий

и положим ^~ -0O=

f '|^ V

Т е о р е м а

1.5 (Леви).

П

g — случайная

П

Пусть

величина

С M U K

оо. Тогда

с вероятностью 1

M ( £ | ^ ) ^ M ( | | < r j ,

rt_> оо,

M ( i l ^ n) - >M( | [ S T -J,

п - > - оо.

Следующее предложение содержит в себе утверждение как

теоремы 1.4, так и теоремы

1.5.

(Р-п. н.) и существует такая

Т е о р е м а

1.6.

Пусть

интегрируемая случайная величина тр что I

\ т І^Л -

Пусть,

далее,

...,

- 2 s

5Г_ І s

П~0s

^

@ ~ 2

— • • •

— неубывающая

после­

довательность

о-подалгебр

ЗГ^ =

g і ц г л ,

г . „ =

п

\

П

}

п

Тогда

с вероятностью

1

lim

M( | m| ^' n) = M ( | | ^ ‘J ,

п, m->оо

(

1. 6)

lim

M(gm|0-_„)=M (£N T -«).

п, m

оо

Т е о р е м а 1.7

(критерий компактности Данфорда — Пет­

тиса).

Для

того чтобы семейство случайных величин {£а, а е

21}

с МI £а I <

оо было

слабо компактно, необходимо и достаточно,

слабая

компактность семейства

{£а, а е

21}

означает,

что каж­

дая последовательность £аІ. «,■*е

21,

/ = 1 ,

2,

. . . ,

содержит

слабо сходящуюся

подпоследовательность.)

В заключение этого пункта приведем одно необходимое и

достаточное условие равномерной интегрируемости.

последо­

Т е о р е м а

1.8

(Валле-Пуссен).

Для

того

чтобы

вательность | |(

| 2> •

• • интегрируемых случайных величин

была

равномерно интегрируемой,

необходимо

и

достаточно,

чтобы

существовала функция

G(t),

0,

положительная,

возрастаю­

щая и выпуклая книзу,

такая,

что

lim

с (О

=

оо,

(1.7)

t -> оо

t

sup MG(| ln о <

оо.

(1.8)

6.

Основные неравенства для математических ожиданий.

Н е р а в е н с т в о

Г ё л ь д е р а .

Если

р > 1,

-^- +

-^-=1, то

М ит1|< ( М Ш Р)1/Д М |тіі7Д

(1.9)

М| £ т ||< Ѵ Ш 2Щ г-

(1.10)

Н е р а в е н с т в о

М и н к о в с к о г о . Если р ^ \ ,

то

(МI і + ц П1/р< (М и І7/Р+ (мң Гу».

(ini)

Н е р а в е н с т в о

И е н с е н а .

Пусть f(x) — непрерывная

выпуклая (книзу) функция одного

переменного и | — интегри­

f m x M H D -

(М2)

З а м е ч а н и е .

Все указанные неравенства

остаются

спра­

ведливыми, если

операцию математического

ожидания

М( - )

§ Ч

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

27

заменить

на

условное математическое ожидание

М( - | ^),

где

^ — ст-подалгебра

ЗГ

основного вероятностного

пространства

(Q, Т , Р).

Ч е б ы ш е в а .

Если

М | £ | < о о ,

то

для

Н е р а в е н с т в о

всякого а > О

P { l g | > a } < ^ i .

7.

Лемма

Бореля — Кантелли

служит

основным средством

при исследовании свойств, выполняющихся «с вероятностью

1».

Пусть

А 1,

А2,

. . . — последовательность

множеств

из

SF.

Множество А* называется верхним

пределом

последовательно­

сти множеств Л|,

Аъ ... и обозначается А* =

lim„sup Ап, если А*

с о с т о и т из всех

тех

точек со, каждая из которых принадлежит

Часто также пишут

А* = {Ап

б. ч.}.

Множество Л,

называется

нижним пределом последователь­

ности

множеств

Аи

А2, • ■.

и обозначается At — limrt inf Ап,

если

Л, состоит из точек со,

каждая из которых принадлежит

Л е м м а

Б о р е л я — К а н т е л л и . Если

2 Р ( ^ « ) < ° ° >

то

ОО

П=1

Р(Л*) = 0. Если

же 2

Р(Л„) = °° и множества Аь Л2, ...

не-

зависимы (т.

е.

гс=1

Р(Л<6)

для любых

Р (А 1{,

. . . , Лг&) = Р(Л*1) ...

различных іи . .. , ik),

то Р (Л ’) = 1 .

£(со), опре­

8. Гауссовские системы. Случайная величина £ =

деленная на

вероятностном пространстве(Q, 3F, Р),

называется

(J2

<р(0 = Ме'^ = е П 2 1,

(1.13)

где — о о < т < о о , а2<оо .

В невырожденном

случае (сг2 > 0)

у функции распределения

^Ч(*) =

Р{ю: | (©)<*}

(1.14)

28

НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ

[ГЛ. I

существует плотность

fl (х) =

----

- e~<JC~lra)a''2gZ,

— о о < х < о о .

(1.15)

у 2.Тіа

В вырожденном

случае (а2 =

0), очевидно,

Р {| = т } = 1 .

Параметры

т и о2 нормального распределения,

задаваемого

характеристической

функцией

(1.13),

имеют

простой

смысл:

т =

М|,

о2 = 0 1 ,

где D £ = M ( g — Mg)2— дисперсия

случайной

величины |.

то

Mg2rt =

(2«— l)!!a2".

Если

т — О,

запись *)

В

дальнейшем

часто

будет

использоваться

g~jV(/n, о2), означающая,

что |

является

гауссовской

величи­

ной с параметрами т и а2.

£„), состоящий из случайных

Случайный

вектор g =

(g(, . . . ,

величин

| ь . .. ,

£п, называется гауссовским (или нормальным),

если

его характеристическая

функция

П

Ф (і) =

M e * »,

* = ( * „ . . . ,

U

t, е= /?»

(С I) =

2

^ / .

/= I

задается

формулой

Ф (t) — ei

2

(t, т)——Ш.

(1.16)

где т = (ти . . . ,

/я„), I m f | <

оо, (Rt, t) =

2 Пь АО и Я =

||rfe/|| —

неотрицательно

а, /

определенная симметрическая матрица:

2

/

5=^ 6,

t j ( =R,

гfcj

Гу^.

ft,

В невырожденном случае (когда матрица Д* положительно

определенная

и,

следовательно,

| / ? | = d e t # > 0 )

у

функции

распределения /^(х,, ... ,

х„) =

Р{ю:

g ,< x ,,

. . . ,

g„ < х„} век­

тора

g =

(g(,

%п) существует плотность

, хп) ■

(1/2

•ехр

>,аИ(х{— т {)(х,- — nij)

,

(1.17)

(2я)ге/2

где Л =

|[аг/ [| — матрица,

обратная

к R

(А =

R~l),

\ А \ =

del А.

Пользуясь введенными выше обозначениями,

плотность

fl(xb

. .. , хп)

можно

(в

невырожденном

случае)

переписать

*) Заметим, что обычно пишут

g~jV (m,

а).

Нам удобно,

однако, ис

пользовать

запись

о2).