Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

§ 3]

СТРУКТУРА ПРОЦЕССОВ

189

п — 1

Следовательно, \Azte

іКур2 тт

" 11 F , (Wt )— 0. В силу произвольности Я,

/=і 4 ''

З а м е ч а н и е 1.

Если Wt = {W{( / ) , . . Wn{t)) —n-мерный

винеровский

процесс

и X ~ [ x t,

t ^ T , — квадратично ин­

тегрируемый

мартингал с 2ГТ =

о {<&: ИМ«), • ••> WMS)> s=M},

то

= х0 +

2 ]

J fl (s, со) dWt (s),

( 5 . 3 4 )

i= 1

0

где величины fj(s, со)

^Ff-измеримы, i = l, . . . ,

n, и

n

T

2

I

Mf?(s> со)ds < oo.

( 5 . 3 5 )

1.

Пусть (Q,

,

Р) — полное вероятностное

пространство и

w = (w t, р

Т),

— винеровский процесс. Будем

предпола-

гать,

что

W

t

^ T ,

пополнены

множествами

из

Z T , имею­

t ,

щими P -меру нуль.

Пусть | — |(со)

есть

-измеримая случай­

Т е о р е м а

5 . 6 .

ная

величина

с

М

| 2

< о о .

Тогда

найдется F w -согласованный

процесс ( f ( t , со),

S T Y ) ,

і ^ Т ,

с

т

М J / м , a ) d t < о о

( 5 . 3 6 )

о

такой, что Р-п.

н.

г

| = м 1 + \ f { t , < X ) d W t .

( 5 . 3 7 )

О

Если к

тому же

случайная величина % и процесс

W — (Wt),

Q ^ t ^ T ,

образуют гауссовскую

систему

(§ 1 гл. I), т. е. сов­

190

КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ

МАРТИНГАЛЫ

[ГЛ. 5

детерминированная

измеримая

функция

f = nt),

< / < 7 \

т

с I f2{t)dt <

оо

такая, что

о

т

+ \ n t ) d w t.

(5.38)

о

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

xt = М (£

где

условные

математические ожидания выбраны так, что процесс xt, О

имеет

непрерывные

справа

траектории (это можно сделать

в силу теорему 3.1). Тогда

мартингал X = (xt,

<= Жт и

по теореме 5.5

найдется

функция f{t,

со) с указанными свой­

ствами

и такая,

что

t

м(g I Г * )

Xt =

+

{ f (s,

со) dWs.

(5.39)

о

Отсюда

следует

требуемое

представление

(5.37),

поскольку

M ( g | ^ )

= Mg (Р-п. н.), а хт=

1.

Предположим теперь,

что совместное распределение | и W

является

гауссовским.

Положим

А = | г .

SrWn = o{<o:W0, W A, . . . , W T} =

— а {со: Г д -

Г

0,

Г 2Д -

Г д,

... ,

WT — W{г_Д)}.

Поскольку

п+1

и

= а ^(J

,

то по теореме

Леви (теорема

1.5)

— М (£ l&~Jn) —►£ при п ->оо

с вероят­

ностью

1. Последовательность

случайных

величин

{(£„ — I)2,

п — 1,

2,

...}

равномерно

интегрируема, и поэтому

lim М|

— 1 12 =

0.

Значит,

lim

МҢ„ — £mf =

0.

Но в силу следствия

3 теоремы

п,

т->оо

§ 3]

СТРУКТУРА ПРОЦЕССОЙ

191

где

и (S) = ± м [(£ -

М£) (Г (*+1) Д -

Wkа)], 6Л <

s < (k +

1) Д,

т

и,

очевидно,

J f2n (s) ds

< оо.

о

по

свойствам

стохастических

интегралов

Следовательно,

т

lim

М ||„ — lm\2=

lim

f [fn(s) — fm (s)]2 ds.

n, Ш-+ 0 0

n>m-> oo *

Отсюда следует,

что существует такая функция

f (s),

0 ^

s ^ Т,

т

с

f2(s) ds <

оо,

что

о

т

т

lim { [fn(s) — f(s))2ds=z 0

и l.i.m. £„ = М£ +

J П->оо J

П-> со

Jh ( s ) d W s.

С другой

стороны, l.i.m. £„ = £. Поэтому

П-*0о

Т

І =

М£ +

J f(s)dWs.

о

З а м е ч а н и е

1. Отметим,

что при доказательстве

утвер­

мальной

корреляции.

Если

же

известно,

что

£ = М £ +

т

+ J

f (s, со) dWs, то будет справедливо также

и представление

о

т

£ = М £

+ J

Мf(s,

со) dWs. Чтобы в этом

убедиться,

достаточно

о

выше

функции fn(s)=*

заметить, что в этом случае введенные

№ + 1) а

= 4"

Мf(s, сo)öfs,

и поскольку \im f n(s) — Mf(s, со)

для почти

^ ,4

rt->CO

k д

(см.

доказательство

леммы

4.4),

то

в качестве

функ­

всех

s

ции

/(s),

участвующей

в представлении

(5.38), можно

взять

функцию / (s) — M/(s, со).

(5.38) становится, вообще

З а м е ч а н и е

2.

Утверждение

говоря,

неверным, если предполагать, что случайная вели­

чина

£

нормально

распределена, но не требовать,

чтобы сов­

местное распределение

(|,

W)

было гауссовским.