Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 261
Скачиваний: 0
180 |
КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ |
|
|
|
|
[ГЛ. 5 |
||||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Если |
функция |
f(t, со) |
непрерывна |
||||||||||||
Р-п. н. |
(по t ^ T ) , |
то |
можно |
взять f(t, a) = f(t, |
со). |
Действи |
||||||||||
тельно, в этом |
случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
f(t, |
со) = lim F {t + A’ a )~ F{t' m)- |
|
|
|
(5.17) |
|||||||||
|
|
|
|
|
д*о |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и при |
каждом |
t ^ . T |
величины |
f(t, |
со) |
будут ^-изм ерим ы |
||||||||||
в силу непрерывности |
справа |
семейства F = |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Если же функция f(t, со) не является непрерывной, то рас |
||||||||||||||||
смотрим последовательность непрерывных |
функций | fn (t, |
со)= |
||||||||||||||
— п Г e- 'l(<-s)/:(s, |
со)ds, |
п — 1, |
2, |
... і. |
Известно, |
что |
|
эта |
по- |
|||||||
о |
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
что с вероятностью 1 |
||||||
следовательность |
обладает тем свойством, |
|||||||||||||||
|
|
lim |
J I f(t, |
©) — fn(t> со) \dt = |
0. |
|
|
|
(5.18) |
|||||||
|
|
П->оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть f (t, |
со) — предел |
этой |
последовательности |
по |
мере |
|||||||||||
Я X Р. |
где Я — мера Лебега на [0, Г], и |
|
(t, со), Â = |
1, |
|
2, . - •}— |
||||||||||
подпоследовательность |
последовательности |
{fn(t, |
|
со), |
п — 1, |
|||||||||||
2, ...} , |
сходящаяся |
п. |
н. |
по мере Я Х Р к f |
(t, со). |
|
|
|
fn (t, со), |
|||||||
Покажем теперь, что при |
каждом |
t ^ |
Т величины |
|
||||||||||||
п — 1, |
2, . . . , |
а |
следовательно, |
и fnk (t, |
со), |
k = \ , |
2, |
. . . , и |
||||||||
f (t, со) ^-измеримы. Для этого рассмотрим последовательность дифференциальных уравнений
x{tn) = — nxf~> nF (t, со), |
п = |
1 , 2 , . . . , х(0п>— 0. (5.19) |
Ясно, что величины |
|
|
t |
|
|
х ( п ) — п J е - п (t - s ) f ( S) |
t f g |
|
о
при каждом t Т ^-измеримы. Следовательно, таковыми же являются и величины х{пК
Покажем теперь, что x f ] — fn(t, со).
§ И |
|
|
РАЗЛОЖЕНИЕ ДУБА - |
МЕЙЕРА |
|
181 |
|||||
Действительно, из (5.19) и определения F(i, |
©) находим, что |
||||||||||
х[п) — n[F(t, |
©) — |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
s |
|
|
|
I |
f(s,(£>)ds — n J e~n{t~s) J |
f (и, ©) du ds |
|
||||||||
0 |
t |
|
|
|
0 |
|
0 |
t |
|
. |
|
г |
|
|
|
t |
|
, |
|
|
|||
I |
f{s, |
oo) ds — J / (s, |
со) j n I e~n<*-“>du J ds |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= n J e - n^-^f(s, a>)ds, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
что доказывает ^-измеримость (при каждом |
t ^ T ) величин |
||||||||||
fn(t, ©), п = |
1, |
2, |
... |
Наконец, |
из |
(5.18) |
следует, что |
||||
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
J I f (s, |
©) I ds = |
J I f{s, ©) |ds |
< |
oo |
(Р-п. и.), |
^ > 0 . |
|||||
о |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
Лемма доказана. |
|
|
&) = |
(х, W)t, получаем требуе |
|||||||
Применяя эту |
лемму к F(t, |
||||||||||
мое представление (5.7). |
Остается |
лишь показать, |
что в этом |
||||||||
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
представлении |
М J a2{s, |
a>)ds < |
oo. |
|
|
|
|
||||
Для с > 0 |
|
о |
|
©) = е-с I “ |
“) Ч a {t, ю) | |
и |
|
||||
пусть b(t, |
|
||||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уі— \ e_c|a<s’“)lsign a(s, |
(o)dWs. |
|
|||||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
Процесс У = {yt, g~t), t^.T, |
является квадратично интегрируемым |
||||||||
мартингалом, и по лемме |
5.1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
(X, y)t= |
I e_cla(s,“)lsigna(s, ©)d(x, |
W)s = |
|
|
|
||||
t |
о |
|
|
|
|
|
t |
|
|
e~cIa(5' 1[sign а (s, ©)] а (s, |
©) ds = |
b (s, ©) ds. |
|
||||||
= j |
J |
(5.20) |
|||||||
о |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
Ясно, |
что функция b — b(t, |
©), |
0 ^ t |
T, |
является |
неупре |
|||
ждающей, |
ограниченной |
(| b(t, |
© |
) |^ / ( < 00 |
Р-п. н.) и , следо |
||||
вательно, |
принадлежащей |
классу |
Шт (см. определение |
4 в § 2 |
|||||
гл. 4). |
По лемме 4.4 найдется |
последовательность |
простых |
||||||
182 |
|
КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ |
|
[ГЛ. S |
|||||||
функций bn{t, а>), |
п — 1, |
2 , . . . |
(соответствующих |
разбиениям |
|||||||
0 = t{o) < t\n)< . . . |
< t n ] = T, |
max | t f h |
— t\n) | -*• 0, |
n->oo), |
|||||||
таких, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I M| b(t, |
со) — bn(t, |
co) |2cft-*0, |
r t — > o o . |
|
|
|||||
Из |
очевидного равенства |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Л«) |
|
|
,(«) |
|
|
|
|
|
|
|
|
г/+і |
|
|
|
|
|
|
ds |
|
|
|
( o) = |
J |
ö |
(s, |
со) ds |
J [bn ( s , |
co) — |
b (s, |
m ) ] |
|
|
|
An) |
|
|
|
An) |
|
4 |
|
|
|
|
bn. ( t f , |
— |
|
|
4 |
4+1 |
|
|
|||
|
|
An) |
_ |
An) |
An) |
_ |
An) |
|
|
||
|
|
|
4 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
и^-измеримости функций bn{tf, со) следует, что
|
ds |
b n { t f , |
+ |
Обозначим
ds
bn(t, fi>) =
t f h - t f )
0
§ П |
РАЗЛОЖЕНИЕ ДУБА - |
МЕЙЕРА |
183 |
|
Тогда |
|
|
|
|
т |
п—I |
|
|
|
М I bl (t, <o) dt = |
М 2 bl |
со) [#>, - |
1¥>\ < |
|
|
/=О |
|
|
|
Лп)
7+і
|
J |
М Г 6 „ (S, |
|
Іп\ |
<- |
< 2 М J 5*(/, <о)Л + |
2М ^ — |
|
о |
/ = о |
Т |
Т |
|
|
^ 2М J b2n(s, |
со) ds -J- 2М J* [ö„(s, |
|
о |
|
о |
г
<а) — è ( s , со) I |
d s |
11
f(л)( _ fin)
со) — b(s, a)fds. (5.21)
|
Оценим сверху величину |
М J b2n(t, |
v>)dt. |
Из |
определения |
||||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
функции 5„(/, со) и соотношения (5.20) получаем |
|
|
|||||||||
|
г7~ |
|
п - 1 |
JM j(x, |
- |
{X, у ) ф |
I |
jj* |
|
||
М J bl (t, |
со) dt = |
М |
/(я) |
_ |
fin) |
|
. |
(5.22) |
|||
о |
|
|
і=о |
|
7+1 |
|
7 |
|
|
|
|
Но |
при |
O ^ s |
< t ^ T |
в соответствии с (5.4), |
неравенством |
||||||
Коши — Буняковского |
и (4.49) |
|
|
|
|
|
|||||
М |
(М [(х, y)t-(x,y)s\$-s})2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
t — S |
|
|
|
|
|
|
n\ 2 |
||
|
t —s м I M |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(xt — xs) J e~c1a<“>a) 1sign a (и, <o) dWu \ |
|
|||||||||
|
|
' |
L |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
t — s |
M ( M [(x, — xsf I T s\ X |
|
|
|
|||||
|
|
XM |
( j |
ß -2c1a(к. <o) 11 sign а (и, |
со) |йн |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
< M [xt — xs]2 = |
Mx2 — Mx2 < |
Mx2. |
|||
|
Из этого неравенства и (5.22) получаем |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
П—1 |
|
|
|
|
|
|
|
М J bla, ©)df < |
2 |
м [•Х7„) |
— /(„)] = |
Мхг — Мхо < Mr < |
00, |
||||||
|
|
|
|
/=0 |
L 7+1 |
Ч J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
184 КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ [ГЛ. 5
что вместе с (5.21) дает следующую оценку: |
|
||||||
т |
|
|
т |
т |
|
|
|
М J Ь2 (t, со) dt < |
2М I |
bl {t, со)dt + 2М J [Ья {t, |
со) — b (t, co)]2 dt < |
||||
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
< 4Ma2 + 6M J [bn (t, co) — b (t, co)]2 dt. |
|||
|
|
|
|
|
о |
|
|
Отсюда, |
переходя |
к |
пределу при п —>оо, |
находим, что для |
|||
любого с > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
г |
|
|
М J g-2CI |
а «, а» Іа2 ш) d t = |
|у| J Ь2 (t, |
ö) dt < 4M*2, |
||||
|
о |
|
|
|
о |
|
|
а значит, |
по лемме |
Фату |
|
|
|
||
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
М J a2{t, со) dt |
4Мх^. < |
оо. |
|
||
|
|
|
о |
|
|
|
|
Теорема доказана.
§2. Представление квадратично интегрируемых мартингалов
1.Применим теорему 5.3 предшествующего параграфа для доказательства следующего важного результата о представлении квадратично интегрируемых мартингалов в виде суммы двух ортогональных мартингалов, один из которых есть стохасти ческий интеграл по винеровскому процессу.
Т е о р е м а |
5.4. Пусть семейство F — |
t ^ T , |
непрерывно |
|||||
справа, |
мартингал X — (xt, £Ft) е |
Жт и W = |
(Wt, ZTt) — винеров- |
|||||
ский процесс. |
Тогда существует такой F-согласованный процесс |
|||||||
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
(a(t, со), |
STt) с М J |
a2 (s,(£>) ds< оо и мартингал Z={zt, SF() е / г, |
||||||
что для |
всех |
о |
|
|
|
|
|
|
t ^ T |
t |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xt = |
J a(s, a^dWs + Zt |
(P-п. h .). |
(5.23) |
|||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
Мартингалы Z = |
(zt, |
t) и Y = |
(yt, |
t), где yt = J |
a (s, co) dWs, |
|||
ортогональны (Z1Y), t . |
e. |
|
|
о |
|
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
{z, |
y)t = 0, |
t< ,T . |
|
(5.24) |
|
