Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

194

КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ

МАРТИНГАЛЫ

(ГЛ. 9

Т

где

М I

fn(s>®) ds <

оо.

Из

этого

представления

следует, что

о

{xf'1,

F f ) ,

t ^ T ,

есть непрерывная

моди­

у мартингала Х[п) =

фикация.

Процесс (л;, — x f ],

F f )

имеет

непрерывные

справа

траектории, и по неравенству (3.6) для любого

е > О

PJ

sup

I X, — х\п)\ > е] < е _1М \хт— х№\ ^ е _|я2.

Поэтому по лемме

Бореля — Кантелли

Urn sup

I X, — х\п) 1=

0

(Р-п. н.).

п о

1

как

Отсюда следует,

что Р-п.

н.

функции xt, t ^ T ,

непрерывны,

равномерные

пределы

непрерывных

функций x f \

t ^ Т.

Перейдем теперь непосредственно к доказательству пред­

ставления

(5.42).

x„ = inf{ £ ^7’: \ х ,\'^ п ),

полагая тп — Т,

Определим

момент

если sup I X, I <

п.

Ясно,

что

(т

1

е

и

процесс

X —

= (xn{t),

F f )

с xn{t) — xtAX

1

"

образует мартингал (см.

3.16)).

В силу

непрерывности

Р-п.

н. процесса xt, t ^ T ,

sup ІхІЛг І < п .

« г 1

" 1

Тогда, применяя к мартингалам Xn =

(xn(t), F f )

теорему 5.5

получаем,

что для

каждого п = 1 , 2 , ...

t

Xn(t) = xn(0)+ j

fn(s,

CO)dW„

т

о

где

М

о

f2n (s,

со) ds

оо.

п г ^ п

Заметим, что для

и

J

<

хт(t А Xп) =

хп (t)

<лт„

xm{t Л т„) =

(0)-f

j

fm(s,

(ä)dWs =

о

Jt

— Хп(0) +

fm(s,

со)X{ sup |хц|<п} (s) dWs.

196

КВАДРАТИЧНО

ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ

[ГЛ. 5

стороны, Р-п.

С другой

lim хп (t) =

limНxt.

Ахп = xt,

Значит,

Р-п. н. для всех

t ^ T

xt — xt и

xt = xQ+

Jt / (s,

со) dWs.

0

Осталось установить, что это представление единственно:

если также xt =

х0+ Jt f' (s,

u>)dWs

с

неупреждающей

функ-

о

цией

f'(s,

со),

такой,

что

Р

( / '(s, а))2 ds <

оo j =

1,

то f(t,

со) =

f' (t,

со)

для

почти всех (t, со).

Пусть

f (/,

а>) =

f (t,

со) — f'(t,

со).

Тогда

для

процесса

t

Xt — \

f (s>w) dWs по формуле

Ито

о

t

t

X2=

I

f 2 (s,

to) ds -j- 2

I

xsf (s, со) dWs.

о

о

Ho xt = Q (P-п. H.),

t ^ T .

Поэтому

JT f2(s,

co)ds = 0,

откуда

следует, что

f(s,

&) = f'(s,

со) для

0

всех

(s,

со).

почти

Теорема

доказана.

Wt = (Wl (t),

Wn (t)) — /г-мерный

З а м е ч а н и е .

Пусть

винеровский

процесс и

^"®' =

ст{со:

(s), . . . ,

Wn (s),

s<^}.

Если

X =

(xt,

@~Y),

t ^ T ,

— мартингал

и sup M1xt | <

оо,

то

найдутся /^-согласованные процессы (f( (t, со),

@~f), i =

1,

...,

п,

f

ѣ

Т

\

такие,

что Р

^

f f2 (s, со) ds <

оо

=

1

и Р-п. н.

для

каждого

1=1о

/

Х( =

Х0 +

2

f

fi (s,

©) dWi (s).

l=\

■'

Доказательство этого

представления

основано

на

формуле

(6.34)

и проводится так

же,

как и в одномерном

случае.

§ 3]

СТРУКТУРА ПРОЦЕССОВ

197

3.

Из теоремы

5.7 легко

выводится

следующий полезный

результат (ср. с теоремой 5.6).

g(co) — 3"®-измеримая случай­

Т е о р е м а

5.8.

Пусть

g =

ная

величина

с М | | | < о о

и

t ^ T , — непрерывная

справа

модификация

условных

математических

ожиданий.

Тогда

найдется

процесс (f(t, со),

@~Y)>

O ^ i t ^ T , такой,

что

Р

всех t, 0 ^

t ^

Т

о

М(1 \П"!) =

Mg +

J f(s,

<ü)dWs

(Р-п. н.).

(5.44)

В частности,

о

т

о

(5.45)

Д о к а з а т е л ь с т в о

вытекает

из теоремы 5.7, если в ней

положить xt — М (I \Н~У) и учесть,

что х0 =

Mg.

4.

Т е о р е м а

5.9. Пусть g = g(co)—

-измеримая

случай­

ная

величина

с P ( g > 0 ) = l

и

Mg<oo.

Тогда

найдется

про-

цесс

(cp(t, со),

@~Y), 0 ^ . t^ . T ,

такой,

что Р

■о

и для всех t*CT Р-п. и.

М (g I &~Y) =

exp

I

cp(s,

со)d w s - j

Jcp2(s,

co) ds

Mg.(5.46)

о

В частности,

г т

т

-о

о

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

xt — М (g | @~У),

t ^ T , — непре­

рывная справа модификация условных математических ожи­

даний.

Тогда

по теореме 5.8

о

(5.48)

Покажем, что

Р (inf xt > 0) = l.

(5.49)

t<T