Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 262
Скачиваний: 0
§ 2] |
|
|
|
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МАРТИНГАЛОВ |
|
|
|
185 |
|||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
По теореме 5.3 |
можно найти процесс |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a(t, со), |
t) такой, |
что М J |
a2(t, |
со) dt < оо и |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(х, |
W)t = |
J |
a(s, |
(o)ds. |
|
|
(5.25) |
|||
|
|
|
t |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Положим |
yt = |
I a (s, со) dWs |
|
и |
zt = xt — yt. |
Очевидно, |
что |
||||||||
Z — (zt, |
|
о |
и по лемме 5.1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x, |
y)t = |
J |
a(s, со)d(x, |
№ ).,= J |
a2(s, |
со)ds. |
(5.26) |
||||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Поэтому |
<2 , y)t = |
{x — у , y)t = |
{x, |
y)t — (y)t = 0, |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
T . e . |
Z 1 Y . |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З а м е ч а н и е |
1. |
Если |
|
Ых2 = |
M J a2 (s, со) ds, |
то |
zt — 0 |
||||||||
(Р-п. н.), |
/ < Т, и |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
xt — J |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
a(s, |
K>)dWs. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
N\x2= M |
(zt + y ty = |
M z] + |
M y\. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Но Мх2= М у 2= Ы J a2(s, ®)ds. |
Поэтому |
Mz^ — 0, |
и, следова- |
||||||||||||
тельно, zt — 0 |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(Р-п. н.), t ^ T . |
|
|
|
|
|
|
Wt — |
||||||||
З а м е ч а н и е |
2. |
Если |
в |
условиях |
теоремы |
5.4 |
|||||||||
= (Wi (t), |
. . . , |
Wn(t)) — л-мерный |
винеровский |
процесс |
относи |
||||||||||
тельно |
|
t ^ T , |
то |
аналогичным образом |
доказывается, |
||||||||||
что |
существуют |
Д-согласованные |
процессы |
(а* (5, со), |
! F S) |
||||||||||
с М |
а? (s, со) ds< оо, і == 1, ..., |
п, и мартингал Z = (z„ |
|
|
|||||||||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
такие, что |
|
|
/г |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Х( = У^ {а . (s. и) с/Гг(s) + z,.
i=i a
186 |
КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ |
[ГЛ. 9 |
При этом
Пt
М |
( z t 2 J |
at (s, со) dWt (s) I = 0 , |
/ < |
T. |
|
i=1о |
|
|
|
2. Всякий |
случайный процесс X — (xt, &~t), |
t ^ T , вида |
||
|
t |
т |
|
|
xt = J a (s, |
co) dWs, M j a2 (s, to) ds < |
oo |
||
|
о |
о |
|
|
является квадратично интегрируемым мартингалом. Справедлив в определенном смысле и обратный результат.
Т е о р е м а 5.5. Пусть W = {Wt, STY) — винеровский процесс, t ^ T , и Мт — класс квадратично интегрируемых мартингалов
X = (xt, &~¥) с |
sup Мх? < |
оо |
и траекториями, |
непрерывными |
|||||||
|
4 |
' |
Г |
|
ѴР |
|
|
|
( |
|
w\ |
справа. |
Тогда, если X е |
|
|
|
|
|
|||||
Мт >то найдется процесс (f(s, |
со), @~s ), |
||||||||||
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s ^ . T , с |
М J /2 (s, со) ds < |
оо |
и такой, что для |
всех t |
|
|
|||||
|
|
о |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xt ~ x о + |
J |
f i s><ü)dWs |
(Р-п. н.). |
|
|
(5.27) |
|||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Прежде всего отметим, что |
(попол |
||||||||
ненная) |
система |
ст-алгебр Fw— {@~Y), |
t ^ . T , |
непрерывна |
(тео |
||||||
рема 4.3). По теореме 5.3 |
|
t |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{х, |
W)t — j f (s, со) ds, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
Где |
f(s, |
со) ^F f-измерима, |
Положим xt — xt — х0. |
Ясно, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
что |
X = |
(xt, ! F Y ) ^ M t |
и |
{х , |
W)t = J f(s, со) cis. |
Тогда |
по тео* |
||||
реме 5.4 |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xt = |
j |
f (s, со) dWs + |
zt, |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
№zt J f (s, co) dWs = 0, |
t < |
T. |
|
|
|
|
|
|||
|
о |
|
|
|
|
случае |
zt — 0 |
(Р-п. н.) |
|||
|
Покажем, что в рассматриваемом |
||||||||||
для |
всех t ^ T . |
Поскольку при каждом t величины zt |
^ "f-из |
||||||||
§ 21 |
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МАРТИНГАЛОВ |
187 |
меримы, то |
достаточно установить, что для любого п — 1, |
2, ... |
||||||||||
|
|
|
|
|
MZtÜ F i(Wtl) = 0, |
|
|
(5.28) |
||||
где |
Fj{x) — ограниченные, |
измеримые |
по |
Борелю функции и |
||||||||
0 < / , < . . . |
п = |
1, F\{x) = еікх, — оо < |
Я < |
оо и докажем, что |
||||||||
Возьмем |
||||||||||||
при |
всех |
5 ^ |
t |
|
Мztei%w° = 0. |
|
|
|
(5.29) |
|||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Мztea * ' = |
М [М (г, I STY) eaws] = |
Mzseaw |
|
|||||||
По формуле Ито |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
e^ u dw tt- ^ L |
eaw*du. |
(5.30) |
||||
Отсюда находим |
|
|
s |
|
|
|
S |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Я2 M |
|
||||
Mz,eiKV*= |
Mzs + |
іШ |
zs |
eawu dWa |
zs f eaw»du |
|||||||
2“ M |
||||||||||||
|
|
|
|
|
- 0 |
|
|
L |
о*) |
J |
||
Но Mzs = |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
M z , f eim »du |
— M J zseawu du = M |
J M{zs \ ^ u ) e aw“du |
||||||||||
|
J |
|
|
|
0 |
|
|
_o |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и по лемме |
5.1 |
|
|
|
s |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 еіШ« dWu |
||||
M |
zs / eaw» dWu = |
M xs ~ |
J f (и, со) dWu |
|||||||||
. |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
_o |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
= m s J eaw» dWa- M |
J f (и, со) dWu J eaw« dWu = |
|
|||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
S |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
M J / (m, ffl) егШ" du — M J f (и, |
со) егш“ du — 0. |
|||||||
Поэтому |
|
|
о |
|
|
|
о |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Мг,е“ г* = — £ / m (z.eM ’)du,
0
и, следовательно,
Uztei%wt = U z seik^ = Q.
188 |
КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ |
[ГЛ. 5 |
||
В |
силу произвольности Я, |
— оо < Я < |
оо , отсюда выводится, |
|
что и для всякой измеримой |
(по Борелю) ограниченной |
функ |
||
ции Fx(х) выполнено равенство (5.29). |
Пусть для любых огра |
|||
Докажем теперь (5.28) по индукции. |
||||
ниченных функций Fi (X), . . . . |
(X) |
|
|
|
м ^ п Ч р р ^ о .
п,
Надо показать, что тогда и \Azt Ц Ft (Wtj) = 0. Положим сна-
чала Fn(Wtn') = e
tw,
Поэтому
n—l
M
tn, — о о < Я < о о . В силу (5.30)
*п |
*п |
+ a J ei w udWu_ V _ |
j eaw»du. |
n —l |
|
= м |
+ |
/=1 |
|
n - 1. |
|
|
|
“Ь г'ЯМ г 1І |
р №і,) |
J |
eaw»dWt |
|
|
|
|
/=1 |
|
t Л - 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
n - l |
|
*п |
|
|
|
|
Я2 M |
|
|
f eaWadu |
(5.31) |
|
|
|
|
z* I P / 0 ^ / ) |
||||
|
|
|
/=■ |
|
|
|
|
По предположению индукции |
|
|
|
|
|||
|
|
М |
П—1 |
|
|
|
|
|
|
П |
F, (1F,.) = |
0. |
(5.32) |
||
Ясно также, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
п—1 |
|
|
|
|
|
|
М |
/=і |
|
|
|
: 0. |
(5.33) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из (5.31) — (5.33) получаем |
|
|
|
|
|||
|
п —1 |
|
п-1 |
|
|
|
|
М ^ ' |
I I |
( ^ ) = |
|
Д |
F, (Wt]) = |
|
|
|
І=1 |
|
|
/=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n —l |
|
|
|
|
|
2 |
Mzseaws J ^ F l (Wtl)ds. |
||
|
|
|
|
|
n - l |
/=0 |
|
