Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

204

КВАДРАТИЧНО

ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ

[ГЛ. 5

—

множества

Bt ^.-измеримы, что

М з М п и

ѵ(М \

т. е.

оо

м ]

I %M(t, ®) — %мп(Л

о

что и доказывает лемму.

лемма 5.5

В доказательстве леммы 5.4 будут использованы

и лемма 5.6 (см. ниже). Приведем сначала

At = t

утвер­

Д о к а з а т е л ь с т в о

л е м м ы

5.5.

В случае

ждение леммы установлено в гл. 4 (лемма

4.4),

где

было по­

казано, что существуют такие

разбиения

0 =

t(0n) <

t[n>< ...

...

< t {ri<

оо,

что

для f е

ОО

М J

I / (t, со) — fn (t, со) I2 dt -> 0,

п->оО,

(5.73)

О

оо

fn(t> ® )= 2 j / №

(5-74)

Значит,

для некоторой подпоследовательности щ | оо, /~*оо,

\f{t,

ю) — fn{(t, со)|2->0,

г-> о®,

(5.75)

для

почти

всех (^,

со)

(по

мере

dt dP).

Поэтому

|/Д,

со)—

— fnt (t, со) j2a(t,

ca)—*0, і->оо, также

для почти всех (^, со). Без

ограничения общности можно считать

функцию

/

финитной

и

IfU,

со) К К.

Тогда

I f(t,

со) — /„(*,

со) \2a(t,

со)< 4/(2а(/,

со),

ОО

где

М J а (£, со) dt =

МЛте <

оо.

Следовательно,

о

— lim

M j

I fit, со) — fn. (t, со) |2

CL

(tj co) dt — 0, (5.76)

І->оо

О

ством

леммы 4.4).

Лемма

5.5

доказана.

Л е м м а

5.6. Пусть 0 < а < й < о о

и а =

а (t),

t <=[а,

6],—

непрерывная

неубывающая

функция.

Для

каждого и е

R по­

ложим

и

ß(M) = i n f { ö < / < 6 :

a(t) > и},

если

а(Ь)>и,

ß («) — &,

если

а (ß )^ n .

Тогда функция ß =

ß(n),

н е R, обладает следующими свой­

ствами:

(1) не убывает и непрерывна справа-,

«;

(2)

если

а ( а ) ^ и ^ а ( Ь ) ,

то а (ß («)) =

(3)

если

a < t ^ . b ,

то ß(«) < t£=?u <

ct (/);

(по Борелю) огра­

(4) если ф= ф (t),

a ^ L t^ . b , — измеримая

ниченная

функция,

то

а (Ь)

I

ф ($(u))du.

(5.77)

а (а)

Доказательство свойств

(1)— (3) элементарно.

Справедли­

вость свойства (4) отмечалась еще в §

1 гл.

1.

Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы 5.4. Пусть

функция /(£,©) е

е 4 ( Ф г )

ограничена,

обращается в

нуль

вне некоторого ко­

нечного интервала [а, Ь], а процесс

At = АДф),

Р-п. н.

непрерывен.

Положим

и

ßa (w) =

inf {а ^

t

Ь:

ЛДсо) > и),

если Аь(а )> и ,

ß<0(«) =

è,

если

Аь( а ) ^ и .

Для каждого

к е [ 0, <х>) случайная

величина Рш(п) является

марковским

моментом

со значениями

в [а,

Ь]. Действительно,

согласно свойству (3) леммы 5.6

{(о: ßß, («) < ^ — (со: и < AJ

для

любого a ^ . t ^ . b .

Поэтому марковость

момента

ßffl(M) вы­

текает

из

леммы

1.2.

Положим

SFu — STf, (и) и J (и, <а) = f(ßMм), ©).

Поскольку

процесс ßB(«),

w ^O , имеет

Р-п. н. непрерывные слева траек­

тории, то он измерим

(даже прогрессивно

измерим).

Поэтому

из

измеримости

процесса

f = f (u, со)

вытекает,

что

процесс

f — f (и, ©)

также будет измеримым.

Согласно сделанному в условии леммы предположению

функция f — f(t,

со) является сильно неупреждающей,

а значит,

20ö

КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ

МАРТИНГАЛЫ

[ГЛ. 5

при каждом

ц > 0

случайные

величины

f {и, со) =

f(ßa (u), со)

являются

SFи —

(«гизмеримыми. В силу

определения функ­

ции рв (и)

и > Аь(со) =#> ßa (и) =

Ь,

и < Аа(со) =#> ßa (и) =

а.

Поэтому,

если

c =

su p |/(/,

со) [

и f(t,

со) =

0

для t ф. [а, Ь\, то

оо

t, и

М I 1f {и, со) I2 du = М I I f (и, со) I2 du

с2М [Аь— Аа] < оо.

0

^

Следовательно,

к

функции

f = f ( u , со),

u ^

0,

применима

лемма

5.5, согласно

которой для заданного е >

0 можно найти

такое

конечное

разбиение О =

ц0< « і < . . .

< и п <оо, что

М J I f {и, со) — f n (и, со) I2 du < 8,

где

П—1

[„(«, « ) =

2

f

к ,

®)х(„,. „(+|](« )= S

®)х(ч . ,„,](<■).

Покажем,

что функция

Ф„ (U fl>) =

х(а Ь] ( 0 1п (At, со)

(5.78)

оо

М J

| / (/,

со) — <р„ (t,

со) р dAt <

е.

о

Для этого заметим, что согласно свойству

(3) леммы 5.6

для всякого t, a < t ^ b ,

и /е = 0,

1, . . . ,

п — 1

{со: uk < A; < Mft+I} = {co: ß„(u*) <

* <

ß« (ил + ,)}.

Поэтому,

учитывая,

что

ßB(MA) s [ a , b]

для

всех

c o s Q и всех

k — 0, 1,

. . . , п — 1,

заключаем,

что

функция

сря == <рп(С ©)»

определенная в (5.78), может быть

записана в следующем виде:

=

Х(а,ы (t) fA Af ®) =

7(j, 6] (О

/1-1

%(а. Ь] №

/ (ßM[u k)> ®) X|ßm(ц

( uk + 1)}

(О =

{^и (uk ) < * ^

lio/(ßfflK ),

<*<P«

(5J9)