Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 270
Скачиваний: 0
§ 4] |
|
|
|
|
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ |
|
|
|
207 |
||||
По предположению процесс |
A, — At (со), 7 > 0 , |
непрерывен |
|||||||||||
Р-п. н. Поэтому |
|
из свойства (2) леммы 5.6 |
следует, |
что если |
|||||||||
|
|
|
|
|
ТО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Aßa(U) — u |
|
|
|
|
|
(5.80) |
|
и ßö (гг) <= (а, Ь\. |
Следовательно, |
если |
Ла (со) < и < |
Л (со), |
то |
||||||||
|
ф * (ß « ( “ ). ®)Ъа= , Ь] (Рш ( « ) )f n ( |
\ |
(В). ®I)n =( « . |
®)- |
|||||||||
Тогда согласно пункту (4) леммы 5.6 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
М J |
I / (/, |
со) — <р„ (/, со) I2 dAt = |
|
|
|
|
|
|
|
||||
о |
|
|
|
JЧ I / (ß«(а), со) — фя (ß№гг), со) I2 du = |
|
|
|
||||||
|
|
= |
м |
|
|
|
|||||||
|
|
= |
м |
J |
I / (ßa (гг), |
со) — f n (и, |
со) I2 с/гг < |
|
|
|
|||
|
|
< |
м J |
I / (ßa (гг), |
со) — f„ (и, |
со) I2 du = |
|
|
|
|
|||
|
|
|
о |
|
= М Jоо I f (и, со) — f„ (гг, со) I2 с/гг < е, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
Итак, |
простая |
стохастическая функция |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
fl—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф„« , “>) = ä |
f (T»’ “ ) v 4< |
« ' l+,iw ’ |
|
|
|
|||||
где |
Tk — ßo (гг*), |
|
является |
е-аппроксимацией |
функции |
((/, со) |
|||||||
вТл(Фг). Поэтому, если установить, что простая стохастическая функция
Х(*. ®) = W < T ( 0 ^ Т 2л (Ф2)
(Р(т^/^С < о о ) = 1), может быть сколь угодно точно аппрокси мирована простыми функциями, то лемма 5.4 будет доказана.
Пусть %n(t, со) — простая функция, определенная следующим образом: для k/2n < t ^ ( k + l)/2n
I 1, если x (a>)^ k/2n,
Xn (/> ®) |
I g, ^с л и т (и,) < k !2 n. |
208 КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ [ГЛ. 5
Тогда
00
М J [х(*. <*>) — ха (!, ©)]2dAt М[Лт+2_„ — Лх] - > 0, п-> оо.
о
Этим лемма 5.4 доказана для ограниченных функций f(t, со) е е Іл (Фг), обращающихся в нуль вне некоторого конечного
интервала. Общий случай функций |
f (t, <Х) ^ |
L2A (Ф2) легко сво |
|||||||
дится к |
рассмотренному. |
|
|
|
|
|
|||
4 . |
Леммы |
5.3 — 5.5 позволяют |
определить стохастические |
||||||
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
интегралы / (/) = |
J f (t, со) dxt |
по |
мартингалу |
X = (xt, STt) е Л |
|||||
для |
некоторых |
о |
|
f~f(t,(£>), |
удовлетворяющих |
||||
классов функций |
|||||||||
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
условию |
М | |
f2(t, (ä)dAt < о о , |
как |
пределы в среднем |
квадра- |
||||
|
|
о |
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тическом |
интегралов / (fn) = | |
f„(t, |
ю)dxt от |
простых |
функций |
||||
fn — fn{t,a>), |
|
о |
|
f(t,<a) в |
том смысле, что |
||||
аппроксимирующих f = |
|||||||||
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
М J |
I /(/,©) — /„ (t, |
со) I2 dА( -> О, |
п -> оо |
|
|||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
(ср. с соответствующей конструкцией для винеровского про цесса; § 2 гл. 4).
Точный результат формулируется следующим образом.
Т е о р е м а |
5.10. Пусть |
X — (xt,n~t), t ^ O , |
— квадратично |
||
интегрируемый |
мартингал из Ж и At — {x)t, |
0, — соответ |
|||
ствующий ему натуральный возрастающий процесс. |
|||||
Пусть выполнено одно из трех условий: |
|
||||
I. |
Функция |
|
f е La (Фз). |
|
|
II. |
Функция |
|
f ^ L A(Ф2), |
и процесс At, |
0, Р-п. н. непре |
рывен. |
|
|
|
|
|
II I. Функция |
f ^ L A (Фі), |
и процесс At, |
0, абсолютно |
||
непрерывен (Р-п. |
н.). |
|
|
||
Тогда однозначно определена (с точностью до стохастической эквивалентности) случайная величина 1(f), совпадающая в слу чае простых функций f с введенным выше стохастическим
интегралом и такая, что |
|
M/(f) = 0, |
(5.81) |
00 |
|
М [/(/)]2= М J f2(t, со) dAt. |
(5.82) |
о |
|
§ 4] СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ 209
Значение случайной величины 1(f) не зависит (Р-п. н.) от выбора аппроксимирующей последовательности простых функций.
оо
Случайная величина 1(f) обозначается также J f( t ,a ) d x t
о
и называется стохастическим интегралом от функции f = f(t, и) по мартингалу X = (xt,
Д о к а з а т е л ь с т в о . Существование 1(f) вытекает непо средственно из лемм 5.3—5.5. Свойства (5.81) и (5.82) следуют из соответствующих свойств для интегралов от простых функ
ций fn — fn(t> и) и того факта, |
что /(/) = І.і.ш ./(/„). |
|||||
5. |
Под интегралом |
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
f ( s’ |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
будет |
пониматься интеграл |
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
J /( s>^ X {s<x)(s)dxs. |
|
||||
|
о |
|
|
|
|
|
Т е о р е м а 5.11. Если |
мартингал X = |
(xt, @~t) е Ж0 (имеет |
||||
непрерывные траектории Р-п. |
н.), |
а / е і д ( Ф 2), то у интегралов |
||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
lt(f)= J f(s,®)dxs существует непрерывная модификация. |
||||||
|
о |
|
|
|
|
f ^ La (Ф2) простая, |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Если |
|
функция |
|||
то непрерывность /,(/) очевидна. |
В общем случае доказатель |
|||||
ство проводится так же, как |
и для винеровского процесса (см. |
|||||
§ 2 гл. 4). |
|
|
|
|
|
|
6. |
Если X = (xt, 9~t)<^Jt, |
а /еЕ л (Ф з), |
то процесс (/Д/), t) |
|||
будет квадратично интегрируемым мартингалом. Согласно тео
реме 3.1 //(f) имеет непрерывную справа модификацию. |
0, |
||||||
7. В случае, когда натуральный |
процесс At = (x)t, |
||||||
отвечающий |
мартингалу |
Х — (х1,&г 1) ^ Ж , |
является |
непрерыв |
|||
ным, |
можно |
однозначно |
определить |
стохастический |
интеграл |
||
/ ( / ) = |
Jооf(t, a)dxt для функций [ е Ф 2, удовлетворяющих лишь |
||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
предположению |
|
|
|
|
|
||
|
|
оо |
|
\ |
|
|
|
|
|
( J f( t , со)dAt < |
00J = |
1. |
|
|
|
210 |
КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ |
[ГЛ. 5 |
8. Используем теорему 5.10 для доказательства следующег результата, обобщающего теорему (Леви) 4.1.
Т е о р е м а 5.12 (Дуб). Пусть мартингал X — {xt, t) е Мт {имеет непрерывные траектории) и
t
At == (x)t — J а2(s, а) ds,
о
где неупреждающая функция a2(s, а) > 0 почти всюду относи тельно меры dt dP на ([0, Г ) Хй , $іо, t\ X # ”)■ Тогда на про странстве (Q, SF, Р) существует винеровский процесс W = {Wt, t), t ^ . Т , такой, что с вероятностью 1
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
xt — хо + |
J a(s, a>)dWs. |
|
|
(5.83) |
||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Определим |
процесс |
|
|
|
|||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
г <= |
/ т д |
і д |
. |
|
|
|
<5-84) |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
полагая a~I(s, а) — 0 при a(s, а) = |
0. |
Интеграл (5.84) определен |
||||||
в силу теоремы 5.10 (пункт |
III), |
поскольку |
процесс |
At, |
0, |
|||
абсолютно непрерывен (Р-п. н.) и |
|
|
|
|
|
|
||
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
М J а~2 is, a) dAs = |
Т < |
оо. |
|
|
|
|||
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно теореме 5.11 процесс |
Wt, t ^ . T , |
имеет |
непрерыв |
|||||
ную Р-п. н. модификацию. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее, в силу (5.81), (5.82) |
|
|
|
|
|
|
||
W[Wt\ T s] = Ws, |
|
|
|
|
|
|
||
М [ ( Г ,- Ws)2\ $-s] = |
t — S, |
f ^ s |
(Р-п. Н.). |
|
|
|||
Поэтому по теореме 4.1 |
процесс W = |
{Wt, @~t), t ^ T , |
является |
|||||
винеровским. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим теперь, что для |
любых |
неупреждающих |
функций |
|||||
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф = Ф {t, а) с М J ф2{t, <ü)ds < |
оо |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
t |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
| ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
о |
|
|
|
|
|
|
§ 5] |
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МАРТИНГАЛОВ |
211 |
поскольку это равенство справедливо для простых функций.
В частности, полагая qp( s, ш) = a(s, со), получаем равенство t
J a(s, (ü)dWs — xt — xQ (P-п. h.), t ^ T ,
о
из которого следует (5.83).
§ 5. Интегральные представления мартингалов, являющихся условными математическими ожиданиями. Теорема Фубини для стохастических интегралов
1. Пусть {SFі), — неубывающее семейство непре рывных ст-подалгебр ЗГ, X = {x„3Ft) — мартингал с непрерыв ными справа траекториями и W = (Wt, SFt) — винеровский про цесс. В настоящем параграфе будут изучаться представления условных математических ожиданий yt = M(xt \3Ff'} в виде
стохастических интегралов по винеровскому процессу.
Л е м м а 5.7. Процесс Y = (yt, SFf), 0 ^ t ^ Т, является
мартингалом.
Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу неравенства Йенсена
м і у,і =
Далее, если
м {ytI ^ Т ) = м I м
м | м и | г Г ) | < м і х л . |
t<,T. |
то Р-п. н.
I @~f) I @rY\ = M 1@~f) =
|
|
|
= M[M (*, 13TS) I SFf\ = |
M(X, I r j ) |
- y„ |
|||
что и доказывает лемму. |
|
|
интегрируе |
|||||
З а м е ч а н и е . |
Если X = {xt,SFt) — квадратично |
|||||||
мый |
мартингал, |
то |
таковым же |
является и |
мартингал |
Y-— |
||
- { у о |
&7 > |
|
Если X = (xt,@~t) — квадратично-интегри- |
|||||
Т е о р е м а 5.13. |
||||||||
руемый мартингал, |
то мартингал Y = {yt, |
t/t = |
М (х. ( |
|||||
допускает представление |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
у, — Мх0 + J |
М (as| SFJ) dWs, 0 < |
t < T. |
|
(5.85) |
|||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
где процесс a — (as, SFs), |
s ^ . t , таков, что |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
(X, W)t = I |
as ds |
|
|
(5.86)I |
|
|
|
|
|
I Mas ds < |
oo. |
|
|
(5.87) |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
