Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 269

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

2 Щ

 

КВАДРАТИЧНО

ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ

 

 

[ГЛ. 5

Д о к а з а т е л ь с т в о .

 

Прежде

всего

отметим,

что

у0 =

= М(jcoI F Y ) = Мх0(Р-п.

н.), поскольку сг-алгебра

F Y

три­

виальна

(f Y ={й, 0})-

Далее, в силу замечания к

лемме 5.7

процесс Y = {уѵ &~Y) является квадратично интегрируемым мар­

тингалом

и по теореме 5.5

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уt =

Мх0 +

J fs (и) dWs,

 

 

 

(5.88)

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

где

процесс / = (/Дсо), F f )

таков,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

M/s(©) ds <

оо.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По теореме 5.3 существует случайный

процесс a — {as, F s),

s < / , такой,

что Р-п. и.

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{.X, W)t — J as ds,

 

0 ^ t ^

T,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и I

Müs ds <

о о . Покажем,

что в (5.88) fs(co) =

M(as| F f )

(Р-п. и.)

о

почти каждого

s, 0 ^

s ^

Т.

 

 

 

 

 

 

 

для

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

g =

(ё'Дсо), F f ) — ограниченный

случайный

процесс,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

удовлетворяющий

условиям

леммы

5.1,

 

и г*= J

gs (со) сДр^.

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

М ytzt = М {М (xt I f Y) zt} =

Мxtzt.

 

 

(5.89)

 

 

 

 

 

Из (5.88)

и свойств

стохастических

интегралов получаем

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

My,zt =

J М [fs (со) gs (со)] ds.

 

 

(5.90)

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

А по теореме 5.2 и лемме

5.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

Мxtz, =

М (х, z)t =

М J

gs (со) asd s =

J М [М (as | F f )

gs (со)] ds.

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

(5.91)

Из (5.89) — (5.91) находим,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J м {If, ( и ) - М ( л , | ( F f) ] g, (B)j

ds = 0.

 

 

 

§ 5]

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МАРТИНГАЛОВ

213

 

 

Отсюда в силу произвольности функции gs(со) получаем, что Р-п. н. для почти всех s, 0

 

/,( » ) =

М (а, 1^-»)

 

и, следовательно,

для всех t,

(ХДг^СГ, Р-п. н,

 

t

 

t

 

О

 

О

 

Теорема доказана.

 

 

С л е д с т в и е

1. Пусть X — {xt,5Tt) — квадратично

интегри­

руемый мартингал,

t

 

 

 

 

 

xt =

j as dWs

(5.92)

о

т

и M J a2sds < оо. Тогда Р-п. н. для всех t, 0

о

г t

М I as d W s \ r f

 

M(as| r f ) d W s.

(5.93)

 

 

Действительно,

из

(5.92) и (5.6)

получаем

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

(х, Ю і ~

j

а3 ds.

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

Поэтому (5.93) вытекает из (5.85).

 

 

 

С л е д с т в и е

2.

Пусть W = {Wl,SFt),

W = (Wt, @~t)~ два

независимых винеровских процесса

и X = (xt, @~t) — мартингал,

 

 

t

 

т

 

 

xt — I as dWs,

J

Maids <оо.

 

Тогда Р-п. н.

о

 

 

о

 

 

 

 

г

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

as dWs I STf = 0.

 

(5.94)

Для доказательства

(5.94)

достаточно

установить, что

{х, W)t = 0 (Р-п. н.) для

всех t,

 

 

 

 

Имеем

 

 

 

 

 

t

 

t

 

 

 

 

 

 

X t + W , = j

asdWs + Wt,

xt — Wt = f

a, dWs — Wt.

 

о

 

 

 

 

о

 

214 КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ (ГЛ. 5

Отсюда нетрудно найти,

что (х Д- W)t =

J

(af +

l)<is,

{х — W)t—

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— 1 (а«

 

и’

следовательно,

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(X,

W)t =

4 {<* +

W)t -

{X -

 

W)t} = 0.

 

2.

В следующей теореме равенство (5.93) обобщается на боле

широкий

класс мартингалов.

 

(хи

t),

0 ^ ^

Т, — мартингал,

Т е о р е м а

5.14. Пусть X =

 

 

 

J

t

 

 

£Г1Г(/

 

 

 

=

1,

 

 

xt =

[М (| as| I

 

<

 

(5.95)

 

as dWs,

 

asds

 

oo

= 1.

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если M| a s | <oo,

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)]2 d s <

OO

 

 

(5.96)

то P-п. и.

для всех

t,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d W s W f ) = J M (flsl r J ) d W s

(5.97)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Утверждение (5.97)

можно

перефор­

мулировать,

сказав,

что

мартингал

 

Y — {yt, &~f) с yt =

= М (xf I 3"f)

допускает

 

представление

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yt =

\ M(a,[ P J ) dW$

(Р-п. и.),

 

0 < t <

T.

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для доказательства (5.98) введем марковские моменты

Тогда мартингал Х (п) — (х1п>, t) с

* Г = J Х(, „

dV ,

(5.98)

§ 5] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МАРТИНГАЛОВ 2 1 5

является квадратично

интегрируемым,

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

J M^

n> s ) a2s d s < 00

 

 

 

и по следствию 1

теоремы 5.13

для мартингала УМ =

(«/<">, @~Y)

с t/<"> = М (x f ]I

имеет

место представление

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

у Т = і м

І Х ( , „ > , f , \ S r f \ d W , .

 

( 5 . 9 9 )

 

 

 

О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

 

 

 

Покажем, что y\n)~>yt (по вероятности) при га-*оо для

каждого t, 0 ^ t ^

Т.

 

 

 

 

 

x{tn)

 

 

Для этого заметим, что в силу

(5.98) у процесса

суще­

ствует непрерывная модификация,

и поэтому для нее

 

 

х\п) = xt л %п= М (хтI д~t л Т/і).

 

 

 

Отсюда вытекает,

что

последовательность случайных величин

{Д/Д га=1, 2, . . . j

равномерно интегрируема (см. теорему 2.7).

Но x f )-^-xt (по вероятности),

п - ^ о о. Поэтому

из

этих

двух

фактов и замечания 1 к теореме

1.3 вытекает,

что

 

 

 

 

lim M \x t — х{у ]I = 0.

 

 

 

 

 

П->оо

 

 

 

 

 

 

Но

М |yt — t/(fn) |

М |

— x f \ .

Следовательно,

y\n'>-^yt

для

 

Р

 

каждого t, 0 ^ . t ^ T .

 

 

 

 

 

 

 

 

Для завершения доказательства теоремы осталось показать,

что

при п —>оо

 

 

 

 

t

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

\ “ !*

 

I Г Г ] aw,

Г

 

 

 

 

 

J M(as\ r j ) d W s.

 

 

о

 

 

 

 

0

 

 

 

Согласно неравенству (4.60) для этого достаточно установить, что

 

|М

» 7 ) ]s « s - о .

П—> оо.

(5.100)

 

всего

заметим, что

М {x^Tfj < s^as|

}

■0, n-

Прежде

1

P

P

 

 

 

поскольку

M |a I <

00, Y(xn<s) —>0, n -> 00,

и

 

 

0, tt —> oo,

216

КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ

[ГЛ. 5

 

Положим

 

 

 

 

 

inf

/ < Г :

J

[M(\as \ \ ^ Y f d s ^ N

,

 

ОМ--

I

о

 

'

 

 

т

 

 

Т,

если

j

{М(| as \\g-J)Y d s < N .

 

Тогда для е > О

рj [М Л І ^ Г ) ] ^ > «

 

 

=

 

Р

 

 

 

 

 

 

 

° N = T >+

 

 

 

 

 

 

о Iм ( ¥ . < ^ l ^ ) ] 2 d s > e ;

 

 

 

 

+

 

р { 1 1 м

( * < • „ «

Л

I * 7 ) ] г ■^

> « ;

» » <

Г } <

 

 

 

, t A0N

 

 

 

 

 

 

 

ч

 

 

 

«

р

о

 

1

| M

(

v

, <

- )

“ - i » r r )

F r f s

 

*

 

т

 

 

 

 

 

 

 

'

 

 

 

 

 

<

 

 

(¥»р

 

 

*7)Г■ >8j +р("»<

 

 

 

 

{ J *(«»>.)[

 

 

т>

 

 

 

р

 

м

 

>

 

I

 

 

ds

 

 

 

 

Р {crjV< Т) -+ 0, УѴ-^-оо,

 

 

 

 

 

 

(5.101)

Здесь

в

силу условия (5.96). Далее,

поскольку М (%^х < s^ s I @~Yj -> 0,

то по теореме

Лебега о мажо­

рируемой

 

сходимости

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J™ м /

Х<«»=‘') І М (xn

<>)“<I*’. T ‘,s = 0 -

 

 

Поэтому,

 

переходя

в (5.101)

к

пределу

(сначала по

п-> оо,

а

затем по N -+ оо), получаем

требуемое

соотношение

(5.100).

 

3.

 

Равенство (5.97),

установленное в теореме 5.14,

позволяе

доказать для стохастических интегралов утверждение (теорема 5.15), аналогичное теореме Фубини.

Пусть

(Q, ЗГ, Р), (&,

Р) — два

вероятностных

простран­

ства, (Q ,#-,P) = (QXQ,

Р Х Р )

и (^~J и (#,), 0 ^ / ^ 1,—

неубывающие семейства

ст-подалгебр

и ЗГ.

процесс,

Пусть

W — (Wt (и>),

t), 0 < Л < Л , — винеровский

Т Т = а {со: Г „ s < /}.

Смотрите также файлы