Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 275
Скачиваний: 0
§ 51 |
|
|
|
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ |
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ |
МАРТИНГАЛОВ |
217 |
||||||||||
Т е о р е м а |
5.15. Рассмотрим случайный |
процесс |
(gt (со,©), |
||||||||||||||
P l X S T t ) , |
|
1. Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
М X М I |
g2t (со, а) dt < |
оо |
|
|
(5.102) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(М X М — усреднение |
по |
мере |
Р X Р), |
то для каждого t, 0 < |
|||||||||||||
^ |
^ 1, |
Р-п. н. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
J |
L° |
gsJК 5) dws (со) |
dp (со) = |
Jt |
Г |
Jgs (со, 5) dP (5) |
сЛГ, (со). |
||||||||||
'7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
l<7 |
|
|
0 |
|
(5.103) |
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Обозначим |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
xt (со, со) = Jt |
|
(со, со) dWs (со) |
|
|
|
|||||||
и положим |
|
Ws(wy (b )~ W s (со). |
Тогда, |
используя |
конструкцию |
||||||||||||
стохастического интеграла, |
изложенную |
в гл. 4, можно так |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определить |
интеграл |
J |
gs(со, |
й) |
|
(ю)» |
чтобы |
он |
совпадал |
||||||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
Jt gs (со, 5>)dWs (<o, ш), кото- |
||||||
Р Х Р ’П. н. |
с интегралом |
л;,(со, |
й ) = |
||||||||||||||
рый SFt |
X £Ггизмерим. |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Нетрудно показать, |
что Р X Р-п. |
|
н. | лгДсо, |
&)dP(S>) является |
|||||||||||||
одним |
|
из |
вариантов |
условного |
|
О |
|
|
|
|
ожидания |
||||||
|
математического |
||||||||||||||||
М X М [xt (со, |
ш) I@~Т], |
т. |
е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
М X М [xt (со, со)I &~f\ — J |
xt (со, S) dP (б) |
(Р X Р-п. н.). |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ü |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
М Х М [g,(oo, ©)| t |
Y\ — J |
gt (ö, ö)dP(5) |
(Р Х Р -п . н.). |
|||||||||||||
218 КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ [ГЛ. 5
Поэтому, учитывая (5.97), находим (Р X Р-п. н.)
j xt (со, ö ) dP (ö ) = M X |
M \xt (со, &) 13rf\ = |
= M X M |
&)dWa(a>) \3- w |
= M X M |
J gfsK â)dWs(®, ö)| ST |
= j M X M [gs (со, ö) I T j \ dWs(со, 5) =
gs ((0, Ö) dP (ö) dWs (©, ©) = I J g-s (©, ö) dP (ö)
Это и доказывает (5.103), если только заметить, что ST\№
= ^ - Г х ( 0 , 0).
|
|
|
§ 6. |
Структура функционалов |
|
||||||
|
|
от процессов диффузионного типа |
|
||||||||
|
1. Из теоремы 5.5 следует, |
что всякий квадратично |
инте |
||||||||
грируемый |
мартингал X — (xt, & ~ Y ) , |
где STf — а-алгебра, |
|||||||||
порожденная значениями винеровского процесса Ws, |
|
||||||||||
допускает |
представление |
|
|
t |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X t = *о + J f s |
(©) d W s |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
с процессом f = |
(Js (a), |
) |
таким, |
что j |
M/2(o>)ö?s < oo. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
В настоящем параграфе этот результат, а также теоремы 5.7, |
||||||||||
5.8 |
будут |
распространены |
на |
мартингалы |
X = (xt,&~\), где- |
||||||
| = |
(і/, 8Хt), t ^ T , |
является |
процессом |
диффузионного |
типа |
||||||
с дифференциалом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
dlt = |
at {l)dt + |
bt {l)dWt. |
|
(5.104) |
|||
|
Будет показано, в частности, что (в предположениях, сфор |
||||||||||
мулированных |
ниже) всякий |
квадратично |
интегрируемый |
||||||||
§ 61 |
СТРУКТУРА ФУНКЦИОНАЛОВ |
|
219 |
||
мартингал |
X = (xt,3T\) допускает представление |
|
|||
|
t |
|
|
|
|
Хі = х0+ J fs(®)dWs |
(Р-п. н.), |
0 < / < 7 \ |
(5.105) |
||
|
о |
|
|
|
|
с процессом / = (fs (со), ^~|), |
s < |
Т, таким, |
что |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
М I |
fj(co) ds < оо. |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
2.Начнем с рассмотрения частного случая уравнения (5.104).
Т е о р е м а 5.16. |
Пусть |
процесс |
| = (g„ STt) является |
(силь |
|
ным) решением уравнения |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h = U + I bs(l)dWs, |
|
(5.106) |
||
|
|
0 |
|
|
|
где неупреждающий функционал*) |
b — (bt (x), |
3&t), t ^ . T , |
пред |
||
полагается таким, |
что P ^ J |
ö ? ( | ) r f s < o o j = l |
и |
|
|
|
b2t ( x ) > c > 0 . |
|
(5.107) |
||
Тогда всякий мартингал X = (xt,&~f), 0 ^ . t ^ T , имеет не прерывную модификацию, которая допускает Р-п. н. представ ление
t |
|
*< = * 0 + 1 fs(®)dWs, 0 |
(5.108) |
о |
|
где процесс f = (fs (со), &~^) таков, что |
|
|
|
Р |
^J |
т |
|
< |
то |
j |
= |
I. |
|
(5.109) |
|
|
|
|
fji®) ds |
|
|
|
|||||||
Если |
мартингал |
X — (xt, |
|
квадратично |
интегрируем, то |
||||||||
|
|
|
М J %(a>)ds < |
|
оо. |
|
|
(5.110) |
|||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Покажем |
|
прежде |
всего, что семей |
|||||||||
ство (пополненных) а-алгебр (ЗГ\), |
|
0 ^ / ^ Г , является |
непре |
||||||||||
рывным. |
Пусть |
ЗГУ w |
V |
|
|
, |
|
где |
£Г^ = ст{©: |
| 0(ю)|. |
|||
*) |
— |
xs, s ^ <), где х принадлежит пространству непрерывных |
(на [0, |
Г]) функций. |
|
220 |
|
КВАДРАТИЧНО |
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ |
|
|
[ГЛ. 5 |
|||
Поскольку | — сильное |
решение уравнения (5.106), то |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
*=>&-}. |
|
|
|
(5.111) |
|
С |
другой стороны, в |
силу |
условия |
(5.107) |
длякаждого |
t, |
|||
|
|
|
і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
(р-п- н-) |
|
|
(5.112) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(см. теорему 5.12). Поэтому |
w |
что |
вместе |
с |
(5.111) |
||||
приводит |
к равенству *) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
g-U,^ = T \ . |
|
|
|
(5.113) |
||
Согласно теореме 4.3 семейство (пополненных) п-алгебр (@~Y) |
|||||||||
0 < f < 7 \ |
является непрерывным. Этим свойством, |
как |
не |
||||||
трудно показать, обладает и семейство |
w), |
O ^ t ^ T , |
а зна |
||||||
чит, |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
В силу теоремы 3.1 отсюда следует, что у всякого мартин гала X = (xt, £Ff) существует непрерывная справа модификация,
которая и будет далее рассматриваться. |
является квадратично |
|||||||||||||
|
Предположим теперь, |
что X — (xt, |
||||||||||||
интегрируемым |
мартингалом. |
|
|
|
|
то, как нетрудно |
||||||||
|
Если W = (Wt, ЗГt) — винеровский процесс, |
|||||||||||||
проверить, |
винеровским |
будет |
и |
процесс |
(Wѵ 3Tf). |
Поэтому |
||||||||
согласно теореме 5.3 существует процесс |
f = |
(ft (a>), |
такой, |
|||||||||||
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что |
М I /И “ ) dt < |
оо и |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{x,W)t = |
\ f s {<*)ds. |
|
|
|
(5.114) |
||||
|
Положим |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jt fs (ю) dWs |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
*< = |
|
% + |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
и покажем, что Р |
(xt = |
xt) = 1, |
0 ^ |
t ^ Т. |
|
|
0 = t0< t 1< ... |
|||||||
. . . |
Зафиксируем |
|
t |
и |
рассмотрим |
разбиение |
||||||||
< t n = |
t отрезка |
[0, t\. |
Если показать, |
что |
|
|||||||||
|
|
М (xt — xt) exp |
*'(zo6o+JjZft^*)} = 0 |
(5.115) |
||||||||||
|
*) Если |
Іо = 0, |
то |
утверждение |
доказываемой |
теоремы легко вывести |
||||||||
из теоремы 5,5 и того факта, |
что согласно (5.113) |
t r j |
|
f ^ 7 \ |
||||||||||
