Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

МАРКОВСКИЕ МОМЕНТЫ

35

1. Свойства марковских моментов. Для

каждого

/ е Г

по­

ложим*)

s’

=

о ( [}&"<,) . ^ o - =

и

=

S > t

\ s < t

I

Последовательность

сг-алгебр F — {0~t),

t<=T,

называется

непрерывной

справа, если 8rt — 2T(+ для

всех

t& F .

Заметим,

что семейство F+=(TFі+) всегда непрерывно справа.

t} е

& t и,

Л е м м а

1.1.

Пусть

т =

т(<а) — м. м.

Тогда {т <

следовательно, {т =

і) е

t.

Д о к а з а т е л ь с т в о

следует из того, что

Утверждение, обратное лемме 1.1, вообще говоря, неверно.

Однако справедлива следующая

t e T ,

непрерывно

Л е м м а

1.2.

Если

семейство F — (&"t),

справа и т =

т(со) — случайная величина со значениями в [0, оо]

такая,

что

для всех t ^ T , то т

есть марковский

момент, т. е.

{т«5Д}е£Г,,

І е Г .

{т <

t} е

ëFt, т о { т ^ ^ } е

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Поскольку

е ^*/+е для любого

е >

0.

Следовательно,

{т ^

е

@~t+ =

9~t.

Л е м м а

1.3. Если хь т2— марковские моменты,

то tj Д т2 =

sm in (x i,T 2),

т,

V т2 === шах(т!; т2) и

Т| +

т2

также

являются

марковскими

моментами.

Д о к а з а т е л ь с т в о

следует непосредственно из соотношений

{ т , А т 2

<

0 =

( т ,

<

t) U { т 2

<

t},

{ т , V т 2 <

/} =

{ т , <

f) П { т 2 <

і),

{Т[ + т2 < 0 = {и — 0, т2 = /} U

(J

U {И =

t, т2 =

0} U /

[{tj <

а}П{т2 <

Ь}]\ ,

a+b < t

. а, 6>0

где а,

b — рациональные

числа.

мар­

Л е м м а

1.4.

Пусть

т,,

т2, . . . — последовательность

ковских моментов. Тогда sup хп также марковский момент.

Если

к тому же семейство F =

І е Г ,

непрерывно

справа,

то

inf т„,

lim sup хп

и

lim inf тп

также являются

марковкими

мо-

п

п

п

ментами.

следует из того, что

Д о к а з а т е л ь с т в о

{sup хп<

t) = П

< t} e= & „

{inf t„ < t) =

(J {xn

n

„

n

„

*) Наименьшая 0 -алгебра в f

иногда обозначается

V r s.

и для lim sup!;* = inf su p tm, lim inf т„ == sup

inf x m

rt

n

п~^\т~5*п

CO

CO

OO

/-

J 1

{limsup t„ < =

U

U

П

І Т т < ^ ~ І Г

n

k— \ n= l

m=n

oo

oo

со

r

J л

{lim inf Tn > t} =

(J

Г)

\ J \ X m > tJ r ~k)'

личиной. Если % и а — два

марковских

момента и т(й))^а(ш )

(Р-п. н.), то SF%s

Т а.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть А — ( т ^ s}. Надо показать, что

Л П {т ^

0 ^

i s T ,

Имеем

{х < 5} п {т < /} = {т < t А s} s F t л « S T u

Следовательно, м. м. т является ^-измеримым.

поскольку

Пусть теперь

A s

{со: о < оо} и У Іе J t . Тогда,

Р { т ^ с г } = 1 и а-алгебры

пополнены,

то с точностью до мно­

жеств

нулевой

вероятности

множество

Л ГҢ о^О

совпадает

с множеством А П {т<П} Л {о=^/},

которое принадлежит &~t. Сле­

довательно,

множество ЛП {а<П }е ^ Д и, значит,

Л е м м а

1.6. Пусть хь х2,

. . . — последовательность мар­

системы о-алгебр F==(^',),

f е

Г,

и

пусть х — inf т„. Тогда

П

Согласно лемме 1.4 т является м. м.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Поэтому по лемме 1.5

^

Ts

f ' | ^

Tri.

П

С другой

стороны,

пусть

Л е |~ )5 г1. . Тогда

П

ЛП{т</} = Л П / и ( т» < 0 )

=

и ( л П{тп < / } ) е ^ .

\ п

і

п

Отсюда, в силу непрерывности

справа {£Ft — Srt+),

вытекает,

что А е SCj.

1.7. Пусть

х и

а — марковские моменты относи­

Л е м м а

тельно F —

t ^ T .

Тогда каждое из событий {т <

а}, {т > а},

{т^ст}, { х ^ о } и {х ~ о }

принадлежит

одновременно

х и @~а.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Для каждого

і е Г