Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 197
Скачиваний: 0
§ 21 |
|
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ |
|
29 |
||||||
в таком виде *): |
|
|
|
|
|
|
|
|||
fl(x u |
|
хп) = |
|
е х р { - 1 ( Л ( х - m), (л: — m))J, |
||||||
где %= (л:1, |
|
|
хп), т — {ти . . . , |
тп). |
|
|
|
|||
Как и в одномерном случае (п — 1), вектор m = (mh . . . , тп) |
||||||||||
и матрица |
/? = |
||гг/|| |
допускают |
простую |
и наглядную |
интер |
||||
претацию: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т г = |
М|г> |
гі; = |
соѵ(|ь i/)=M (gi — m,-)(|у — m,). |
(1.18) |
||||||
Иначе |
говоря, m |
есть вектор |
средних |
значений, |
а |
Д есть |
||||
матрица |
ковариаций |
вектора £ = |
(£,, . . . , |
£„). |
— неко |
|||||
Система |
случайных |
величин |
£ = {£а, а е %}, где |
|||||||
торое конечное |
или |
бесконечное множество, называется гаус |
||||||||
совской, если |
любая |
линейная комбинация |
|
|
||||||
1А і + |
’ •' |
+ |
Ч А л ’ |
“<е 91’ S е RX' |
г — 1, 2.........п’ |
является гауссовской случайной величиной. Иногда удобно пользоваться иным, но эквивалентным данному, определением гауссовской системы. Согласно этому определению система
случайных |
величин ^ = {ga, аеЗ І} |
называется |
|
гауссовской, |
||||||||||||||
если |
для |
любого п и любых а,, . . . , |
ап е |
|
91 |
случайный |
вектор |
|||||||||||
|
, . . . , |
|
%а ^ является гауссовским. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
§ 2. Случайные процессы. Основные понятия |
|
|
|||||||||||||
|
1. Определения. Свойства измеримости. Пусть {Q, |
Р) — |
||||||||||||||||
вероятностное |
пространство |
и |
Г = |
[0, оо). |
Семейство Х — (%), |
|||||||||||||
t |
Т, |
случайных |
величин |
= |
|
называется |
(действитель |
|||||||||||
ным) |
случайным |
процессом |
с |
непрерывным |
временем |
t s Т. |
||||||||||||
В том случае, когда временной параметр |
/ |
пробегает множе |
||||||||||||||||
ство ІѴ = |
|
{0, 1, ...,}, семейство |
Х = |
(|Д |
if |
е |
I V , называют |
слу |
||||||||||
чайной последовательностью или случайным процессом |
с |
ди |
||||||||||||||||
скретным |
временем. |
в е Н функция |
времени |
^(ю) |
( t ^ T |
|||||||||||||
|
При |
фиксированном |
||||||||||||||||
или t ^ |
N) |
называется |
траекторией или реализацией, отвечаю |
|||||||||||||||
щей элементарному исходу ы. |
|
X = |
|
|
|
|
(где |
|
|
|||||||||
|
С каждым |
случайным процессом |
{%t), t ^ |
Z |
Z |
— Т |
||||||||||||
в случае |
непрерывного |
времени |
и Z = iV |
в случае дискретного |
||||||||||||||
времени), естественным образом связываются а-алгебры |
ZFS — |
|||||||||||||||||
= |
a{£s, s ^ /} , |
являющиеся |
наименьшими |
a-алгебрами, |
отно |
|||||||||||||
сительно |
которых измеримы случайные величины | s, х |
|
Для |
|||||||||||||||
условных |
|
математических ожиданий |
|
|
|
иногда |
будем |
*) Как и в (1,16), (• ,• ) обозначает скалярное произведение,
30 |
|
НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ |
|
|
[ГЛ. 1 |
|
использовать также следующие |
обозначения: |
М (rj [ |
|
и |
||
M(rili')- |
|
|
|
|
|
|
Для условных вероятностей |
Р(Л |£Г|) применяются |
анало |
||||
гичные обозначения: Р ( Л ||Я, |
и Р ( Л| ^) . |
|
|
|
||
Случайный |
процесс X = (%t), |
tc=T, называется измеримым, |
||||
если для |
любых борелевских |
множеств В е |
38 числовой |
пря |
||
мой R1 |
|
{(со, t): ^ ( с о ) е й } е Г Х « ( П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где 3S(T) |
есть |
а-алгебра борелевских множеств на 7 = |
[0, |
оо). |
Следующая теорема иллюстрирует важность понятия изме римости процесса, заданного на полном вероятностном про
странстве (£2, |
Р). |
|
Я = |
(£*), / е Т, — измери |
||
Т е о р е м а |
1.9 (Фубини). Пусть |
|||||
мый случайный |
процесс. |
|
|
|
измери |
|
1) Почти все траектории этого процесса являются |
||||||
мыми (по Борелю) функциями от t е |
Г. |
то mt = |
является |
|||
2) Если |
М\t |
существует при всех t е Г , |
||||
измеримой функцией от t e T . |
|
Т — [0, оо) и |
|
|||
3) Если |
S — измеримое |
множество на |
|
|||
J |
М| |
I* |d* < °о, |
то Р-п. н. |
[ | ^ | ^ < ° ° . |
|
|
S |
|
|
|
і |
|
|
т. е. почти все траектории ^==|Дсо) интегрируемы на множе стве S и
|
|
|
j |
J It dt. |
|
|
|
|
s |
s |
|
Пусть |
F — (9~t), |
t ^ T |
, — неубывающее семейство |
сг-алгебр, |
|
цесс |
X = |
s ^ t . |
Говорят, что (измеримый) случайный про |
||
(%t), t ^ T , |
согласован с семейством сг-алгебр F = (&’t), |
||||
t ^ T , |
если при каждом t е Т случайные величины |
являются |
^-измеримыми. Для краткости такие случайные процессы
будут обозначаться X = (%t,iF t), t<=T, и л и |
просто X = (\t, 3 rt) |
|
и называться F-согласованными или неупреждающими *). |
||
Случайный процесс Х = |
(\и STt), t ^ T , |
называется прогрес |
сивно измеримым, если для |
каждого І е Г |
|
{(со, s < t): ls (w)e±B}<=9~t X #([0, t]),
где В — борелевские множества на R1, а !М([0,2]) — сг-алгебра борелевских множеств на [0, і].
*) Такие процессы называют также неантисипативными (non-anticipative processes).
§ 2] |
Сл учай ны е п р о ц е с с ы , о сн о вн ы е понятия |
Зі |
Очевидно, что в с я к и й прогрессивно измеримый |
случайный |
|
npoüecc |
X = (%t,&~t), t ^ T , является измеримым и согласован |
ным с F = |
{3~t), t е Г . |
|
|
|
|
|
|
||
Всякий непрерывный справа (или слева) случайный процесс |
|||||||||
X — |
|
t ^ T , |
является |
прогрессивно |
измеримым |
[126]. |
|||
Два |
случайных процесса |
Х = (Іі (ы)), |
І е Г , и X ' = |
(£' (©')). |
|||||
/ е Т , |
заданных, |
быть может, на разных вероятностных |
про |
||||||
странствах |
(£2, 3F, Р) и |
(СУ, |
, Р'), |
будут называться |
слабо |
||||
эквивалентными, |
если |
|
|
|
|
|
|
||
Р (со: |
|
|
Ч . е |
4 . } = Р > ': |
& |
It. |
А.. |
||
для любых |
tu . . . , Іл е Т |
и борелевских |
множеств Л,.........Ап |
||||||
числовой прямой |
R’. |
|
( |<(со)) и X '= |
(|'(а>)), t ^ T , задан |
|||||
Случайные процессы Х = |
ные на одном и том же вероятностном пространстве (£2, Ѳ~, Р),
называются стохастически эквивалентными, если Р (^ ф £,')= 1
для всех t ^ T . Процесс X' = (gj(<ö)), t ^ T , стохастически экви
валентный X = % (со)), t ^ T , называют модификацией процесса X. Известно, что если процесс Х = (^(со)), t ^ T , измерим и
согласован |
(с F = ( ^ ) , t ^ T ) , |
то у него существует прогрес |
|||||||||
сивно измеримая |
модификация |
[126]. |
|
|
|
||||||
Пусть £ = |
£(<») |
и т) = л (со) — две |
случайные величины, опре |
||||||||
деленные |
на |
(£2, ЗГ), |
причем |
|
р является ^«-измеримой, |
где |
|||||
&’t = o(Q. |
Тогда |
существует |
такая борелевская |
функция |
Y — |
||||||
= Y (х), X е R \ что ц(со) = Y (|(со)), |
Р-п. и. В дальнейшем часто |
||||||||||
будет |
использоваться |
следующее |
обобщение |
этого факта |
(см. |
||||||
[46], стр. 543). |
|
|
|
|
— случайный |
процесс, опре |
|||||
Пусть |
|(со) = (If (со)), |
|
|
||||||||
деленный |
на |
(£2, £Г), ^ ~ « = а { со: \ t (ш), t ^ Г} и |
&т — наимень |
||||||||
шая ст-алгебра в |
пространстве RT всех действительных функ |
||||||||||
ций x = (xt), |
0<П ^ T , |
содержащая множества |
вида {л:: я* е |
||||||||
g 4|, |
... , |
xi/t^ A |
nJ, где 0< Н ( ^ 7 ’ |
и At — борелевские множе |
|||||||
ства |
на числовой |
прямой, і = |
1, . . . , п, п = |
1, 2, ... |
|
||||||
Если случайная величина г) = г|(со) является ^«.-измеримой, |
|||||||||||
то найдется такая ^-измеримая |
функция |
У — Y (х), x ^ R T, |
|||||||||
что г] (со) = |
У (| (со)), Р-п. и. *). |
Более того, существуют не более |
чем счетное множество точек Sj, s2, . . . , принадлежащих ин
тервалу [О, У], и (измеримая) функция |
У = У (г), определенная |
|
для z — (z{, z 2, ... ) ^ R ° ° , такие, |
что |
|
ті(<в) = У (£,_(<»), |
. . . ) |
(Р-п. и). |
*) Для случайных величин р, являющихся ^"|-измеримыми, часто будут также использоваться обозначения р = рг (|), р = р(Г, |).
32 |
НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ |
[ГЛ. 1 |
|
Следующее предложение будет неоднократно использоваться |
|||
в книге. Пусть |
X = (£*), |
t е Г , — измеримый случайный процесс |
|
на (Q, 2Г,Р) с |
МI It I < |
оо, / е Г , « пусть F = (3Tt), |
t < = T , — се |
мейство неубывающих о-подалгебр SF. Тогда условные мате матические ожидания У]( = М (g< \ &~t) могут быть выбраны таким образом, что процесс г| = (тр), t<=T, будет измеримым [126], [52].
В соответствии с этим результатом в дальнейшем (даже если это не оговорено особо) всегда будет предполагаться, что
условные математические ожидания М(£г|£К)), |
t e T , |
уже |
так |
||||||||||||||
определены, что процесс % = М (£*| # ”*), |
І е Т , |
является |
изме |
||||||||||||||
римым. |
|
|
Случайный |
процесс X = |
(g*), |
t <= Т, |
|
на |
|||||||||
2. |
Непрерывность. |
|
|||||||||||||||
зывается стохастическим |
непрерывным в точке <0е Г , |
если для |
|||||||||||||||
любого е > О |
P { |t , - i J > e } - * 0 , |
|
s-+ t0. |
|
|
|
|
(1.19) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Если (1.19) выполнено для всех |
l0e S = |
T, |
то |
процесс |
X |
||||||||||||
называют стохастически непрерывным (на множестве S). |
|
|
|
||||||||||||||
Случайный |
процесс |
X — |
(%,t), / е |
Т, |
называется непрерывным |
||||||||||||
(непрерывным справа, слева) на |
S s |
Т, |
если |
почти |
все |
его |
|||||||||||
траектории непрерывны (непрерывны справа, |
слева) |
для |
і е |
||||||||||||||
ство |
Иначе говоря, должно существовать такое множе |
||||||||||||||||
N <^£Г с Р (іѴ) = |
0, |
что для всех |
|
|
траектории |
|
(со), |
||||||||||
/ e S , |
суть непрерывные (непрерывные справа, |
слева) функции. |
|||||||||||||||
Следующая теорема дает условия существования непрерыв |
|||||||||||||||||
ной модификации у процесса 2Г = |
(|г(со)), |
1 е [ а , |
Ь\. |
того |
чтобы |
||||||||||||
. Т е о р е м а |
1.10 (критерий Колмогорова). Для |
||||||||||||||||
случайный процесс |
X = |
(^t), t <= [а, |
b\, |
допускал |
непрерывную |
||||||||||||
модификацию |
X* = |
(g’), |
t^ .\a ,b \, |
достаточно, |
чтобы |
нашлись |
|||||||||||
такие постоянные а > 0 , |
е > 0 и С, что |
|
|
|
|
|
|
|
120 |
||||||||
|
|
|
MU/+A- &, |а < С |А |1+8 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( |
. |
) |
||||||||
для всех t, 1 + |
А е [ а , |
Ь]. |
(%t), t ^ T , |
называется непрерывным |
|||||||||||||
Случайный |
процесс X = |
||||||||||||||||
в среднем квадратическом |
в точке t0е |
|
Т, |
если |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
M | | , - È tt|2- 0 , |
s - * t0. |
|
|
|
|
(1.21) |
||||||||
Если (1.21) выполнено для всех точек t0е |
S £ |
Т, |
то |
про |
|||||||||||||
цесс X будет называться непрерывным |
в среднем квадратиче |
||||||||||||||||
ском (на множестве S). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. Некоторые классы процессов. Остановимся на основных |
|||||||||||||||||
классах случайных |
процессов. |
|
Говорят, |
что |
случайный |
||||||||||||
С т а ц и о н а р н ы е |
п р о ц е с с ы . |
||||||||||||||||
процесс X = (It (со)), |
1 е Г |
= |
[0, оо), |
является стационарным (или |
|||||||||||||
стационарным |
в узком |
смысле), если |
для |
любого действитель- |
§ 2] |
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ |
33 |
|||||||||||
|
|
||||||||||||
ного А конечномерные |
распределения |
не меняются |
при сдвиге |
||||||||||
на А: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р fі/. е А ' • *• ’ |
|
|
|
|
:Р {^ |
+д |
|
|
+д |
|
|||
-J |
^ |
|
ьп |
'ч |
|
|
‘ |
'-Л 1 |
|
||||
|
|
ѵЧ . “ |
|
|
|||||||||
если только |
|
, |
|
tn, |
/, |
+ |
A, |
. . . , |
|
А е Г . |
называется |
||
Случайный |
процесс |
J |
= (gf (ш)), / е Г = |
[0, оо), |
|||||||||
стационарным в широком смысле, если |
|
|
|
||||||||||
< °°> |
t ^ T |
и |
М|, = |
М ^+д, |
M|s| f — М|5+Д| г+Д, |
||||||||
т. е. если первые и вторые |
моменты |
не меняются при сдвиге. |
|||||||||||
М а р к о в с к и е |
|
п р о ц е с с ы . |
Действительный |
случайный |
|||||||||
процесс X — {\t,3~t), |
t ^ T , |
заданный |
на |
(Q, £Г, Р), |
называется |
||||||||
марковским |
относительно |
неубывающей |
системы о-алгебр |
||||||||||
F — {SFt), t ^ T , |
если Р-п. н. *) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Р ( Л П Я І Ы = |
РМІ £,) Р( ДІ &) |
(1.22) |
|||||||||
для любых t ^ T , A ^ 3 T t, |
ß e |
f | |
|
|
|
s ^ f ) . |
|
||||||
Действительный |
|
случайный |
процесс |
X = |
{lt), t ^ T , назы |
||||||||
вается (просто) марковским, если он |
является марковским от |
||||||||||||
носительно |
системы |
ст-алгебр |
t = |
&"\ = |
а {%s, s ^ t ) . |
|
Нижеследующие утверждения можно положить в основу различных, но эквивалентных определений марковости про
цесса |
X — {It, 9~t), t < = Т. |
|
|
условия |
эквивалентны, |
|
|||||||||
Т е о р е м а |
1.11. |
Следующие |
|
||||||||||||
1) X — (%, &~t), |
t ^ T , |
— марковский |
процесс |
относительно |
|||||||||||
F = (Sr,), |
і е Г ; |
|
|
и любой ограниченной SF^t |
го)-измери |
||||||||||
2) |
для |
каждого t ^ T |
|||||||||||||
мой случайной |
величины г| |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
М (Т1І^)=М (Т1ІЫ (Р-п. и.); |
|
(1.23) |
||||||||
3) |
для |
t ^ s ^ O |
и |
любой |
{измеримой) |
функции |
f{x) |
||||||||
с sup I f{x) I < |
о о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
* |
|
|
|
|
M[f(Zt)\Srs} = |
M [ f( W \U |
|
(1-24) |
|||||||
Для проверки того, когда |
процесс |
X = ( l t), t ^ T , |
является |
||||||||||||
(просто) марковским, полезно следующее утверждение. |
{\t), |
||||||||||||||
Т е о р е м а |
1.12. |
Для того чтобы случайный процесс X = |
|||||||||||||
t е Г, |
был |
марковским, |
необходимо |
и достаточно, |
чтобы для |
||||||||||
каждой |
{измеримой) функции |
f{x) |
с |
su p |/(*) | < оо |
и любого |
||||||||||
набора |
0 ^ |
^ |
t2^ |
. . . ^ |
tn |
t |
|
|
X |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
h n] = |
M[f{lt) \ltn], |
|
(1.25)*2 |
*) В соответствии с предыдущими соглашениями Р ( -| %t) обозначает условную вероятность Р ( .|о ( ^ )) .
2 Р. Ш. Липцер, А. Н. Ширяев