Файл: Жуков А.В. Колебания лесотранспортных машин.pdf

откуда

находим квадраты ч а с т о т

г л а в н ы х

к о л е б а н и й

системы:

k2i = 0&[n*l+n*2

— K ( n V H 2 i ) 2 - H

X2 "2 i"2 2]/(1 — х 2

) ;

^ 2 2 = 0 , 5 [ п 2 1 + п 2 2

— V(n22-n2,)2+4

х2 «2 іл2

2 ]/(1 — X2 )-

(22)

К о э ф ф и ц и е н т ы

ф о і р м

главных

-колебаний

равны:

C i 2

k2i

_ ft _ а 1 2

^ 2 2

, 9 о ч

^ =

~

*

^ 2

р -

'

Р 2 — — •

~ 2

р

- -

1<")

#11

М і —- К 2

Я 1 —

й

2

Уравнение

(21) должно иметь два положительных

корня k2i

и k22,

причем

должны

соблюдаться

условия: 0<.k2i^

си/аи;

С22/Я.22 <

^ 2 2 < +

° ° -

іПір'И составлении

системы

(19)

необходимо

соблюдать

условия:

О ц > 0 ; а 2 2 > 0 ;

а п а 2 2 — а 2 і 2 > 0 ;

с ц > 0 ;

с 2

2 > 0 ;

Сцс2 2 —

с 2

1 2 > 0 . '

Коэффициенты форм главных колебаний связывают между

собой обобщенные координаты: cpU) =

fjjfi(0

;

<р<2) =

Р 2 { П 2 ) .

Из

формул

(23)

видно,

что Рі >0; Рг <0,

поэтому при

главном колебании низшей частоты k\

знаки

<р и $ одинаковы,

а при колебаниях

высшей частоты — различны.

Примем, что координаты

tp и Р совершают

гармонические

воположной фазы, отличающиеся друг от друга

только ампли­

тудами. Тогда

с? =Axsm(kt-\-b\)\$

=A2sm(kt-\-o.2).

Общее

решение

системы (19) представится в виде:

<? =

Сі (с2 2 — £2 ia2 2 )

s i n (kxt +

— C 2 (cx2

— k22aX2)

• sin (k2t-\- a2 );

(24)

P =

— Ci(c2i

— k2xan)

s i n (kit-}-0Li)+C2{cn

— k22an)

s i n ( k 2 t + a 2 ) .

Уравнения

(24) содержат постоянные C\, C2,

ax и a2 , кото­

нений с четырьмя неизвестными

(Си С2 , а! и а 2 ) , получим:

. e i

=

atctg

ti^+fo^b;

CCS4 +Po S2

„

=

arCtg

(УО S3+fto Si) &2.

a2

: —:

,

CPS3+P0S4

С —

?os

* + Po S 2

1

(S1S41— S3S2) - Sin a,

'

С =

—

9о s 3 +

PQSI

2

'(«г^з — S4S1) sin я 2 '

где sl = c22 — k2ia22\

s2=—k22al2;

s3 = —- k2a2l; sA = cu — /г2 2 ац.

2

Колебания

упругих

систем

при возмущениях периодического характера

В прикладных задачах часто в качестве «воздействия «а уп­

ругие механические

системы

рассматриваются

периодические

возмущающие

силы.

силы Q(t) —

В случае

г а р м о н и ч е с к о й

возмущающей

= q0-sin

(cof-f-8) стандартное уравнение (18) принимает вид

'x+p2x=[q0sm

(со/+8)]М

(25)

где <7о —

амплитуда;

8 — начальная фаза возмущающей силы.

Общий интеграл

уравнения

(25)

х=хх-\-х2

(хх — общее

Общее решение

Х\, как известно, следующее: Xi = Cisinp/+

-4-C2eos pt, а частное решение —

х2=А

sin (<ef+8).

(26)

Из уравнения (25) при подстановке в него (26),

если

р ф ш,

находим A==q0/[m(p2—

ш 2 )3 -

Таким образом, общее решение уравнения (25) будет:

' Ar=CiCosp^+C2 sinpi+[(7osin (wt-\-3)]/[m(p2—

ш2 )],

т. е. оно образуется

наложением свободных колебаний

системы

на вынужденные с частотой ю.

Колебания механической

системы, показанной

на

рис. 20,

при отсутствии амортизаторов

описываются уравнением

вида

<F+P2? = <7Hsin ш£

а вынужденные поперечно-угловые колебания —

формулой

? =

[<7esin

(o>t+b)]l(p2-*2),

(27)

a 2 i ' f + a 2 2 y , c 2 2 p = 0.

(28)

В г л а в н ы х

к о о р д и н а т а х

дифференциальные урав­

нения движения

системы

видоизменяются:

4 + / 2 2 і 9 ф

=

<2 8іп.(«>4-3)

Pi/au

0'e+A2

2 ep =

Qsinicof+8) p2 /a2 ,

(29)

где

aic = an$ic-{-2

a12$lc+a22

( i c = l , 2 ) .

ср я р

и главными

Связь между

исходными неизвестными

координатами

6ф

я

Йр

следующая:

<j> ( ^ ) = рх

0ф + Р2

>'

Р ( * ) = Є ф + Є„.

При р~> ш вынужденные колебания имеют ту же фазу, что и

возмущающая сила.

Если

же р <

со, вынужденные колебания

сдвинуты по фазе на

тг . При .входе системы

в р е з о н а н с

р =

=

со величина максимального угла

раскачки

aHcp/V'COS

(pt-\-&)

(ЗО)

'

4/

у

(0,5cpl\n-GnHn+M[p)/I

' ю а х ~ Т [ « - (G„tfn +MT p )/(,0,5cp /»,)]'

kpd2

где ^

= ~2j~

относительный коэффициент

затухания (kp—

коэффициент

сопротивления амортизатора,

d — расстояние

между

амортизаторами).