ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 88
Скачиваний: 0
тическими спектрами (спектральная плотность воздействия), которые являются изображением Фурье корреляционной функ ции.
Э н е р г е т и ч е с к и й с п е к т р есть спектр корре ляционной функции Ф ( ы ) случайного стационарного процесса,
который |
пропорционален |
квадрату |
амплитуд. |
Для получения |
|||||
такого |
опектра достаточно |
взять |
от нее интеграл |
Фурье |
[52, 53, |
||||
54], т. |
е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф ( ш ) = ~ | _ ~ Я Ы е - ' ^ с » . |
|
(15) |
|||||
Чтобы решить задачу в обратном порядке, можно восполь |
|||||||||
зоваться |
выражением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R (т) = |
| _ * Ф |
(ш) |
е-'^сіш. |
|
|
||
Проинтегрировав |
выражение |
(15) подстановкой в него зна |
|||||||
чения |
корреляционной |
функции, |
получим |
расчетную |
формулу |
||||
для вычисления значений спектральной плотности. |
|
||||||||
Если |
корреляционная |
функция |
задана |
формулами: |
|
||||
|
|
|
Р , ( х ) = Л е—М; |
|
|
|
|||
|
|
р2 ( т ) =А e-*W cos$x ; |
|
|
|
||||
|
|
Р з ( х) =Аге |
-*'W+A2e-a'\'-\.tos$i, |
|
|
||||
выражения спектральных |
плотностей в преобразованном виде |
||||||||
[53]будут соответственно:
ф, ( ш ) = е д Л а / [ Ц а 2 + о ) 2 ) ] ;
Ф - н ^ [ , + |
, ( : + Р |
) |
2 + а |
г + |
( : _ Р ) |
г |
] ; |
о б ) |
|||
Ф |
1 ; |
ті( а 2 ! + ш2) |
^ |
2тг |
[ а 2 |
2 + ( о |
+ |
{))2 |
"t" |
||
Величина нормированной спектральной плотности опреде |
|||||||||||
ляется по формуле |
р ( ш ) = Ф |
(ш )/#(0). Для вычисления спект |
|||||||||
ральных |
плотностей при скоростях, |
отличных от скорости 1 м/с, |
|||||||||
необходимо |
в их |
выражения |
подставить |
значения |
к о э ф ф и |
||||||
ц и е н т о в к о р р е л я ц и о н н о й |
с в я з и |
а и |
р |
для нужной |
|||||||
скорости |
движения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Графики Ф (со) являются дорожными спектрами и показы вают, на какой частоте и с какой интенсивностью дорога воз буждает колебания движущейся транспортной машины (рис. 25). Как видно из графиков, дорога возбуждает колебания не одной
какой-либо частоты, а целый спектр колебаний. Ширина диапа зона частот зависит от скорости движения и качества дороги.
Спектральная плотность, как и корреляционная функция, является симметричной убывающей функцией. С увеличением частоты интенсивность возмущения уменьшается. Как следует
Рис. 25. |
Энергетический спектр воздействия участка |
|
дороги: |
/ — г> = 10 |
км/ч; 2 — и = 15 км/ч; 3 — t) = 30 км/ч; 4 — с = 60км/ч . |
из анализа приведенньюс уравнений, наибольшее значение спект ральной плотности будет при ю = Р . Это значит, что наиболь шая величина 'возмущения наблюдается при этой частоте. Фи зически это объясняется тем, что коэффициент корреляционной связи р одновременно является и частотой главной гармоники, которая входит и в выражение корреляционной функции и в состав случайной функции, описывающей дорожный микропро филь. Поэтому при этой частоте наблюдается всплеск спект ральной плотности, причем количество таких всплесков будет равно количеству членов выражения спектральной плотности, содержащих коэффициенты р.
Из выражений (16) и (17) видно, что гари « = 0 значения спектральной плотности не равны нулю, т. е. они не проходят
через |
начало координат. Из уравнения |
(16), если |
ш = 0 , |
имеем |
||||
из |
уравнения |
Ф 2 ( 0 ) = = : Я ( 0 ) Л а / [ * ( а Ч - Р 2 )], |
|
|
|
|||
(17) — |
|
|
|
|
|
|||
|
|
Фэ (0) = |
Д (0)Ліа,/(я а 2 ,) +R(0)A2 |
«2 /[ г. ( а2 |
2 4-р2 ) ] . |
|
||
|
Величина |
максимума |
зависит от |
соотношения |
параметров |
|||
а |
и |
р , от соотношения |
постоянных коэффициентов |
А\ |
и А2 и |
|||
скорости движения. При увеличении скорости движения коэф фициенты корреляционной связи увеличиваются, поэтому вели чины максимумов падают. Причем для больших скоростей дви жения кривые спектральной плотности более плавные, а макси мумы проявляются не так резко.
При уменьшении а убывание кривых корреляционных фун кций будет более медленным, соответственно в спектре случай ной функции большой удельный вес приобретают малые часто ты. В этом случае кривая спектральной плотности вытяпивается вверх, одновременно сжимаясь с боков. Если а увеличивается, преобладание малых частот становится все менее выраженным.
По характеру корреляционной функции в общих чертах можно судить о виде кривой спектральной плотности. Чем более круто поднимается кривая корреляционной функции (меньше время корреляционной связи), тем более пологой будет кривая
спектральной |
плотности. |
|
|
|
|
Установлено, |
что высота |
неровностей |
в одинаковой степени |
||
увеличивает |
или |
уменьшает |
ординаты |
спектра, |
влияние же |
длины неровностей более сложно. |
|
|
|||
Энергетические спектры воздействия зависят только от ка |
|||||
чества дороги и скорости движения. Ими можно |
пользоваться |
||||
три проектировании любой транспортной |
машины. |
|
|||
Глава Ш
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
1
Свободные колебания
При отсутствии возмущающей силы,, если состояние равно весия упругой системы было нарушено и затем она предостав лена самой себе, система совершает с в о б о д н ы е к о л е б а - н и я.
Рассмотрим простое стандартное уравнение [55], которое применимо ко многим механическим линейным системам с од ной степенью свободы. Уравнение имеет вид
|
|
х-{-р2х=0, |
|
|
(18) |
где |
х — перемещение; |
|
|
|
|
|
P—Vcjm |
— частота свободных колебаний |
(с |
— |
жесткость |
|
|
упругого элемента, т — масса). |
|
|
|
|
Ч а с т о т а |
колебаний р зависит от параметров |
системы, но |
||
не зависит от начальных условий. Она является |
важным показа |
||||
телем, характеризующим колебательные свойства системы. |
|||||
|
Уравнение |
(18) имеет решение ;в виде х—Сх |
sin |
pt-\-C2smpt, |
|
где Сі и С2 — постоянные, определяемые из начальных условий,
характеризующиеся |
н а ч а л ь н ы м с м е щ е н и е м |
Хо |
и |
на |
|||
ч а л ь н о й с к о р о с т ь ю v0, |
т. е. х=х0, |
v = v0 |
при |
ґ = 0 . |
Так |
||
как Cj — Vo/p; С2=х0, |
решение |
уравнения |
(18) |
можно |
перепи |
||
сать в виде
x=xocosp^+ (v0sinpt) I p.
Это уравнение соответствует простой системе с одной степенью свободы. С увеличением числа степеней свободы решение задачи усложняется.
Рассмотрим свободные колебания механической системы с двумя степенями свободы. Возьмем для примера транспортную систему — трелевочный лесной трактор, перемещающий пакет деревьев, подвешенный за один конец. Упрощенная расчетная схема поперечно-угловых колебаний приведена на рис. 26, а.
Данная динамическая система имеет две степени свободы,
которые характеризуются |
обобщенными |
координатами |
<р и р. |
Потенциальная энергия |
выражается как |
сумма П = |
П 1 +іП 2 , |
причепи |
|
|
|
П ^ С р Д / 2 ! ^ — 0,5 GtfK <f2 ;
U2=Gn h = 0,5 Ga L ? 2 — 0,5DG„ p2,
где h — вертикальное перемещение точки 0 3 при отклонении •подрессоренной массы на угол ср и подвеса пачки на угол Р;
ср — жесткость рессоры;
п— число осей;
h |
•— расстояние между рессорами; |
G |
— вес подрессоренной массы трактора; |
Нк |
— расстояние от оси крена до центра тяжести подрес |
|
соренной .массы трактора; |
G n |
— вес части пакета, приходящийся на трактор; |
L |
— расстояние от центра крена до точки подвеса 02. |
Рис. 26. Схема поперечно-угловых колебаний трактора при полуподве шенном способе трелевки леса (а) и схема отклонений подрессоренных
масс (б).
Общее выражение для потенциальной энергии будет
П = 0 , 5 (0,5 n/Vp — GHK — GaL) |
ср2 +0,5 Ga |
D p2. |
|
|||
Кинетическая энергия равна сумме кинетических |
энергий |
|||||
первого Ті и второго Т2 |
тел: |
|
|
|
|
|
Г = 0 , 5 h |
?2 +0,5 / 0 2 п р ' 2 + 0 , 5 |
G'„ v\ |
/g, |
|
|
|
где / 0 2 п — момент инерции |
пачки относительно |
оси, |
проходя |
|||
щей через |
точку |
подвеса и центр |
касания |
второго |
||
конца иачки с землей;
|
Іт |
— момент инерции относительно оси крена; |
|||
|
vy |
— скорость перемещения центра тяжести пачки; |
|||
v2y^v20/9 |
(v0 |
— скорость точки |
0 3 |
пакета); |
|
|
G'п |
— полный вес пачки. |
обоб |
||
Подставив |
значение скорости v2^, выраженной через |
||||
щенные |
координаты (ірис. 26,6), |
и |
выполнив некоторые |
преоб |
|
разования, получим |
|
|
|
||
T = 0,5[/r + |
( D + L ) 2 G / n / ( 9 g ) ] ? 2 |
+ 0 |
, 5 ( / ° 2 П + G'n D2/(9g)) |
р 2 + |
|
+[DG'n(l+L)/(9g)]V<?.
Применив уравнение Лагранжа, (будем иметь систему урав
нений: |
|
|
|
|
|
|
|
[/т+ G'n(D+L)2 /(9g) |
|
] ip+ [DG'n |
(1 +1)/ (9g) ] p + |
(0,5С р м/2 , - |
|||
|
— GHK — GUL) ? = |
0; |
|
||||
[DG'n(l+L)/(9g)] |
?'+,[/°2п |
+ |
GnD2/ |
( 9 g ) ] p + G „ |
• D?=0, |
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
a u cp+a 1 2 p - f cn'f = 0 ; |
|
|||||
|
ai2 'f'+a2 2 P+C22p = |
0, |
(19) |
||||
где a „ = / T + G / n ( ^ + ^ ) 2 |
/ |
(9g); |
|
|
cn=Q£cvnl2x—GH-GnL; |
||
al2=DG'n(\+L)/(9g); |
|
|
cu=0; |
|
(20) |
||
a2 2 |
= / ° 2 n + G ' n D 2 / ( 9 g ) ; |
|
c22=GnD. |
|
|||
Уравнение чіастот будет иметь вид |
|
|
|||||
{(0,bcpnPl-GHK-GnL)-k*[l1+G'a(D+L)>/(9g)]) |
|
|
• [ G n D — |
||||
- |
£ 2 ( / ° 2 n + G ' n D 2 / ( 9 g ) ) ] - |
[ D G ' n ( l + L ) 2 / ( 9 g ) ] 2 - ^ = 0 . |
|||||
Квадраты п а р ц и а л ь н ы х |
ч а с т о т равны: |
||||||
|
n2 i = |
cn/a u ; |
|
n22 = |
c22/a22 |
|
|
(пі — частота свободных колебаний системы, если представить, что масса хлыстов сосредоточена в точке 0 2 ; п2 — частота сво бодных колебаний физического маятника, образуемого пачкой, когда точка 02 неподвижна).
Введя обозначение
X2=[DG'n(l+L)4(9g)]2/{[Ir+G'n(D+L)2li9g)] |
• (/02п+ |
+ G'n D2 /,(9g))),
получим
(1 + Х 2 ) ^ 4 - ( n 2 i + n 2 2 ) f c 2 + n V * 2 2 = 0 , |
(21) |
