Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 373

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Г Л А В А IV

К РИ ВЫ Е ВТОРО ГО П О РЯ Д К А

§ 21. Окружность и ее уравнение. Окружностью на­ зывается геометрическое место точек, одинаково удален­ ных от одной точки, называемой центром.

Пользуясь

этим

определением,

г,выведем уравнение

окружности. Пусть радиус ее равен

а центр находится

вМ(х\у)начале координат. Возьмем на

 

окружности

произвольную

точку

 

По

(рис.

27).

 

между

 

формуле

расстояния

 

двумя

точками

можем написать:

 

 

ОМ =

г =

V J F + У ,

 

 

или, после возведения обеих частей

 

равенства в квадрат,

Г2.

(1)

 

 

Л-2 + !/2 =

 

Так как точка М нами взята на окружности произ­ вольно, а радиус г — величина постоянная, то равенство

(1) справедливо для всех точек окружности, т. е. ко­ ординаты любой ее точки удовлетво­ ряют этому равенству. А если так, то равенство (1) нужно рассматривать

как

уравнение окружности радиуса г

с центром в начале координат.

Найдем уравнение окружности, центр которой лежит в любой точке плоскости, например в точке О і (а; Ь)

Рис. 28. (рис. 28). Перенесем оси координат Ох и Оу, сохранив их первоначальное направление и поместив начало координат в точке

Оі(аѣ,Ь). Мы получим новую систему координат XOiY, по отношению к которой уравнение окружности с центром

60

 

КРИВЫЕ

 

ВТОРОГО

ПОРЯДКА

 

[ГЛ. IV

в точке

0 1

будет иметь вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X 2

+ У2X=

г2.

 

 

 

(2)

 

 

 

 

 

 

 

х

 

Выразим новые координаты

и

У через прежние

 

 

и

у.

С этой

целью заменим

X

и

У в уравнении (2) их

 

зна­

чениями, взятыми из формул

(2) § 8. Получим

 

 

 

 

 

 

(х

—

а)2

+

{у — Ь)2 = г2.

 

 

 

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение (3) определяет окружность, центр которой 'лежит в точке Oi(a-, b).

в

Если

положить

 

а = 0,

 

то уравнение

(3)

обратится

следующее:

 

 

х2

+

(у — Ь)2 =

г2

 

 

 

 

и

будет

определять

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

окружность

с

центром на

оси

Оу

(рис. 29). При

b =

0 уравнение (3)

примет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

{х

—

а)2

+

у2 =

г2

 

 

 

 

л

будет

определять

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

окружность

с

центром на

оси

Ох

(рис. 30).

 

 

а

=

0 и

b =

0 уравнение

(3)

преобра­

 

Наконец, при

 

 

 

зуется в следующее:

 

X2

+

 

у2 = г2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и будет определять окружность с центром в начале ко­ ординат (рис. 27).

§ 22]

У Р А В Н Е Н И Е

О КР У Ж Н О СТИ

61

 

 

Построим окружность по ее уравнению. Пусть, на­ пример, требуется построить окружность

(х — 2)2 + (у + З)2 = 9.

Перепишем

это

уравнение в следую­

X

щем

виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[у

 

 

 

 

 

(х

— 2)2 +

— (—З)]2 =

9;

ви­

 

сравнивая

это

уравнение

с

(3),

 

дим,

 

что

 

координаты

центра

0\

 

окружности

суть

(2; —3) и

радиус

 

ее

г —

 

3.

Построив точку О і(2 ;—3),

 

опишем

 

из

нее

радиусом,

рав­

 

ным

3,

искомую окружность (рис. 31).

Рис. 31.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 22. Уравнение окружности

как частный вид общего

уравнения второй степени. Раскрыв скобки в уравнении

(3) § 21, можем написать:

 

 

X2

X

2ах

4-

а2

+

 

у2

— 2

by

+

b2

=

г2,

 

 

 

или

 

2 —

 

 

 

 

 

 

 

by

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у2

— 2ал: — 2

+

а2

4-

Ь2

—

г2 —

0.

 

 

Умножив все члены последнего равенства на

А,

получим:

Ах2

4-

Ау2 —

2

Аах

— 2

АЬу

4-

Аа

2 4*

Ab2

—

Ar2

= 0. (1)

Положим

 

D,

 

 

 

 

Ab =

 

 

E,

 

Act2 +

 

Ab2 — Ar2 =

F-

 

- 2

Aa =

 

 

- 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

тогда уравнение (1) окружности примет вид.

 

 

 

 

 

Ах2

4-

Ау2

+

 

 

Dx

 

4-

Еу

+

 

F

=

 

0.

 

 

 

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение (3) является частным случаем общего урав­ нения второй степени с двумя переменными. В самом деле, сравним уравнение (3) с общим уравнением вто­ рой степени с двумя переменными, имеющим, как из­ вестно, следующий вид:

 

 

Ах24- Вху + Су2 + D x +

Еу + F =

0.

 

(4)

у

Мы видим, что уравнение

(3)

отличается

от уравне­

ния (4) только тем, что у первого коэффициенты при

х2

и

2 одинаковы

и отсутствует

член, содержащий, произ­

ведение

ху.

 

 

 

г

•

 

 

 

 

 

 

62

К РИ В Ы Е ВТО РО ГО П О РЯ Д К А

[ГЛ [V

Таким образом, окружность определяется общим уравнением второй степени с двумя переменными, если в нем коэффициенты при х2 и у2 равны между собой и отсутствует член с произведением ху.

Обратно, уравнение вида (3), вообще говоря, опре­ деляет окружность. Убедимся в этом на примере. Пусть дано уравнение

х2~Т У~ -Ь 4.Ѵ — 8у — 5 = 0.

(5)

Перепишем его в следующем виде:

(х2 + 4х) + (у2 - 8 у ) = 5

и преобразуем двучлены, стоящие в скобках, в полные квадраты суммы и разности, прибавив к первому 4, ко второму 16. Чтобы равенство при этом не нарушилось, увеличим и правую часть его на сумму 4 + 16. Получим:

(■ «2 + 4х +

4) +

(у2- 8у +

16) = 5

+ 4 +

16,

или

(X +

2)2 +

(у - 4

) 2 =

25.

 

 

Последнее равенство является уравнением окружно­

сти, имеющей

радиус,

равный 5,

и

центр

в точке

О і(—2; 4).

 

 

 

 

 

 

 

Бывают, однако, случаи, когда уравнение (3) при не­ которых значениях коэффициентов не определяет окруж­ ности; например, уравнению х2 у2= 0 удовлетворяют координаты единственной точки (0; 0), а уравнению х2+ .

-f- у2 — —4 не удовлетворяют координаты ни одной точ-. ки, так как сумма квадратов действительных чисел не может иметь отрицательного значения.

Если уравнение окружности дано в развернутом виде, то координаты центра этой окружности и ее радиус можно найти двумя способами. По первому способу нужно сделать в данном уравнении преобразования, ана­ логичные тем, которые мы имели в разобранном при­ мере (5); по второму способу можно воспользоваться равенствами (2), из которых имеем

a = - T Ä > Ь = - - ё т г2 = а2 + Ь2- 4 - (6)‘

Смотрите также файлы