Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

П р и м е р

1. Найти-|-точку пересечения прямых

2х

3у — 12 =

О,

Р е ш е н и е .

Решим

X — г/ — 1

=

0.

систему.

данные

уравнения как

Умножив второе уравнение на

3

и сложив

результат

с первым уравнением, получим:

дем:

- А х А- 10у—

16 =

0

+

А х - 1 0 у -

3

=

0

— 19

=

0,

§ 20]

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМЫХ

55

2.

Найти точку пересечения двух прямых:

1) Зх —

2у —

4 =

0

и

X +

3//— 5 =

0;

5у

+

Дать

2)

х —-

7 =

0

и

15г/— Зх — 4 =

0.

аналитическое и графическое решения.

у

— 20 =

0

у

3. Показать, что прямые 7х — 9

15 = 0 и 13х-f- 12

пересекаются

в точке,

лежащей на

оси

Оу.

Дать

аналитическое

и

графическое решения.

вершин

треугольника,

если

даны

4. Определить

координаты

уравнения его сторон:

2у

X

у —

2 х — 1,

—

=

3,

3</+

2х — 5 =

0.

В(Дать аналитическое и графическое решения.

точки

А (4;

1)

и

5. Найти точку, в которой прямая,

соединяющая

— 1;

—4), пересекает

ось

абсцисс. Дать

аналитическое Аи

гра­

фическое решения.

прямой, проходящей

через точку

(2;

5)

6.

уНаписать уравнение

и

через

точку

В,

в

которой

пересекаются

прямые

Зх —

у —

0

и

2х + 5

—

17 = 0.

у

х - \ - у =

у

7. Через точку пересечения прямых

2х —

— 3 =

0 и х — 3

—

— 4 =

0

проведена

прямая, параллельная

прямой

1.

На­

писать уравнение проведенной прямой.

х +

2і/ +

2 =

0

и

Зх +

8. Через

точку

пересечения

прямых

+

4у

4- 9 = 0

проведен

перпендикуляр

к

прямой

2х +

у

— 6 =

0.

3

Написать уравнение этого перпендикуляра.

А

9.

Найти

уравнение медианы, проведенной из вершины

тре­

угольника

АВС,

образованного прямыми:

AB:

2х —

Зу +

1

ВС:

1= 0,

З х +

г/ — 11= 0 ,

АС:

X

+

4у

= 0.

5у—3,

х+ З і/= 7

10. Даны уравнения сторон треугольника: 2х—

и Зх —

2у

+ 1 = 0 . Написать уравнение высоты, проведенной на сто­

у =

3.

рону 2х — 5

11. Дан треугольник, уравнения сторон которого суть

Зх +

2у —

5 = 0, Зх — г/ — 1 1 = 0 , Зх +

у —

1 = 0.

стороне

Написать

уравнение

перпендикуляра,

восставленного

к

у

— 5 =

0 в ее середине.

Зх + 2

в

точке

Л4(5;

1). Уравнения

12. Диагонали

ромба

пересекаются

одной

из диагоналей

и одной из сторон

его

соответственно

у —

X + 4 = 0 и

Зу —

X — 6 = 0.

Найти координаты вершин ромба.

задачи

Смешанные

4у

=

8 с

осями

коор­

1. Найти точки пересечения прямой Зх +

динат.

у

у

2. Показать,

что

прямые

4х +

3

— 5 =

0, Зх —

+

6 =

0

и

2х —

у

+

5 =

0 проходят через одну точку.

56

ПРЯМАЯ

ЛИНИЯ

[ГЛ. Ill

3.

Прямая,

параллельная

оси

Ох

и проходящая

выше ее на

расстоянии, равном

4, пересекает

прямую

Зх

—

4у

+

5 = А0.

Найти

точку пересечения этих прямых.

(

4.

Показать,

что

прямая,

на

которой

лежат

точки

—3; 6)

между осями координат.

С

у),

8. Какую ординату имеет

точка

(5;

лежащая

на

той же

прямой, что и точки

А

(—8; —6) н

В(

—3; — 1)?

через

точку

9.

Написать уравнение

прямой,

проходящей

Л (—3;

4) и параллельной

биссектрисе

первого

координатного угла.

10.

На биссектрисе первого координатного угла найти точку,

расстояние которой от точки М (—2; 0)

равно

10.

11.

При каком

значении

т

прямая

у

=

тх

+ 3

проходит через

точку пересечения прямых 2х —

у

+

1 =

0 и

у

=

х

+

5?

в

точках

12.

Противоположные

вершины

квадрата

лежат

х +

14. Даны

уравнения

сторон

треугольника:

у

х + 2 — 2 = 0,

2

У

— 13 =

0 и X —

2у

+ 6 = 0.

Показать, что

этот треугольник

него.

Ох

15.

Нужно провести прямую, проходящую через точку М(30; 50)

и образующую

с

положительным направлением

оси

угол 45’ .

На каком расстоянии от оси

Ох

нужно взять две точки, отстоящие

от оси ординат на расстоянии

1 и

3, чтобы

искомая

прямая про­

ходила через них?

положительному

направлению

16. Определить углы наклона к

оси

Ох

сторон

треугольника

АВС,

вершины

которого

находятся

в точках /4(1; 3),

В(

6;

1) и

С(

— 1; —3).

17. Две прямые пересекаются в точке /1(2; —5). Найти острый

угол между ними, если однау

из них проходит через точку 5(1; —3),

а другая — через точку С (4;

I).

2х

у

18. Даны две

прямые

=

+

1 и Зх — 2

— 5 =

0.

Опреде­

лить

у

расстояние между точками, в которых они

пересечены

прямой

X

—

— 3 = 0.

А

19.

Через точку

(—5;

3)

проведена прямая

так,

что

ее отре­

21. Сторона треугольника, равная 10, лежит на оси

Ох,

а одна

из его вершин — в точке /4(4; 6). Найти уравнения

сторон

§ 201

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМЫХ

57

22. Дан

треугольник

ЛВС

с

вершинами

А

(8;

4),

В(

—2;

6)

и

Е

С(4; 0). Из

точки

D,

делящей

сторону

ВС

в отношении

BD : DC

=

=

2:1,

проведена

прямая

через

середину

стороны

AB.

Найти

уравнение н длину отрезка

DE.

AB

С,

23. Даны две точки

А

(—4;

—3)

и

0(1;

2). Написать

уравнение

прямой,

проведенной перпендикулярно к прямой

через

точку

делящую отрезок

AB

АС : СВ

= 1 : 2 .

В(в отношении

пластинки

лежат

24. Две

вершины

треугольной

однородной

в точках /4(6; 0)

и

—

а ее центр тяжести

в точке Л4(1;2).

А8; —2),

Найти координаты третьей вершины этой пластинки.

25.

В

трех

точках

(

0),

ß (—2;

4)

и

С (4;

—5)

помещены

— 1;

грузы

соответственно

в 30

кг,

50

кг

и

70

кг.

Найти

центр

тяжести

этой системы.

АВС

А

В(

26. Дан

треугольник

с вершинами

(—5;

— 1),

— 1;

4)

я

С(

3;

2). Через

вершину

А

проведена прямая,

параллельная

ВС,

а через

вершину

В

— прямая,

перпендикулярная

к

ВС.

Найти

коор­

динаты точки пересечения проведенных прямых.

27. По какой линии должна двигаться точка, начальное поло­

жение

которой

определено

координатами

(3;

8),

чтобы

дойти

крат­

чайшим путем до прямой

у =

-^ - х

— 1? В

какой

точке ома достигнет

этой прямой и как велик будет пройденный путь?

на

оси

Ох,

под

28. Дие прямые пересекаются

в точке, лежащей

углом

45°

друг к

другу;

прямая

с

меньшим

наклоном к положи­

тельному

направлению

оси

Ох

имеет

уравнение

2х

—

З у

— 6 =

0.

2 х

Написать уравнение второй прямой.

— Зг/ -)- 11 =

0,

29. Даны

уравнения

сторон

треугольника

3JC +

у

— 11 =

0,

JC + 4I/ =

0.

Найти

угол,

образованный

с

положи­

тельным

направлением

оси

Ох

медианой,

проведенной

на

сторону

координат,

разделен

на три равные части,

и

в точках

деления вос­

ставлены перпендикуляры к этой прямой до пересечения с осью

Оу.

Найти координаты точек пересечения.

31. В

треугольнике

АВС

даны середины

его

сторон ЛіДІ;

1),

М2(3; —5)

и Л43(5; —3). Составить уравнения сторон.

АВС

32. Даны две вершимы /4(3;

— 1)

и ß(5;

5)

треугольника

и точка

N(

6;

2)

пересечения

его

высот. Найти

координаты

третьей

вершины треугольника.

х

у

2х

33. Даны

уравнения

сторон треугольника:

+

— 3 = 0, х =

0,

+

у

у

— 1 = 0 .

Найти

длину

высоты,

проведенной

на

сторону

X

+

— 3 = 0.

у = 2х — Ъ, у = х — 2,

зная

уравнения

его

34. Определить

площадь

параллелограмма,

сторон:

у —

2 х + 1 ,

площадь

ромба,

зная

і/=

х +

2.

сторон:

35. Определить

уравнения

его

У =

„

у =

,

4

4

x

20

0,

4,

// =

у х ,

y ~ Y

-----з~-

58

S

и

треугольник

ПРЯМАЯ

ЛИНИЯ

[ГЛ. HI

равен

расположен

в

первом

кордииатном

угле

(два случая).

у

квадрат

определяются

М(

х + Зі/ +

37.

Две

стороны

уравнениями

-{- 10 =

0 и З.ѵ —

— 20 =

0, а его центр лежит в точке

3;

— 1).

Найти уравнения диагоналей квадрата.

треугольника

3S.

Гипотенуза

равнобедренного

прямоугольного

параллельна осп

Ох.

Вершина

прямого угла лежит в точке Л (8; 20),

а одна кз вершин острого угла расположена на оси

Оу.

Написать

уравнения сторон этого треугольника

(два случая).

параллельна

39. Одна

из

сторон

правильного

треугольника

оси

Оу

и отсекает на оси

Ох

отрезок, равный —4, а противополож­

ная вершина лежит в точке Л (2; 0). Найти

уравепия

высот.

оси ко­

40. Гипотенуза прямоугольного треугольника пересекает

ординат

в точках Л (—5;

0)

и

ß(0;

5),

а один

из

катетов — в

точ­

ках

С(—2;

0)

и

D(0;

1);

продолжение

же

другого

катета

отсекает

на оси

Ох

отрезок, равный 4. Найти координаты вершин.

х

у

41. Две стороны и диагональ, исходящие из одной вершины па­

раллелограмма,

определяются

сответственно

уравнениями

—

+

+ 4 =

0,

у

=

5 и 5х +

2у

— 15 =

0.

Написать

уравнения двух

дру­

гих сторон параллелограмма, если точка пересечения его диагоналей

лежит на оси

Ох.

С(

AD

ABCD

х

42. Две

противоположные

вершины

ромба

лежат

в

точ­

ках

Л (1;

3)

и

5;

9),

а

сторона

определяется

уравнением

—

у

+

2 =

0.

Найти

координаты

двух

других

вершин

его.

43. Две

противоположные

вершины

прямоугольника

ABCD

ле­

жат

в

точках

Л (1;

4)

п

С (5;

6),

а

сторона

CD

наклонена

к

поло­

жительному

направлению

оси

Ох

под

углом

45°.

Найти

площадь

этого прямоугольника.

Ох

44. Одна из сторон ромба проходит через начало координат и

образует

с

положительным

направлением

оси

угол,

равный

4

у

arctg-g-, а другая сторона определяется уравнением

=

8.

Найти

уравнения остальных сторон ромба, если его диагонали пересекаются

между собой в

точке,

лежащей на оси абсцисс.

В (7;

45. Дан

треугольник

АВС

с

вершинами

Л (4;

1),

5)

и

С(—4;

7). Найти

точку пересечения биссектрисы углаВ(Л с проти­

воположной стороной

ВС.

треугольника

Л(—2;

В.

3;

—8)

и

46. Даны

вершины

—8),

С(3; —5). Написать уравнение биссектрисы угла

47. Из

точки Л (6;

9)

направлен

луч света под углом 45° к по­

ложительному

направлению

оси

Ох\

дойдя

до оси

Ох,

он

отра­

жается

от

нее. Найти

уравнения

падающего

и

отраженного

лучей.

48. Луч света направлен по прямой

2х

у

— 12 =

0; дойдя до

— 3

оси

Ох,

он

от

нее

отражается. Определить

уравнение отраженного

луча.

Ох

49. Луч света, выйдя из точки

Л (2; 3),

отражается от

оси

и попадает в точку ß(5; 8). Найти уравнения падающего и отра­

женного лучей.:

проходящий

через

точку

Л (3;

4),

отражается

50. Луч света,

от прямой д

+

У

— 2 = 0

и после

отражения

проходит

через

точку

ß(5;

2). Найти уравнения падающего и

отраженного лучей.