Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

§ 22]

У Р А В Н Е Н И Е О К Р УЖ Н О СТИ

63

находим

4*2 + Ау2— 8л: +

Ау — 1 1 = 0

а

~ 8

1

ö =

___ __ ____ -

из равенств

(6)

X + у —

=

х2

у2 Ах + 2у

Искомая окружность представлена на рис. 32.

— 15= 0

П р и м е р. Дана окружность

+

—

и прямая

7

0.

Найти

длину хорды, принадлежащей дан­

ной прямой.

Так

как

концы

Р е ш е н и е .

хорды являются общими точками

окружности и прямой, то их ко­

ординаты

удовлетворяют

как

уравнению

первой,

так

и

уравнению

второй

линии. По­

Рис.

32.

этому,

чтобы

найти

эти

коор­

динаты,

нужно решить совместно

значение

уравнения

окружности и

прямой. Подставив

или

X2 - f (7 — х)2-

Ах + 2 (7 - *) — 15 = 0,

X2 +

49 — 14л; +

*2 — 4* + 14 — 2л: — 15 = 0,

или,

наконец,

*2-

1 0 * + 24 = 0.

Отсюда

*1,2 =

5 ± ^25 — 24 = 5 ± 1,

* , = 5 — 1 = 4 , * 2 = 5 + 1 = 6 .

Находим значения

у:

— 4 = 3,

7

Х\ =

7

Уі —

Уъ = 7

— *2 = 7 — 6 = 1 .

64

К РИ В Ы Е ВТО РО ГО П О РЯД КА

[ГЛ. IV

d =

V (4 -

6)2 +

(3 -

I)2

=

У 4 +

Т = 2

1.

Написать

уравнение

Упражнения

с

центром

в

точке

О,

и

с1

окружности

)

радиусом0 1 2

г, если даны:

г ^ У Т ,

3) 0 ,(0 ; 5),

г

=

6

.

,( — ;

), г =

5,

2) О , (—2; —3).

2. Построить) 2

окружности:) 2

2)

( х - 2

) 2

+ ( у +

)

2

=

9,

1) (л: +

З + (і/ — 2

=

16,

1

3)

х2 +

( у ~

) 2

=

25.

3.

Дана

) 2

+

4

16. Лежат ли на ней

окружность (д: — 3

(у +

5)2 =

точки:

А

(3; — 1),

(х

В

(3; —9)(у и

С)

2

(0,

—3)?

4.

Дана

окружность

+ 2)J +

+

З

— 13 и

точка

на

пей

6

1)

О , (2;

1),

А (5;

5),

2)

О, (—3;

2),

А (—4; 0).

точ­

. Написать

уравнение

окружности,

проходящей

через две

ки: Л(—5; 5) и 0(1; 3) и имеющей радиус

г

=

К іО •

А

7.8

Написать уравнение окружности, проходящей через две точки:

(2; 4) и

В

(—2; 0)

и имеющей центр на оси

Ох.

. Написать уравнение окружности, проходящей через три точки:

9.

Л (0; 2),

5(1;

1)

и

С (2;

—2).

проходит

че­

Окружность

касается обеих

осей

координат и

чале координат и проходящей через точку Л(

0

; —

8

).

X2

12. Найти

координаты

центра

и длину

радиуса

окружности

+

у2

—

6

х —

8у

=

0

.

. 13.

Построить

окружности:

X2

у2 — \2у

1)

X

2

+

У2 +

4х

-

бу -

3

=

0,

3)

+

4у2 —

+

11 =

0,

у2

8

2)

X2

+

+

* +

7 =

0,

4)

4х2

+

16* +

8у —

5

=

0.

14.

Даны

окружности

х2

+

у2

—

6х

+

8у

= 0

и

х2

+

у2

+ 2.ѵ

их

— 1 2 і/ + 1 = 0 .

Написать уравнение

линии

центров

(т. е. урав­

нение прямой,

проходящей

через

центры

данных

окружностей).

66

К РИ В Ы Е ВТО РО ГО П О Р Я Д К А

[ГЛ. IV

F(c; 0) и

F ,( —с; 0).

Возьмем

на

эллипсе про­

извольную точку

М( х ; у ) .

Обозначим

постоянную

величину

суммы

2а,расстоя­

ний от каждой точки до

фокусов

через

тогда

FM +

F lM = 2 a .

(2)

По формуле расстояния между двумя точками

найдем:

—

c f

+

(у

— О)2 =

Ѵ(х

—

c f

+

if

,

FM — Y (х

W

V(x

=

V( x + c f + ( y - Q f

=

+ c f

+

i f .

Теперь равенство (2) перепишется следующим обра­

зом:

] f ( x - c f

+ f-

+ V(x + c f

+

у2 = 2 а

(3)

(х — c f +

у2=

4а2— 4а У (х +

c f +

у2 +

{х -f- c f +

у1.

X

Раскроем скобки:

2 —=2сл: +

с2 +

у2 =

+

2сх

+ с2 +

у2

+

х2

+

2сл: +

с2

+

у2.

У х 2

4а2 — 4а

Приведем

подобные члены:

—2

сх —

4а2 — 4а

]/ х2

+ 2сл: +

с2 +

у2

+

2

сх,

или

4а

Y X2

+

2

сх

+ с2 +

у2

=

4а2 +

4

сх.