Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 370

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

68

К Р И В Ы Е ВТО РО ГО ПОРЯДКА.

[ГЛ. IV

 

 

откуда

( 1)

Из того же уравнения (5) найдем:

а2 (Ь2 - у2)

следовательно,

(2)

Рассмотрим

теперь равенства

(I)

и (2).

I. Пусть

! * а .

I

<

Тогда под корнем в равенстве (1) получится положи­ тельное число, а потому у будет иметь два значения, рав­ ные по абсолютной величине, но с противоположными знаками. Это значит, что каждому значению к соответ­ ствуют две точки эллипса, симметричные относительно оси Ох.

Пусть теперь

\ у\ <ь .

Тогда каждому значению у, как мы видим из равенства (2), отвечают два значения х, равные по абсолютной ве­ личине, но с разными знаками. Отсюда следует, что каждому значению у соответствуют на эллипсе две точ­ ки, симметричные относительно оси Оу.

Из

сказанного

заключаем:

эллипс

а2 1 Ь2

= 1

сим

-

 

—«—I—

 

метричен относительно координатных осей.

с

осью Ох-щ

II.

Найдем

точки пересечения

эллипса

Пусть

 

 

 

 

 

 

 

у = 0;

.тогда из равенства (2) имеем:

х = ± у Y b 2 — ± а.

Отсюда следует: эллипс пересекает ось Ох в двух точках, координаты которых (а; 0) и (—а; 0) (точки А

и Аі на рис. 35).

§ 24]

 

 

И С С Л Е Д О В А Н И Е У Р А В Н Е Н И Я Э Л Л И П С А

 

 

69

III.

 

 

Найдем

точки пересечения

эллипса

с осью Оу.

Пусть

 

 

 

 

 

 

 

‘ 0;

 

 

 

 

 

тогда из равенства

(1) имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у = ± - ^ Y a 2 = ± Ь.

 

 

 

 

 

Отсюда

заключаем, что

эллипс пересекает

ось Оу

 

(0;

Ь)

и

(0; —

Ь)

в двух

 

точках

координаты которых

(точки

В

и

В

 

,

рис. 36).

 

 

 

 

 

1

на

 

 

 

 

 

 

IV . Пусть X принимает такие значения, что

 

\ х I > а;

(3)

тогда выражение под корнем в равенстве (I) будет от­ рицательным, и, следовательно, у будет иметь мнимые значения. А это значит, что не существует точек эллип­ са, абсциссы которых удовлетворяют условию (3), т. е. эллипс заключен между прямыми х — + а и х = —а (см. рис. 35, прямые KL и PQ).

Если же положить

\у\>Ь,

(4)

то из равенства (2) получим для х мнимые значения. Это говорит о том, что точки, удовлетворяющие условию (4), на эллипсе не лежат, т. е. эллипс заключен между пря­ мыми у — + 5 и у = —Ь (см. рис. 36, прямые РК и QL).

Из сказанного следует, что эллипс вписан в прямо­ угольник, стороны которого параллельны координатным

70

К РИ В Ы Е ВТО РО ГО П О РЯ Д К А

[ГЛ. [V

 

осям и имеют длины, равные 2а и 2Ь, а диагонали пере­

секаются в начале координат

(рис.

вершинами эллипса,

 

 

 

О

А,

 

 

В

 

 

 

 

37).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

центром.

 

 

 

А\А — 2а

 

 

Эллипс имеет форму, показанную па рис. 38.

 

большой

осью,

 

 

 

 

В[В — 2Ь

 

малой осью.

 

Точки

FM

/4It

 

и ßi

называются

фокальных радиусов

 

 

 

 

 

FtM

 

 

 

Отрезок

а точка — его

 

 

а

 

 

—

 

называется

его

 

М.

 

 

 

и

 

 

 

отрезок

 

 

 

 

Отрезки

 

 

 

 

 

 

носят название

 

 

 

 

точки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пользуясь определением эллипса, легко построить его

непрерывным движением карандаша. Для

этого берем

нерастяжимую нить длиной, равной большой оси эл­ липса, т. е. длиной 2а, и закрепляем концы этой нити в фокусах, положение которых предполагается извест­ ным.

Натягиваем нить карандашом и острием его описы­ ваем кривую, держа нить все время в натянутом со­ стоянии. Кривая, описываемая при этом — эллипс, так как сумма расстояний от любой точки этой кривой до фокусов равна длине нити, т. е. равна постоянной ве­

личине.

эллипса.

Эксцентриситетом

§ 25. Эксцентриситет

 

эллипса называется отношение расстояния между его

фокусами к длине большой оси, т. е.

2(J

— £

е.

 

Эксцентриситет обычно обозначают

—•

Таким

буквой

 

образом,

 

 

 

эллип­

Так как 0 < с < а (§ 23), то эксцентриситет

са есть положительная величина, меньшая единицы.

§ 25]

Э К С Ц Е Н Т Р И С И Т Е Т

Э Л Л И П С А

71

 

Согласно формуле (7)

§ 23

Ь2.

 

 

с =

Yа?у а* -

 

 

 

—

 

 

Поэтому для определения эксцентриситета может слу­

жить следующее равенство:

 

а

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х '

 

Эксцентриситет характеризует форму эллипса, что

легко усмотреть из формулы

 

(2). Например, если умень­

шить величину

Ь,

не изменяя

а,

то разность

 

а2

—

Ь2

уве­

личится,

отчего

увеличится и дробь

 

правой

 

части

фор­

мулы, а

следовательно,

и

е

 

станет

больше. Эксцентри­

ситет также возрастет, если увеличить

а,

оставив

b

постояннойа

величиной.'

 

 

 

 

 

 

 

 

b

<

 

а.

При

Ъ

>

>

Мы рассмотрели эллипс, у которого

 

 

 

 

уравнение

(6)

§ 23

представляет

эллипс, фокусы

которого

лежат

на

оси

Оу;

в этом

случае его

большая

ось

равна

2

Ь,

а

 

малая

2а. В

соответствии

с этим

фор­

мула (7)

§ 23 и формулы

(1)

и (2) настоящегоУ Ь2 а2

парагра­

фа

примута2такой

 

 

вид:

 

 

ь '

 

 

 

________ь

 

 

 

 

 

 

 

 

=

Ь2

—

с2

 

 

 

 

 

 

 

—

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е — -

 

+

 

 

== 400. Определить

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\Ьх2

у2

 

П р и м е р . Дан эллипс

 

 

 

25

 

длину его осей, координаты вершин и фокусов, а также величину эксцентриситета.

Р е ш е н и е .

Разделив

обе части

данного урав­

нения на

400,

получим:

 

_£І

,

У_

I.

 

 

 

 

16

 

 

 

 

25

- г

62 =

16

 

 

Отсюда 25,

 

 

 

г2 —

 

6 = 4 .

 

 

 

Итак,

:5,

эллипса Л И = 2а = 10, а малая—1

большая ось

В іВ =

2Ь =

8

(рис. 39). Координаты вершин его будут:

 

 

 

 

Л (5;

0),

Л, (—5; 0),

 

 

 

 

В (

4),

Д ,(0; - 4 ) .

 

 

 

 

 

0;

Смотрите также файлы