Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 371

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

72

 

К Р И В Ы Е

ВТО РО ГО П О РЯД КА

[ГЛ. IV

 

координаты фокусов, нужно узнать

вели­

Чтобы найти

чину

O F = с.

Из равенства

(7) § 23 имеем:

 

 

 

 

с

- 1/а1-

Ь2 =

1 /2 5 -1 6 = 3.

 

Следовательно, координаты фокусов будут:

F(3; 0) и Fi (—3; 0).

Наконец, по формуле (1) настоящего параграфа на­ ходим:

§ 26. Связь эллипса с окружностью. Положим, что полуоси эллипса равны между собой, т, е. а — Ь, тогда уравнение эллипса примет вид

+или x2+ t / = a2.

Полученное уравнение, как известно, определяет окружность радиуса, равного а.

Посмотрим, чему будет равен эксцентриситет в этом случае; полагая в формуле (2) § 25

а — Ь,

получим:

Отсюда заключаем, что окружность есть частный слу­ чай эллипса, у которого полуоси равны между собой, а следовательно, эксцентриситет равен нулю.

Упражнения

1. Написать простейший вид уравнения эллипса, если даны его полуоси а = 5 и 6 = 4.

2.

Дан эллипс

 

X “

іР

“ == * ■ Определить

его

оси и расстоя­

 

-j-gg—t—[4 4

ние между фокусами.

 

осей

и координаты фокусов

эллипса 49х2+

3.

Определить длину

Ч- 24t/2 = 1176.

 

8

 

0

 

8

0

 

 

4.

Составить

уравнение эллипса, если две его вершины нахо­

дятся

в точках

Л(

 

; )

и Лі(— ;

), а фокусы

имеют координаты

(±5; 0).

§ 261

 

 

 

 

 

 

СВЯЗЬ

Э Л Л И П С А

С О КРУЖ Н О СТЬЮ

 

 

 

 

 

73

 

 

5.6

Написать уравнение эллипса, координаты фокусов которого

(гЬЗ; 0),6

а длина большой оси равна

12.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Написать уравнение эллипса, у которого длина малой оси

равна8

, а фокусы имеют координаты

(0;

± 4 ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

Найти эксцентриситет эллипса

4х2

+

у2

=

180.

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

если

даны

2с

 

 

. Написать

простейший

вид

уравнения

эллипса,

 

 

 

=

 

и

 

 

, .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. Написать уравнение эллипса, у которого фокусы имеют ко-

ординаты

(0;

± 5 ),

а эксцентриситет равен

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.

 

Написать

простейший1 0

вид уравнения эллипса, если сумма

полуосей

его

равна

 

,

а

расстояние

между фокусами равно

4 / 5 7

В

(3;

11.

 

Проверить,1 2

лежат

ли

на

эллипсе-^- +

 

“

1точки /4(0; 2),

 

1 0),2

С (

;

).

 

 

 

+

— ■

=

1

и

точка

на

нем с

абсциссой, рав­

 

 

 

. Дан

эллипс

 

 

 

ной 3. Найти ее ординату.

вид

уравнения

эллипса,

 

проходящего

 

 

 

13.

 

Написать

простейший

 

через точку /4(3;

У 2)

и

имеющего большую

ось 2а =

 

2 /15 .

 

Ох

 

 

 

14. Эллипс с центром в начале координат и фокусами на оси

проходит через двеВточки

А и

В;

написать его уравнение, если даны:

 

 

1)

А(Ѵб-

/б ),

 

 

(О; —2/іГ);

2) /4(2/5;

2 /з),

В

(—5, —3).

 

15.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти длину

хорды,

проходящей

через

фокус

 

и перпенди-

 

 

 

 

 

 

К

 

 

 

 

ОСИ

 

 

 

X

+

м2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кулярной

большой

эллипса

2

 

I.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-т-г

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V i e . Через центр

 

эллипса —

+

64

 

Іо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—- «= 1проведена прямая, направ­

ленная по биссектрисе координатного угла. Найти длину отрезка

этой прямой, заключенного внутри эллипса.

JC2

17. В эллипс — + — = 1 вписан правильный треугольник,

одна из вершин которого совпадает с правой вершиной эллипса.

Найти координаты двух других вершин треугольника.

 

 

 

 

 

 

18.

Найти точки пересечения эллипса 4х

2

+

9у3 —

36 с прямыми:

 

 

у

 

I)

2х

+

Зу

- б =

0, 2)

2х

+

3

у

=

 

12,

3)

 

=

х2

—

6

.

 

100.

 

 

 

 

 

 

 

 

19.

Прямая

2х +

у — 14 =

0

пересекает эллипс 4х

+ у1 =

Найти

длину отрезка этой прямой, заключенного внутри эллипса.

20.2 1

Определить траекторию точки

М,

 

которая

при своем движе­

нии остается втрое ближе от

точки /4(1;

0),

 

чем

от

прямой

х

= 9.

 

 

. Определить эксцентриситет эллипса, если отрезок между фо­ кусами виден из конца малой оси под прямым углом.

2 2 . Отрезок прямой линии движется так, что концы его сколь­ зят по осям координат. Показать, что при указанном движении любая точка этого отрезка, кроме середины и концов его, описывает эллипс.

74

К Р И В Ы Е ВТО РО ГО П О Р Я Д К А

[ГЛ. IV

разности§ 27.

Гиперболарасстоянийи

Гиперболой

назы­

отее уравнение.каждой из которых до

двух

вается геометрическое место точек, абсолютная величина

динных точек, называемых фокусами, есть величина по­ стоянная (меньшая расстояния между фокусами и не равная нулю).

Пусть, например, точки М ь Л12, Л13, М 4 лежат на ги­ перболе, фокусы которой находятся в точках F и Fi

X

Рис. 40.

Рис. 41.

'(рис. 40). Тогда, согласно данному выше определению, можно написать:

I F XM, - F M XI = I F,M2- FAU | = | F,M3 - FM31=

= I F XM4— FM41= const. 4(1)

Пользуясь определением гиперболы, выведем ее урав­ нение.

Примем за ось Ох прямую, проходящую через фоку­ сы Fi и F (рис. 41), а за ось Оу — прямую, перпендику­ лярную к отрезку F XF и делящую его пополам.

Положим F3F = 2с, тогда координаты фокусов будут

F(c-, 0) и

F, (— с; 0).

Возьмем на гиперболе

произвольную точку М(х;у)

и обозначим абсолютную величину разности расстояний

каждой точки от фокусов-

через 2а; тогда

 

или

I Г,М

—

F M

I = 2а,

 

FiM

FM — ±

2а.

(2)

 

 

 

 

§ 27) ГИ П ЕР Б О Л А И Е Е У Р А В Н Е Н И Е 75

По формуле расстояния между двумя точками найдем:

FXM =

Y(x+ c?+ (y-Oy- =

Ѵ ( х + с ) 2+ г / 2,

 

FM =

V {x - c f -f•(у - Of =

V(.V - с)2 + у2

 

и, заменив в равенстве

(2) /4M и FM

их выражениями,

напишем:

 

 

~ У (х — с)2 4-

У2 —

± 2а.

(3)

У (я + с)2 4' У2

 

 

Это и есть

уравнение гиперболы

 

относительно

вы­

 

 

 

 

бранной системы координат, так как оно согласно ра­

венствам

(1)

справедливо для любой ее точки.

 

 

 

Упростим

уравнение (3). Для этого перенесем один

из радикалов в правую часть уравнения:

 

 

 

у2.

 

 

 

 

У

(х

4- с)2 4-

у2

=

± 2а 4- У

(х — с)2

4-

 

 

 

 

(хВозведем

обе

части

уравнения

в квадрат:

 

У2-

 

4- с)2 4

- у 2 —

4а2 ±

 

4а У (х — с)2 4- У

4- (* — с)2 4~

 

 

X2

Раскроем

скобки:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4- 2

сх

 

с2

4-

у2

=

 

 

2сх -г с2 у2

х2

 

 

2сх

 

 

У2-

 

4-

 

 

 

 

 

 

—

4~ с2 4"

 

=

4а2 ± 4а У х 2 —

 

 

 

 

 

 

 

 

Приведем подобные члены:

с2

у2

— 2сх,

 

 

или

2сх =

4а2 ± 4а У х 2 — 2сх

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

______________________у_

 

 

 

 

 

 

4сх — 4а2 =

±

4а У х 2 — 2сх 4-

с2

-f- 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сократив на 4, снова возведем в квадрат обе части уравнения; получим:

(сх — а2)2 = а2 (х2 — 2сх 4~ £2 4~ У2)-

Раскроем скобки:

с2х2 — 2а2сх 4- а4= а2х2 — 2а2сх + а2с2 4~ а2У>

или

с2х24- а4 = а2х2 4~ а2с2 4- а2у2.

Перенесем в левую часть

члены,

содержащие х и у,

а остальные члены в правую:

 

а2с2 -

а\

с2х2 -

а2х2 - а2у2 =

 

 

 

 

 

 

 

76

■ К РИ В Ы Е ВТО РО ГО П О РЯ Д К А

[ГЛ. IV

отсюда

(с2— а2) х2— а2у2 — а2 {с2— а2).

(4)

Согласно определению сгиперболы

 

 

2 >

а,

 

отсюда

2

(5)

с >

а.

При условии (5) разность с2— а2 имеет только поло­ жительное значение, а потому ее можно обозначить че­ рез Ь2. Сделав это в равенстве (4), получим:

Ь2х2— а2у2 — а2Ь2.

( 6)

Разделив последнее равенство на а2Ь2, найдем окон­ чательно:

Равенство (7) представляет собой

—— \

(7)

а2 _- Ль2

ь2 == с2 — а2.

(8)

простейший

вид

уравнения гиперболы *).

§ 28. Исследование уравнения гиперболы. Из урав­ нения (6) § 27 имеем:

отсюда

 

а2у2= Ь2X2— а2Ь2,

 

 

' ~

Ь2х

 

 

 

—

а2

а2)

 

9

 

2 —

а2Ь2

Ь2{х2

—

и

 

 

 

а5

 

У х 2— а2 .

0)

 

у — ±

 

Из этого же уравнения

(6)

 

 

 

 

§ 27 находим:

 

9

а2у2

а2Ь2

а2 (у2

+

Ь2)

и

х

 

 

+ь2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т2

 

 

х =

 

 

 

у2

Ь2 .

(2)

*) Как и в случае эллипса, можно показать, что уравнение (7) равносильно уравнению (3), т. е. не имеет посторонних корней.

Смотрите также файлы