Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 368

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 281

ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛЫ

1 1

 

 

Исследуем уравнения (1) и (2) для выяснения гео­ метрической формы гиперболы.

I.Найдем точки пересечения гиперболы с осью Ох.

Для этого в уравнении (2) положим у — 0; получим:

х = ± у ]/ b2 — ± а.

Отсюда следует: гипер­ бола пересекает ось Ох в двух точках, координаты которых (а; 0) и (—а; 0)

(рис. 42, точки А и Л|).

II.Положим в уравне­

нии (1)

тогда

у

[ X I < а;

 

 

 

 

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

получит мнимое зна­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

чение, а это значит, что на

 

 

 

 

 

х

 

 

-\-а

 

х =

гиперболе нет

точек,

 

 

удовлетворяющих

 

условию

(3).

Следовательно, в полосе между прямыми

 

=

 

 

 

 

и

 

— —а

 

KL

и

PQ

на

 

рис.

42)

нет точек гипер-

 

а2(прямыеb

 

 

 

 

 

 

ѵ*2

/»2

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

болы -Ѵ — Т Г =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

III.

2

 

 

 

 

 

\х I >

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

 

 

 

 

 

 

а;

 

каждого

 

х

два

(4)

тогда

из равенства (1)

 

найдем для

 

 

 

дей­

ствительных значения

 

у,

равных по абсолютной вели­

 

 

х,

чине, но с противоположными знаками. А это значит,

что каждому значению

 

удовлетворяющему

неравен­

ству

(4), соответствуют на кривой две точки, симметрич­

ные относительно оси

Ох.

 

 

у2

ц2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

гипербола

у —

 

=

1

 

симметрична

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

относительно оси Ох.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у

 

 

 

 

С

другой стороны, для каждого значения

из равен­

ства (2) найдем два-действительных,у

значения

х,

равных

по абсолютной величине, но противоположных по знаку,

т. е. каждому значению

на

гиперболе

соответствуют

две точки, симметричные относительно оси

Оу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

гипербола

 

X2

I/2

 

 

симметрична

Следовательно,

у —

у - =

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

относительно оси Оу.

78

 

 

 

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

 

 

 

ІГЛ. IV

IV . Если

в уравнении

(1) давать

х

значения, заклю­

ченные

 

между + а и

+ оо, то величина

у

будет

изме­

няться

от 0 до

± ° о ,

т. е. в этом случае

каждому

 

зна­

чению

х

 

 

 

кривой две точки, симметрич­

 

соответствуют на

ные относительно оси

Ох

и отстоящие друг от друга тем

дальше, чему

больше величина абсциссы.

 

 

 

—а

Если же давать

х

значения, заключенные между

и — оо, то

будет изменяться опять от 0 до ± о о .

 

 

X

Из

ьГвсего

 

изложенного

следует,

что гипербола

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—2—

 

=

 

1

 

состоит из двух

симметричных относитель­

 

Оу

 

 

но оси

 

 

ветвей, одна из которых расположена справа

от прямой

 

X

=

- f - ö

,

а другая слева от прямой

х =

—

а.

Каждая из этих ветвей симметрична

относительно

оси

Ох

 

(рис. 43).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вершинами

 

Точки

Л(а;0)

 

 

и Л і(—а; 0) называются

гиперболы

, а точка

 

0(0; 0) — ее

центром.

 

 

 

 

 

Отрезок

А А і =

 

2а

 

действительной

или

 

 

 

 

оси

мнимой*)носит название.

 

 

 

вещественной

 

 

 

 

 

 

 

ВВі

 

= 2

b,

 

 

 

F\M

 

 

гиперболыFM фокальныев отличиерадиусыот оситочки

М=■.

 

 

называемой

 

—

 

 

 

 

 

 

 

 

Отрезки

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 29. Эксцентриситет гиперболы. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фо­

кусами к длине вещественной оси, т. е. — ■— .

*) Отрезок ВВі = 2 b называется мнимой осью, так как на нем нет точек гиперболы.

§ JUI АСИМПТОТЫ ГИПЕРБОЛЫ 79

Эксцентриситет гиперболы,

так же как

и эллипса,

обозначается-буквой

е:

 

 

 

 

(о

 

 

а

 

 

 

 

 

с

 

 

Так как для гиперболы

с

>

а

(§ 27), то

 

 

 

а потому эксцентриситет гиперболы больше единицы. Согласно равенству (8) § 27

с = Y а2+ Ь2 ,

поэтому формулу (I) можно представить в следующем виде:

Ѵ а 2 + b2

а

§ 30. Асимптоты гиперболы. Построим на осях гипер­ болы

__ ____ ,

а2 Ь2

прямоугольник L Q R S с центром в начале координат и

со сторонами, равными 2а и 2Ь\ проведем его диагонали LR и QS, продолжив их по обе стороны (рис. 44).

Прямая LR проходит через начало координат, по­ этому ее уравнение будет:

y = k x .

(1)

80 КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 1ГЛ. IV

Но угловой коэффициентt

L O A = ~ =

~ .

ft = ь

 

 

О А

а

g Z

 

/е найденным его значением,

Заменив в уравнении (1)

получим уравнение прямой

LR

в следующем виде:

„ =

^ х .

(2)

Прямая QS также определяется уравнением (1), но угловой коэффициент ее будет уже другой, а именно:

ft = t g

Z ^ O S = tg (180° -

Z SCM ,) =

 

tg et =

 

 

 

 

 

 

=

tg (180°

et) =

 

 

 

Таким

образом, уравнение прямой

QS

будет:

 

 

(3)

 

 

 

 

 

, у =

— ^ х .

 

 

 

 

 

Обычно уравнения (2)

и (3)

записывают следующим

образом:

 

0 =

±

7 *.

 

 

 

 

 

(4)

Между прямыми, представленными уравнениями (4),

и гиперболой существует связь; выясним ее.

 

 

из

Решим способом подстановки систему, состоящую

уравнений (4) и уравнения гиперболы

%2

гі2

 

 

 

------^ - = 1 .

 

 

Будем иметь:

а2

 

а2Ь2

— ,

 

 

 

 

 

 

ИЛИ

 

X2

 

Ь2х 2

 

 

 

 

 

 

 

 

X2— X2= а2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а Ф

0. Таким

образом, прямые

что невозможно, так каку2

 

(4) и

гипербола

~

-fr — 1

не

имеют

общих

точек,

т. е. прямые (4) не пересекают гиперболу.

 

М

 

N,

Возьмем на прямой

LR

и на гиперболеМточки

и

расположенные в первом координатном угле и имеющие

одну и ту же абсциссу. Ординатой точки

служит

РМ\

обозначим ее через

У в отличие от ординаты точки

N,

 

§ 30] А СИ М П ТО ТЫ ГИ П ЕРБ О Л Ы 81

которую обозначим буквой у. Из уравнения (2) можно

написать:

У =

аЬ X.

 

 

Из уравнения гиперболы имеем:-*2

2

 

Составим разность

У—~

V

-

а .

 

 

 

а к

'

Y — у — — X — — У X2 — а2 — ~ { х — У X2 — а2

)

J а

а г

 

 

 

и посмотрим, как она будет изменяться при возрастании абсциссы. Для этого умножим и разделим правую часть

последнего равенства на выражение* +

У х 2 — а2 ;

полу­

чим:

Ь(х — У х 2—

а2) (х +

 

У х г— а2 )

___

 

 

У - у

а (х +

V X 2 —

а2)

 

 

 

 

 

 

 

___ b X2

X2

— а2)]

 

 

Ь (х2—

X2+

а2)

 

 

[

— (

 

 

 

а

 

V х 2— а2 )

 

 

а {х +

V X 2— а2 )

 

 

 

( . t +

 

 

 

 

 

 

 

 

___

а(х +

Ьа2

 

 

___ _________ ab_________

Итак,

 

 

 

 

V X 2 — а2 )

X + V X 2 — а2

 

Y — У =

 

 

+

ab

 

 

 

(5)

Пусть величина

 

 

X

 

V X2 —

а2

 

* в равенстве

(5) бесконечно возра­

стает, тогда знаменатель дроби также бесконечно растет, а сама дробь уменьшается, приближаясь к нулю. Таким

образом, гипотенуза

NM

и, следовательно, катет

NT

в прямоугольном треугольнике

 

MNT

стремится к нулю.

ИзLR каксказанногоугодно близко,делаем

 

 

 

при

неограниченном воз­

нигдевывод:ее не пересекая.

 

растании абсциссы

X

гипербола приближается к прямой

Так как прямые

LR

и

Q S,

а также точки гиперболы

симметричны относительно оси

Ох,

 

то можно сказать,

 

 

что и часть гиперболы, расположенная в четвертом ко­ ординатном угле, как угодно близко подходит к прямой QS, нигде ее не пересекая.

Вывод, сделанный для правой ветви гиперболы, справедлив и для ее левой ветви благодаря той же

Смотрите также файлы