Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 369
Скачиваний: 10
82 К Р И В Ы Е ВТО РО ГО П О РЯ Д К А ІГЛ. IV
симметричности прямых (4) и гиперболы относительно координатных осей.
Прямые
. b у — ± — х
J а
называются асимптотами гиперболы.
Из сказанного в настоящем параграфе можно сде лать заключение, что гипербола расположена всеми свои ми точками внутри вертикальных углов, образуемых асимптотами. Этим обстоятельством можно воспользо ваться для построения гиперболы в случае, если не тре буется точного, а достаточно только приближенного ее изображения; для этого нужно, начертив асимптоты, про: вести плавную кривую линию, постепенно приближая ее
к асимптотам. |
|
|
ѵ2 |
(,2 |
|
|
||
П р и м е р . Дана гипербола |
1. |
Узнать, ле |
||||||
-j^-— -^- = |
||||||||
жит ли точка Л (2; 1,5) |
на |
какой-либо |
ее |
асимптоте. |
||||
Р е ш е н и е . Из данного уравнения имеем: |
|
|||||||
а = |
ѴТб <= |
4, |
|
|
|
|||
Ь = |
У |
|
|
|
|
|
||
|
|
9" = 3. |
|
|
|
|||
Следовательно, уравнения асимптот будут:
Так как точка А лежит согласно условию в первом координатном угле, то она может принадлежать только асимптоте, определяемой уравнением
3
У =
Подставив в него вместо х н у координаты точки А получим тождество
2 = 1,5.
Значит, точка А. лежит на указанной асимптоте гипер болы.
§ 32] |
|
|
|
РА В Н О С ТО РО Н Н Я Я ГИ П ЕР Б О Л А |
|
85 |
|||||||||
§ 31. Сопряженные гиперболы. Если в уравнении ги |
|||||||||||||||
перболы |
|
|
|
|
|
а2 |
У |
|
1 |
|
|
|
( I ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
Ь |
|
|
|
|
|
|||
поменять |
|
местами |
х |
и |
у, |
2 |
|
|
а |
и 6, |
то |
получим |
|||
|
|
|
а также |
|
|||||||||||
уравнение |
|
_ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
У* |
хг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Ъ |
а2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ИЛИ |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J L |
|
— 1. |
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|||
Уравнение |
ь2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(2) |
|
определяетОу; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
гиперболу, |
вершины |
кото |
|
|
|
|
|
|
|||||||
рой лежат |
на оси |
|
следо |
|
|
|
Рис. |
45. |
|
||||||
вательно, |
|
|
|
|
ВВ\ ~ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
ее вещественной |
|
|
|
|
|
|
||||||||
осью |
является |
|
|
2а. |
|
26, |
|
|
|
|
|
|
|||
а мнимой |
ААі = |
|
Гипербола, |
определяемаясопряженными.уравне |
|||||||||||
нием |
(2), |
изображена на |
рис. |
45 |
пунктирной |
линией. |
|||||||||
Гиперболы (1) и (2) называются |
|
|
|
Со |
|||||||||||
пряженные гиперболы имеют общие асимптоты. |
|
||||||||||||||
§ 32. Равносторонняя гипербола. Если в уравнении |
|||||||||||||||
гиперболы |
|
|
|
|
а- |
|
Ь2 ~ |
1 |
|
|
|
|
|||
положим |
а — Ь, |
|
то это уравнение примет вид |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
я2 |
|
У2 |
_ _ |
1 |
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
я2 — |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
*2 — |
у2 ■■ |
|
г- |
|
|
|
( ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||
Уравнение (1) определяет гиперболу, у которой полу оси равны между собой. Такая гипербола называется
равносторонней.
, у — ± х , |
|
Уравнения асимптот в этом случае будут |
|
так как отношение |
(2) |
Іа— 1. |
|
84 |
К Р И В Ы Е |
ВТО РО ГО П О РЯ Д К А |
|
|
[ГЛ. IV |
|||
Как |
видно из уравнения (2), угловые коэффициенты |
|||||||
асимптот равны - f l |
и — 1. Если обозначить углы, обра- |
|||||||
зуемые |
асимптотами |
с |
положительным |
направлением |
||||
|
УІ |
|
оси |
Ох, |
соответственно |
|||
|
|
через |
а и аі |
(рис. 46), то |
||||
|
|
|
||||||
|
|
|
tg а = |
1 |
и |
tg а, = |
— 1, |
|
|
|
|
откуда |
и |
(Х| = |
135°. |
||
|
|
|
о |
= |
45° |
|||
|
|
|
Следовательно, угол ме |
|||||
|
|
|
жду |
асимптотами будет: |
||||
|
|
|
а. |
■ а = 135° - 4 5 ° = |
90°. |
|||
|
|
|
ней |
Отсюда |
|
заключаем: |
||
|
Рис. 46. |
|
асимптоты |
равносторон |
||||
|
|
|
гиперболы взаимно |
|||||
|
|
перпендикулярны. |
|
|||||
§ 33. Уравнение равносторонней гиперболы, отнесен ной к асимптотам. Так как асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны, то их можно при нять за оси прямоугольной системы координат и рассма тривать гиперболу по отноше нию к этим новым осям. Выве дем уравнение равносторонней гиперболы для этого случая.
Пусть дана равносторонняя гипербола. Тогда ее уравнение по отношению к координат ным осям Ох и Оу (рис. 47) выразится, как было показано в § 32, в виде
|
|
х2 — у2 = а2. |
(1) |
|
|
|
Примем теперь за оси ко |
|
|
||
ординат |
асимптоты гипербо |
|
XOY, |
||
лы: |
О Х |
— за ось абсцисс, |
0 Y |
— за ось |
ординат. Мы |
|
|
||||
получим новую систему прямоугольных координат которую можно рассматривать как образованную пово ротом старых осей Ох и Оу вокруг начала координат по движению часовой стрелки на угол а = —45°.
§ 33] |
У Р А В Н Е Н И Е РА В Н О С ТО Р О Н Н ЕЙ ГИ П ЕРБ О Л Ы |
85 |
|
Чтобы получить уравнение равносторонней гипербо лы в новой системе XOY, используем формулы (4) § 8. Положив в них а = —45°, будем иметь:
X |
— |
X |
cos (—45°) + |
у |
sin (—45°) = |
i/ö" |
|
|
|
|||
|
|
|
(х — у), |
|
||||||||
|
|
|
— xcos45° — |
у sin 45° — — |
(2) |
|||||||
У = |
— л: sin (—45°) + |
у |
cos (—45°) = |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
~ х |
sin 45° + |
у |
cos 45° = |
|
+ |
у)- |
(3) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Перемножим равенства (2) и (3) и, приняв во внима ние равенство (1), получим:
|
|
Х У = |
| ( * 2- г |
0)= у а 2. |
|
|
(4) |
|
|
Положив для краткости |
|
|
|
|
|
||
перепишем равенство |
(4) в следующем виде: |
|
|
|
||||
где |
|
|
X Y |
= |
т, |
|
|
(5) |
т |
|
|
|
|
|
|||
|
— постоянная величина. |
|
|
|
если |
|||
|
Таково уравнение |
равносторонней гиперболы, |
||||||
за оси координат принять ее асимптоты. |
X |
|
|
|||||
|
Как видно из уравнения |
(5), переменные |
и |
У — |
||||
|
|
|||||||
величины обратно пропорциональные, а потому можно сказать, что равносторонняя гипербола ху = m представ ляет собой график обратно пропорциональной зависимо сти между переменными величинами.
Упражнения
1. Написать простейшее уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси Ох, если даны:
21) а = |
6 |
, |
6 |
= 2; 2) а = 4, с = 5; 3) |
6 |
= 5, с = 13. |
|
X |
у |
|
|
^ |
® |
|
. Дана гипербола-д-----Определить ее оси и рас |
|
||
стояние между фокусами. |
|
------1^-=!. |
|
3. |
Найти координаты вершин и фокусов гиперболы |
||
4. |
6 Написать уравнение гиперболы, у которой: |
|
|
1) |
фокусы имеют координаты (±4; 0) и вещественная ось |
||
равна |
; |
|
|
86 |
2) |
8 фокусы |
|
|
|
К Р И В Ы Е |
ВТО РО ГО П О РЯД КА |
[ГЛ. IV |
||||||
имеют координаты |
(0; |
±5) и |
вещественная ось |
|||||||||||
равна . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
5. Определить координаты фокусов, длину осей и эксцентри |
|||||||||||||
ситет гиперболы: |
|
|
600; |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
61) |
24л:2 — 25м2 = |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2) |
16і/2 — 9 -2 = |
|
144. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
а |
простейший вид уравнения гиперболы, фокусы ко |
|||||||||
|
. Написать |
|||||||||||||
торой лежат на оси |
|
Ох, |
если даны |
|
|
|
|
|||||||
|
I) |
с = 7, |
е |
= |
7 |
J-Уб"; 2) |
6 |
= 9, |
|
е = |
1,25. |
|
||
|
|
-J |
|
|
гиперболы с фоку- |
|||||||||
|
7. |
Написать |
простейший вид |
уравнения |
||||||||||
сами, лежащими |
на |
|
их, |
если |
|
а |
— |
15. |
||||||
|
— = |
|||||||||||||
оси „ |
|
|
3 и с = |
|||||||||||
|
8 |
8 |
.6 |
Лежат |
ли |
на гиперболе |
|
_ _ |
JlL |
1 |
Следующие |
точки: |
|||||||||
|
|
|
|
------ |
36 |
|
|||||||||||||||
А |
( |
; |
|
Ѵ Т ), |
В |
(б;А3 І^Г) и |
С (З; |
|
|
16 |
|
|
|
а |
|
||||||
|
|
|
|
2 / б -)? |
|
|
|
|
|
||||||||||||
щей |
9. Написать простейший вид уравнения |
гиперболы, проходя |
|||||||||||||||||||
|
через точку |
|
(9; —4), |
если |
ее вещественная полуось |
|
= 3. |
||||||||||||||
|
|
10. Две точки |
Л(4; |
У 5 |
) и |
В |
{—4 |
|
5) |
|
принадлежат |
гипер |
|||||||||
боле, фокусы которой лежат на оси |
Ох. |
|
Написать простейшее урав |
||||||||||||||||||
нение этой гиперболы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
11. Написать уравнение равносторонней гиперболы, проходящей |
|||||||||||||||||||
через |
|
точку: |
|
|
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1) |
А |
(10; — |
8 |
), |
2) |
|
1 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
12.Написать уравнения асимптот, а также найти величину экс центриситета гиперболы X2— 2 у2= 6 .
13.Написать уравнения асимптот гиперболы, у которой веще
ственная ось равна |
8 |
, а расстояние |
между фокусами, лежащими на |
||||||||||||||||||||||||||
оси |
Ох, |
равно |
1 0 |
. |
|
|
|
|
|
Ох, |
|
1 |
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Написать уравнения гиперболы, если расстояние между фо |
||||||||||||||||||||||||||||
кусами, расположенными на оси |
|
|
равно |
|
|
|
^ |
|
, |
|
а уравнения |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
у |
|
|
3 |
X. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
асимптот |
|
= |
± — |
|
|
гиперболы, асимптотами |
которой |
слу- |
|||||||||||||||||||||
|
15. |
Написать уравнение |
|||||||||||||||||||||||||||
жат |
|
0прямые |
у = ± - ^ х |
и |
фокусы которой |
|
имеют |
|
координаты |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
(=4=2; |
).Ох, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В( |
|
|
|||||
|
16. Точка |
Л(10; 4,5) лежит на гиперболе, имеющей вершины |
|||||||||||||||||||||||||||
на оси |
|
|
|
а |
одна из ее асимптот проходит |
|
через |
точку |
|
|
4; |
3). |
|||||||||||||||||
Написать простейшее уравнение этой гиперболы. |
|
|
у2 = |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
17. Найти |
точку |
пересечения |
гиперболы |
|
|
: 2 |
|
|
18 |
|
с |
|
пря |
|||||||||||||||
|
|
л — 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
мой |
X =■ |
6 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
18. |
Найти |
точку |
|
пересечения |
|
гиперболы |
х |
2 |
|
|
|
= |
|
4 с |
|
прямой2 |
||||||||||||
Зх — |
|
|
|
— 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
4у = |
|
2 . |
|
острый |
угол |
между |
асимптотами |
|
гиперболы |
|
4х —■ |
|||||||||||||||||
|
19.2 |
Найти0 0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
5у |
= |
|
, . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
20. Найти эксцентриситет гиперболы, у которой угол между асимптотами равен 60°.