Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 366

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 3-1]

П А РА Б О Л А И Е Е П Р О С Т Е Й Ш Е Е У Р А В Н Е Н И Е

87

 

21.Определить траекторию точки М(х\ у), которая при своем

движении остается вдвое ближе к прямой х = 1 , чем к точке

А(4; 0).

§34. Парабола и ее простейшее уравнение. Парабо­ лой называется геометрическое место точек, каждая из которых одинаково удалена от точки, называемой фо­ кусом, и от прямой, называемой директрисой (при усло­ вии, что фокус не лежит на директрисе).

AB

Пусть точки М I,

 

М2,

 

М3, М 4

лежат на

параболе

 

F

 

 

(рис. 48). Если точка

 

изображает фокус,

а прямая

 

— директрису, то

согласно данному выше

определе­

нию можем написать:

 

 

 

 

 

 

 

FMl = M lNi,

FM2

M2N2,

 

 

FM3 =

M3N3,

FM4=

MANa.

 

 

 

 

 

 

=

 

 

Выведем уравнение параболы, пользуясь ее .определе­ нием. Для этого выберем систему координат, приняв за ось Ох прямую, проведенную через точку F (фокус) перпендикулярно к директрисе A B, а за ось Оу — пря­ мую, проходящую через середину отрезка KF перпенди­ кулярно к последнему (рис. 49),

Обозначим

 

 

 

K F — р]

 

oj.

 

 

.тогда координаты фокуса

F

будут

Возьмем

на

параболе

 

 

 

 

М{х\у)\

расстояния

ее

произвольную FMточкуMN.

 

от фокуса

F

и от директрисы

AB

будут

выражаться

со­

ответственно отрезками

 

и

 

Согласно определению

88

К РИ В Ы Е ВТО РО ГО П О РЯ Д К А

[ГЛ. IV

 

 

параболы, можем написать:

FM — MN.

(1)

 

Применяя формулу расстояния между двумя точками и приняв во внимание, что точка N имеет координаты

[ — ■ J’ у )' на1'Дем:

F M = Y

( ^ - т )2+

^ - ° )2= Ѵ

(x - i J + y2’

MN = y

(* + | ) 2 + Q / - y ) 2 = * + - £ •

 

 

FM

 

Заменив

 

и

MN

в

равенстве (I)

их

выражениями,

получим:

 

Y

(х ~

І) + У г‘= х + Т -

(2)

 

 

Это и есть уравнение параболы относительно вы­ бранной системы координат, так как оно справедливо для любой ее точки.

Упростим уравнение (2). Для этого возведем обе

.части его в квадрат:

 

 

 

 

 

 

 

Раскроем скобки:

+ у2 =

х2+ рх

+

- •

 

X2 — рх

- f

 

 

 

Приведя подобные

 

получим

простейшее уравне­

члены,

 

 

 

(3)

ние параболы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Величина

р

 

 

У2=

2рх*).

 

 

параболы

 

 

параметром

 

называется

 

 

 

 

 

..

§ 35. Исследование уравнения параболы. Из уравне­

ния (3) § 34 найдем: у = ±

V

р х .

 

 

 

(1)

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

Исследуем уравнение (1) для выяснения геометри­ ческой формы кривой при р > 0.

*) Можно показать, что уравнение (3) равносильно уравне­ нию (2 ).

§ 351

И С С Л Е Д О В А Н И Е

У Р А В Н Е Н И Я

ПАРАБО Л Ы

89

 

I. Положим

 

 

х = 0

;

 

 

 

 

тогда

у =

±

\f2p

 

 

0.

 

 

 

 

 

парабола

• 0 =

проходит

через

 

Отсюда

следует:X

 

 

 

у

 

у

2 =

2рх

начало координат.

 

0,

то

 

— мнимое

число. А

это значит,

что

II.

Если <

 

парабола у2 — 2рх не имеет точек с отрицательными

 

Рис. 50.

 

 

 

Рис. 51.

 

 

 

абсциссами

и,

следовательно,

расположена

справа от

оси Оу.

X >

0, то у имеет два действительных

зна­

III. Если

чения,

Xравных по абсолютной величине, но с разными

знаками. Это значит,

что каждому положительномуОх.

зна­

чению

на параболепараболасоответствуюту2 = 2 рхдвесимметричнаточки, располо­от­

женные симметрично относительно оси

 

 

 

Следовательно,

 

 

возрастает, тогда и \у\

носительно оси Ох.

 

 

IV . Пусть X неограниченноОу

будет неограничено Ох.расти, т. е. точки параболы

с пере­

мещением вправо от

оси

 

неограниченно

удаляются

вверх и вниз от оси

позволяет представить

параболу,

Вышеизложенное

как показанофокальнымна рис.радиусом50

точки М

параболы,

отрезок

 

О

 

 

вершиной

параболы,

FMТочкаОх

называетсяосью симметрии.

 

 

а

пря­

мая —

является ее

 

 

 

 

 

90

К РИ В Ы Е ВТО РО ГО П О РЯ Д К А

[ГЛ. IV

Если директрису параболы поместить справа от на­ чала координат, то парабола расположится, как пока­ зано на рис. 51. При этом абсциссы точек параболы бу­ дут удовлетворять условию х ^ 0, а потому ее уравне­ ние примет вид:

і/ = — 2рх.

Парабола может быть симметрична и относительно оси Оу, в этом случае фокус ее будет лежать на оси ординат, а директрисой будет прямая, параллельная оси Ох. Как видно, при этом условии координатные оси

Рис. 53.

поменяются ролями, и уравнение параболы примет вид

X2= 2ру,

(2)

парабола направлена вверх (рис. 52), и

X 2 = — 2ру,

(3)

парабола направлена вниз (рис. 53). П р и м е р 1. Дана парабола

у2 — 12*.

Найти кородинаты ее фокуса и написать уравнение директрисы.

Р е ш е н и е . Данная парабола симметрична относи­ тельно оси Ох и расположена справа от оси Оу. Из уравнения находим:

2р = 12;

откуда

р = 6.

§ 35]

И С С Л Е Д О В А Н И Е

У Р А В Н Е Н И Я П АРАБО Л Ы

 

 

91

Расстояние фокуса от начала

координат равно

 

поэтому абсцисса

фокуса

будет

■——

= 3. Итак, фокус

находится в точке

F (

3;0).

 

 

параллельная

оси

Оу

Директрисой служит прямая,

 

и отстоящая от последней на расстоянии

'тг~3-

Сле-

довательно,

уравнение

директрисы параболы

 

будет

X — — 3.

П р и м е р 2. Фокус параболы с вершиной в начале координат лежит в точке /(0; —4). Написать уравнениеэтой параболы.

Р е ш е н и е . Согласно условию данная парабола симметрична относительно оси Оу и направлена вниз, поэтому искомое уравнение найдется из (3). Так как

то

Р— 8

иуравнение параболы будет:

*2 = - 16у.

Упражнения

1. Написать уравнения четырех парабол с вершиной в начале координат, зная,что координаты их фокусов равны:

 

2

1) F (4; 0), 2) F (—2; 0),

3)

F (0; 3),

4 ) F ( 0 ;- 5 ) .

 

 

.\)Определить координаты фокусов следующих парабол:у.

.

 

у2 —

10*,

2) у2 =

— 12х,

3)

х2 = 8у,

4 ) х » = — 10

3. Найти

 

фокуса

 

2у

 

координаты

параболы

 

2— 5х = 0.

4. Написать уравнение директрисы и найти координаты фокуса каждой из парабол:

1) у2 = 4х, 2) х2— — &у.

5. Написать уравнения парабол с вершиной в начале координат, для которых директрисами служат прямые:

1) X = —2, 2) * = 3, 3) у = 2,5, 4) у = —4.

Ѳ. Директрисой параболы с вершиной в начале координат слу­ жит прямая 2х + 5 == 0. Написать уравнение и определить коорди­ наты фокуса этой параболы.

Смотрите также файлы