Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

92

КРИВЫЕ ВТОРОГО

ПОРЯДКА

[ГЛ. IV

7. Проверить, лежит ли

у2 — 2х,

1) точка

А (2;

—2) на

параболе

5*.

у2 =

2) »

В ( - 1 ; У 5 )

»

соту

1 1струи,

если она падает

на расстоянии

24 м от места выхода.

. Сечение рефлектора плоскостью, проходящей через ось реф­

лектора,1 2

есть парабола. Написать ее уравнение, если ширина рефлек­

тора 30

см,

а глубина 20

см

(ось рефлектора совпадает с осью

Ох).

на

. Луч, падающий

параболическое зеркало параллельно

главной оптической оси, отразился в точке

А( 1

; 4)

зеркала. Найти

уравнение

отраженного

луча, если осевое

сечение

зеркала — пара­

бола

у2

=

16*.

18. Найти точки

пересечения параболы

у2

=

9*

с

прямыми:

1) ^ =

2* +

1, 2)

2у —

3* — 3 = 0,

3)

// =

3* + 1.

19. Найти длину общей хорды двух парабол:

у2 =

4*

и х

2

—

4у.

20. Через

фокус

параболы

у2 —

—4*

проведена

прямая

под

углом 135° к положительному направлению оси

Ох.

Написать

урав­

§ 36]

УРАВНЕНИЕ ПАРАБОЛЫ

СО

СМЕЩЕННОЙ

ВЕРШИНОЙ

93

болыОх

параллельнаОу,

оси Оу, причем параболаОі(а\Ь)направлена.

вверх (рис. 54). Сделаем

параллельныйXOi Y,

перенос

осей

и

поместив

начало

О

в точку

Мы

по­

лучим

новую систему

координат

относительно

которой

уравнение

рассматривае­

мой

параболы

будет

иметь вид

[§ 35,

(2)]

Х 2 =

2pY.

(1)

Выразим теперь XновыеY

координаты

Х м

Y

через

прежние

х

и

у,

с этой

целью заменим

и

в уравнении

(1)

их

значениями, взятыми из фор­

мул

(2)

§ 8; получим:

(2)

(х

—

а)2

= 2

р{у — Ь).

направленную

Уравнение

(2)

определяетОу.параболу,

нее уравнение

(х — а)2 = — 2р(у — Ь).

(3)

Уравнения (2)

и (3) можно записать одним

равенством

в следующем виде:

( х - а ) 2= ± 2 р ( у - Ь ) .

(4)

Обозначив

±

(5)

получим:

у — b = А (х — а)2,

или

у — Ах2— 2Ла.ѵ + Аа2+ Ь.

(6)

94

КРИВЫЕ

ВТОРОГО

ПОРЯДКА

[ГЛ. IV

Положив

в уравнении

(6)

В,

-

2Аа

=

С,

(7)

Ла2 +

6 =

(8)

перепишем его в виде

Ах2

Вх

С .

у

=

+

+

(9)

вверх,

если

А

О,

А >

вниз,

если

<

0.

Рассмотрим частные случаи этого уравнения.

Пусть

абсцисса вершины

параболы

а

=

0; тогда и

5 = 0, как это видно

из

равенства

(7). В

этом случае

уравнение

(9) примет увид

А х2

+

С.

Полученное уравнение

=

определяет параболу, у которой

вершина лежит на оси

Оу,

являющейся в то же время

и ее осью симметрии (рис. 55).

(отличная от

Положим, что одна из точек параболы

вершины)и улежит в начале координат;С —

тогда координаты

(0; 0)

хдолжны удовлетворять

уравнению

(9). Заменив

в нем

(9)

нулями, найдем

0. В этом случае урав­

нение

получит вид

§ 36]

У Р А В Н Е Н И Е П А РА Б О Л Ы СО С М Е Щ Е Н Н О Й В ЕР Ш И Н О Й

95

I-

координат (рис. 56). Положив в

равенствах (7) и (8)

а =

0

и

Ь =

0,

получим

В =

0 и

С =

0.

Покажем на примере, что справедливо и обратное

при любых

всякое

уравнение

вида

= 0. определяет

утверждение:

(9)

параболу с осью симметрии, параллельной оси Оу.

Пусть дано уравнение

—

4х

— 3.

(10)

у — 2х2

Преобразуем его следующим образом:

у = 2х2

—

4х

— 3 = (2*2 —

4х

4- 2) — 5 =

= 2 { х

или

=

2

(х2

— 2х +

1) — 5

— I)2 — 5,

у -\-5 =

2(х — I)2;

отсюда

{ х ~ \ ) 2 =

^ { у

+

Ъ),

96

К Р И В Ы Е ВТО РО ГО П О РЯ Д К А

[ГЛ. IV

0\(а\Ь), а ось симметрии параллельна

оси Ох. Урав­

{у — Ь)2= 2 р {х —а),

нение такой параболы имеет вид

(П)

если парабола направлена вправо,

у Ь)-— — 2р(х

а),

( 12)

( —

—

»

»

»

влево.

Объединив эти уравнения, будем иметь:

(13)

(г/ — й)2=

±

2р(х — а).

Преобразованиями, аналогичными тем, которые при­

вели нас к уравнению

(9),

можно

придать другой вид

уравнениям (13), а именно:

(14)

x = A {t f +

B xy +

C x.

Предоставляем

учащимся самостоятельно вывести

уравнения (13) и (14).

в

уравнениях

(4) и

(х

у)

Заметим,

что

как

(9),

так и

в уравненияхху.

(13) и (14) одна из координат

или

входит только в первой степени и отсутствует произве­

дение

1. Дано уравнение параболы

П р и м е р

я2 — 6* +

8 у —

15 =

0.

Р е ш е н и е .

Данное уравнение можно переписать

так:

У = ~ Т Х + т * + ~г-