Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 364

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

5 361

У Р А В Н Е Н И Е П АРАБО Л Ы СО С М ЕЩ ЕН Н О Й В ЕРШ И Н О Й

97

 

Сравнивая полученное уравнение с уравнением (3), на­ ходим для данной параболы:

координаты вершины

(3; 3),

параметр р = у = 4,

ось симметрии параллельна оси Оу, парабола направлена вниз.

Абсцисса фокуса равна 3 (фокус и вершина пара­ болы лежат на оси симметрии, параллельной оси Оу, поэтому их абсциссы равны между собой); ордината

же фокуса равна 3 —у = 3 — 2 = 1 ^фокус данной па­ раболы лежит ниже ее вершины на расстоянии, равном у (§ 34)J. Таким образом, координаты фокуса /ДЗ; 1).

Уравнение оси симметрии

х

=

3, или

 

х

— 3 =

0. Дирек­

триса параллельна

оси

Ох

 

и расположена

выше верши­

ны на

расстоянии,

равном

у

(§ 34). Следовательно,

уравнение директрисы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у =

3 +

у =

3 +

2 =

 

5,

или

у —

5 =

0.

у ко­

П р и Fм{е р

2.

Написать

 

уравнение

 

параболы,

торой

вершина

находится

 

 

в

точке

 

О і(3;2)

и

фокус

в точке

 

5; 2).

 

 

 

 

 

 

 

Ох

 

 

 

параболы ле­

Р е ш е н и е .

 

Вершина и фокус данной

жат на прямой,

параллельной

оси

 

 

 

(так как ордина­

ты у них одинаковы), парабола направлена вправо (так

как

абсцисса

фокуса больше

абсциссы

вершины), рас­

стояние фокуса от вершины у

= 5 — 3 =

2, отсюда

р — 4.

Заменяя в уравнении

(11)

а, b

и

р

их значениями,

получим:

ІУ

 

8 (х — 3),

 

 

 

 

 

 

или

 

у2- 4— 2)2 =

у

 

х2

 

4х.

 

у - 8 х

+

28 =

0.

 

 

П р и м е р

3. Построить

параболу

 

=

 

—

 

 

Р е ш е н и е .

Используем

обычный

прием,

применяе­

мый

для вычерчивания

графиков

функций,

а именно:

<5 И. Л. Зайиеп

98

К Р И В Ы Е ВТО РО ГО П О РЯД КА

[ГЛ. IV

вычислим значения координат нескольких точек, а за­ тем, построив эти точки, проведем через них плавную линию.

Прежде всего найдем координаты вершины парабо­ лы методом, который был применен в разобранных ра­ нее примерах:

(х2 —

4.Ѵ + 4) —

4— у,

или

(х — 2)2 = у +

 

 

 

 

у 4, откуда 0,(2; —4).

Положив

в данном уравнении

=

0 и решив полу­Ох.

две

ченное уравнение,

будем иметь

точки, в которых

 

 

 

 

 

парабола пересекает ось

 

 

 

 

 

Координаты этих точек —

 

 

 

 

 

(0; 0)

и (4;0). Трех найден­

 

 

 

 

 

ных

точек

достаточно для

Рис. 58.

приближенного изображения параболы. Для более точ­ ного ее вычерчивания нужны дополнительные точки. Составим следующую таблицу значений х и у:

X

- 1

0

1

2

3

4

5

У

5

0

- 3

- 4

- 3

0

5

Построив точки по вычисленным координатам и проведя через них плавную линию, получим искомую параболу (рис. 57).

П р и м е р 4. Построить параболу у - — ~ х 2-\-х — 1.

§ 35]

У Р А В Н Е Н И Е П АРАБО Л Ы СО С М Е Щ Е Н Н О Й В ЕР Ш И Н О Й

99

Р е ш е н и е . Для нахождения координат вершины О! представим данное уравнение в виде

X2— 2х + 2у ~г 2 = О

и преобразуем

его:

или

(х — I)2 = —2 [у + у ) ,

{х2 — 2х + \) +

2у 4 - 1 = 0 ,

откуда

 

 

ось

уОх, так как корни

Данная парабола не пересекает

ее уравнения мнимые. В этом случае полезно найти точ-

ки пересечения

параболы

с прямой

— — 1 (— 1 — сво­

бодный член уравнения параболы).

Решая для этой цели систему уравнений

найдем:

У = —

+

1,

У = — 1.

 

 

J C J = 0 ,

х2 =

2.

Итак, искомые точки пересечения — (0; — 1) и (2; — I) . Присоединим к найденным трем точкам несколько

дополнительных и составим таблицу значений х и у:

X

— 2

- 1

0

1

2

 

- 5

1

 

-0 ,5

 

У

-2 ,5

- 1

- 1

34

-2 ,5 —5

График

искомой

параболыУ п р а ж н е н и япредставлен на

рис. 58.

N(2;21. Найти0

0уравнение0

параболы, проходящей через точки Лі(1; 1),

3) и

( ;

), зная, что ее ось симметрии

параллельна оси Оу.

. Найти

уравнение

параболы, проходящей

через точки Лі (2; 0)»

ТУ(2,5; —2) и і°(4; 4), зная, что ее осц,симметрии параллельна оси

Ох.

3.

Парабола

с вершиной Оі(1; I) проходит через точку

М (

2; 0),

причем

ее ось симметрии параллельна оси

Оу.

Написать уравнение

 

параболы.

4*

100

4. Парабола с

К Р И В Ы Е

ВТО РО ГО

П О РЯ Д К А

 

 

 

 

[ГЛ. IV

 

6

вершиной

0| (0;

 

—7)

проходит

через точку

М (

; — 1), причем ее ось симметрии параллельна оси

Ох.

Написать

уравнение параболы.

 

 

 

 

Оу

 

 

 

Ох

 

8

 

 

ней

5. Парабола симметрична относительно оси

и

отсекает на

6отрезок, равный

—4,

а

на

оси

 

 

хорду,

равную

 

. Написать

уравнение параболы.

 

2 вершины,2 1 0

величину2 1

 

параметра и направ­

 

 

. Найти координаты1

0

ление парабол:

) у

+

у +

* +

 

=

 

,

 

 

 

 

 

2)X2 — бдг — 4/у — 1 1 = 0 .

7.Найти координаты вершины и фокуса, а также уравнения оси симметрии и директрисы парабол:

1) л

+ 2л —

8

у + 17 = 0,

; 2

 

 

 

 

 

 

2) л-2

2- 8л- +

8у

+ 8 = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

Зу

+

бу — 5л +

 

13 =

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

у2

-

4л +

8

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

л

2

8 =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О

 

 

 

8

 

 

 

5)

 

 

+

4 у -

=

0.

 

координаты

вершины

і

 

 

 

. Написать уравнения

парабол, зная

 

 

 

и фокуса

F:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

0 ,(3 ; 0),

 

F ( 3 ;- 3 ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О

|

 

Написать

уравнения парабол,

зная координаты вершины

 

и уравнение директрисы:

 

 

 

 

 

X

— 4 = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ) 0 , ( -3 ;2 ) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.

 

2 ) 0 , (4; 1)

 

у +

2 =

0.

координаты фокуса

F

 

Написать

уравнение

парабол,

 

зная

 

 

н уравнение директрисы:

 

 

 

 

у

- 5

 

=

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) Д(4; - 2 ) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.

 

2)

F

( -1 ;

2),

 

л -

 

 

3 =

 

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Построить параболы:

 

5) у — X2

+

4х

+

4,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

< J=

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

3) у = X 2 — X 2— 2,

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

x2 + 2

л + - |

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

87) у = З2 л - - | л 2 - 2 ,

 

 

 

 

 

 

4) у = — д- л + 2л

 

 

) у = л + 4.

 

 

 

 

 

 

 

§ 37. Конические сечения. Окружность, эллипс, ги­ пербола и парабола определяются, как мы установили

Смотрите также файлы