Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 365

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 37]

К О М И Ч ЕС К И Е С ЕЧ ЕН И Я

101

 

 

в предыдущих параграфах, уравнениями второй степени; поэтому их называют кривыми второго порядка. Они были известны еще древним грекам, которые изучали эти кривые, рассматривая их как результат сечения пря­ мого кругового конуса плоскостью в следующих четырех

случаях.

окружность

 

I.

Секущая плоскость перпендикулярна к оси ко­

нуса;

в сечении получается

 

(рис. 59).

Рис. 59.

Рис. 60.

Рис.

6 Г.

Рис. 62.

II. Секущая плоскость образуетS;

с осью конуса угол,эл­

липсне равный 90°, и пересекает все его образующие по

одну сторону

от вершины

в сечении

получается

(рис. 60).

III. Секущая плоскость параллельна какой-либо об­ разующей конуса; при этом получается кривая, назы­ ваемая параболой (рис. 61).

IV. Секущая плоскость пересекает обе полости ко­ нуса; при этом получаются две ветви, образующие ги­ перболу (рис. 62).

Окружность, эллипс, гипербола и парабола назы­ ваются коническими сечениями.

Конические сечения изучались в древности исклю­ чительно геометрическим путем, что представляло боль­ шие трудности, и только со времени Декарта, давшего метод координат, изучение их значительно упростилось.

102

 

К Р И В Ы Е

ВТО РО ГО П О РЯД КА

 

[ГЛ. IV

 

 

 

 

 

 

 

С м е ш а н н ы е

з а д а ч и

 

 

1. В

окружности

х2

+

у

2—

6

х +

6

у — 50 = 0

проведена

хорда,

на

 

 

 

 

параллельная оси

О у ,

 

расстоянии

от нее, равном 5. Найти

длину

хорды.

 

 

2

 

 

Ay1

 

 

 

 

 

 

 

2. На

гиперболе

—

=

 

180

взята точка

с абсциссой, рав­

5ѵ

 

 

 

ной 10. Определить расстояние ее от фокусов гиперболы.

3.Расстояния одного из фокусов эллипса до концов его боль­ шой оси равны 7 и 1. Написать простейший вид уравнения эллипса.

4.Составить уравнение окружности, концы одного из диамет­ ров которой находятся в точках Л(—2 ; 1 ) и 5(0; 3).

 

5. Определить эксцентриситет равносторонней гиперболы.

 

8

 

 

 

6

. Написать

уравнениях2диаметров

окружности

х2

+

у2

++

х +

+

Ау

— 16 =

0, перпендикулярных к осям координат.

 

 

 

 

х2

 

у2

 

 

7. Даны

окружности

+

у2

-+- 4* —

2у —

15 =

 

0

 

и

 

 

—

— бдг8

у

— 7 =

 

0. Как

велик

угол,

образуемый

линией

центров

+ 2

 

этих

окружностей2 6

с положительным

направлением

оси

Ох?

 

 

 

 

 

 

фокусов

суть

. Разность

полуосей

эллипса

равна

 

2, координаты

 

( ±

]^

; О). Найти

уравнение эллипса.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. Фокусы эллипса находятся на оси

Ох

и делят

 

его

большие

полуоси пополам. Написать уравнение этого* 2

эллипса, если его малая

ось равна

4 / з .

 

вписана

окружность

 

+ р2 = 1 6 ,

 

пересекающая

 

10. В

эллипс

 

 

 

большую ось эллипса в фокусах, лежащих на оси абсцисс. Написать

уравнение эллипса.8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11. Найти величину осей гиперболы, если расстояние между ее

фокусами равно 2у2, а угол между асимптотами прямой.

 

12. Написать

уравнение

гиперболы,

имеющей

общие фокусы

с эллипсом

X 2

+

—

18 и эксцентриситет,

равный

1,5.

и перпенди­

13. Найти

длину хорды,

проходящей

через

фокус

кулярной к действительной оси гиперболы 9х

2

—

\6у2

=

144.

14. Найти длину хорды, проведенной через1

фокус

перпендику-

лярно к большой оси эллипса

— Ь

= .

 

 

 

 

 

 

15. Через' фокус параболы у2 = 2рх проведена хорда, перпен­ дикулярная к ее оси симметрии. Найти длину хорды.

X 2

у 2

16. На гиперболе — -gg- = 1 взята точка с абсциссой, рав­

ной 12. Найти фокальные радиусы этой точки.

17.Вычислить длину сторон правильного треугольника, вписан­ ного в параболу у2 — Ах.

18.На параболе у2 = Зх взята точка, ордината которой равна 2 . Найти расстояние этой точки от фокуса.

19.Мнимая полуось гиперболы, имеющей фокусы на оси Ох, больше вещественной полуоси на 2 ; одна из ее асимптот проходит

через точку <4(10; 14). Написать простейшее уравнение этой гипер­ болы.

20. Написать уравнение гиперболы, если ее асимптоты даны урав-

нениями

 

3

и известно, что гипербола проходит через

у = ± - ^ х

точку

А

(іО; —

ЗѴ Т ).

 

 

 

 

§ 371

К О Н И Ч Е С К И Е С ЕЧ ЕН И Я

103

х2

+

у2 —

9

проходит через фокусы гиперболы,

.21. ОкружностьОх.

 

лежащие на оси

 

Написать

уравнение этой гиперболы,

если

одна из ее асимптот образует с положительным направлением оси

Ох

угол, равный arctg

2

.

 

у2

 

 

А

 

22. В

окружность

 

 

X 2

+

=

25 вписан эллипс с фокусами, ле­

жащими

на оси

Ох.

Радиус окружности, проведенный в ее точку

 

(4; 3), делится эллипсом пополам. Написать уравнение этого

эллипса.

 

Ѵ2

 

 

 

~ ~

 

 

 

 

 

23. В

 

 

+

(у2

 

вписан прямоугольник, две проти-

 

 

эллипс —

 

о

= I

 

 

 

 

IUU

 

 

 

 

 

 

воположные стороны которого проходят через фокусы. Найти длину

его сторон.

 

9х2

 

 

у2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24.

В

эллипс

 

+

16

 

= 144 вписан квадрат. Найти

длину его

сторон.X 2

 

у2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М

 

 

 

 

 

25. Под влияниемМнекоторой силы точка

двигалась по окруж­

ности

 

+

 

— 10х +

бу +

9 =

0. Действие

силы

прервалось в тот

момент, когда точка

 

совпала

с точкой

А(

2; 1)

окружности. Опре­

делить дальнейшую траекторию точки.

 

 

 

 

 

 

 

26. Даны уравнения двух окружностей:

 

 

 

 

 

 

X 2 + у2 — 6х — 2у —

3

—

0

и

X 2 + у2 — 4х — бу +

3

=

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Показать, что линия их центров перпендикулярна к их общей хорде.

27. Камень, брошенный с крыши дома

параллельно

 

горизонту,

упал на землю, описав параболу

х2 =

—5у. На

каком

 

расстоянии

от вертикали упал

камень на землю, если высота дома

2 0

м?

28. Парабола,

симметричная относительно оси

Оу,

 

с

вершиной

в начале координат пересекает эллипс

* 2

 

у2 =

 

16 в

 

точках, ле­

его

+ 4

 

 

жащих на хордах, проходящих через

 

фокусы

 

перпендикулярно

кбольшой оси. Написать уравнение параболы.

29.Фокальные радиусы точки эллипса равны 2,6 и 7,4; хорда,

выходящая

из

этой

 

 

точки

н

перпендикулярная

к

большой

оси его,

равна

 

4,8

и определяется

 

уравнением

х

 

— 3 =

0.

Написать

уравне­

ние эллипса.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30. Камень, брошенный под острым углом к горизонту, описал

дугу параболы и упал на расстоянии

16

 

 

от начального положения.

Написать

 

простейшее

уравнение параболы,

зная,

 

что наибольшая

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

 

м.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

высота подъема камня равна1 , 0 2 м\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31. Параболическое зеркало рефлектора Симеизской обсерва­

тории

 

имеет диаметр

 

 

 

 

 

 

расстояние его

фокуса от

вершины

равно

 

5

м.

Найти

 

глубину

 

параболической

выемки,

которую при­

шлось сделать

2

при0

изготовлении зеркала

из плоского

стекла. -

 

 

32.

На

 

параболе

у2 =

8

х

найти

 

точку,

расстояние которой от

фокуса

равно .

 

 

 

 

 

 

 

 

Ох.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33. Парабола с вершиной в начале координат расположена сим­

метрично

 

относительно

 

оси

 

 

 

 

Определить фокальный радиус

ее

точки

М(

2;

4).

 

 

 

 

 

 

М.

 

 

 

 

М

 

 

 

 

 

 

у2

 

\2х

 

 

 

34. Фокальный

 

радиус

 

точки

 

параболы

=

равен

6

.

Найти координаты точки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М,

 

 

 

 

 

 

 

35.

На

 

параболе

 

у2

=

 

4,5*

взята

 

точка

находящаяся от

ди­

 

 

 

 

 

 

 

ректрисы на расстоянии 9,125. Найти расстояние этой точки от вер­ шины параболы.

104

К РИ В Ы Е ВТО РО ГО П О РЯ Д К А

[ГЛ, IV

 

36.Определить эксцентриситет эллипса, если расстояние между его фокусами равно расстоянию между концами большой и мало!'! осей.

37.Найти эксцентриситет эллипса, у которого большая ось втрое больше малой.

38.Земной меридиан приближенно представляет собой эллипс,

отношение

осей

которого

равно

299 :300.

Определить

эксцентриси­

тет земного меридиана.

А

 

В.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

39. Прямая

X

— 10 =

0В

пересекает

гиперболу

и

ее асимптоту

соответственно

в точках

 

и

 

Написать 8

уравнение

этой гипер­

болы, если ордината точки

равна

5,

а длина отрезка данной пря­

мой, заключенного внутри гиперболы, равна .

 

 

 

 

 

40. Фокусы гиперболы лежат на оси

Ох.

Найти

острый угол,

образуемый

каждой

из

асимптот гиперболы с ее вещественной

осью, если вершины гиперболы отстоят

от ее центра

на

О

расстоя-

нпя фокуса

от центра.

 

 

 

X2

i t

=

1

лежат

 

 

 

41. Две

вершины

эллипса -jg- +

9

 

в фокусах гипер­

болы, вершины которой находятся в фокусах данного эллипса. Со­

ставить уравнение гиперболы.

 

 

 

 

 

42. К окружности

хг

+

у2

— 4* +

Зі/ + 5 =

0 проведена секущая

X

—

2 у

— 3 = 0. Написать

уравнения

сторон

прямоугольника, впи­

 

 

санного в данную окружность и имеющего стороной внутренний

отрезок данной секущей. 2х

у -г-

 

 

 

 

 

 

 

х2

 

у2

 

6

 

 

43.

Найти

расстояние

от

центра

окружности

+

—

.ѵ —

— 4(/ +

5 = 0 до прямой

AB,

3 =

0.

 

У2

 

8 у

 

 

 

 

 

 

 

 

44.8

Из точки С(5; 4) окружности

х2

+

—

— 9 =

0 опущен

перпендикуляр

на

диаметр

 

 

конец

которого

 

лежит

в

точке

0(3; ). Найти длину этого перпендикуляра.

 

 

 

 

 

 

 

 

у

 

45. Определить

координаты

вершины

и

фокуса

 

параболы

=

 

 

 

=X2 + бх.

46.Парабола симметрична относительно оси Ох, вершина ее

помещается в точке

О

і (—5;

0) и на

оси

Оу

она отсекает хорду,

равную

12. Написать уравнение этой параболы.

 

 

47.

Вычислить параметр

 

параболы

у2

=

рх,

если известно, что

 

 

2

 

она касается прямой

х

—

2у

+

5 ="0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ

Г Л А В А V

ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

§ 38. Абсолютная величина и соотношения, связан­ ные с ней. В дальнейшем изложении курса нам встре­ тится необходимость рассматривать соотношения ме­ жду абсолютными величинами некоторых выражений.

Абсолютная величина числа а обозначается |а|. Напомним, что по определению

 

|а|а=

а,

 

если

а ^ О ;

 

 

АбсолютнаяI

I =

— а,

 

 

если

а

< 0.

 

 

 

 

 

суммы

 

 

величина

алгебраической

меньше или равна сумме абсолютных величин сла­

гаемых.Г.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Например:

4 +

6| =

1

12| =

12,

 

 

 

а) І2 +

 

 

 

 

I 2 I +

I 4 I +1 6 I =

2 +

4 + 6 = 12,

 

следовательно, |2 + 4 +

6| =

|2| +

|4| + |6|;

 

 

б) | - 5 - 2 | = | - 7 | = 7,

 

 

 

| - 5 | + | - 2 | = 5 + 2 = 7,

 

следовательно, | — 5 — 2| =

 

| — 5 ] + { — 2 |;

 

 

в) I - 5 + 21 = | - 3 1 = 3,

 

 

1 - 51 +

|21 = 5 +

2 = 7,

 

следовательно,ше или равна разности1— 5 + 2

абсолютных| < | — 5| + |2|.величин уменьшае­

2.

Абсолютная

величина разности двух

чисел боль­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мого и вычитаемого.

106

 

 

ТЕО РИ Я П Р ЕД ЕЛ О В

[ГЛ. V

Например:

а) |7 — 9| = | - 2 | =

2,

т. е. I 7 - 9

I

 

I 7 I — I 9 I = 7 — 9 — — 2,

 

> I 7 I - I 9 I;

 

б) I 9 — 7 I = I 2 I = 2,

| 9 | - | 7 | = 9 - 7 = 2,

т.е. I 9 — 7 I = | 9 I — I 7 |.

3.Абсолютная величина произведения конечного числа сомножителей равна произведению их абсолют­ ных величин.

Например:

 

 

I 30 I = 30,

 

 

 

I (—3) - 5 •I(—2) I =

30,

 

 

I —3 1- 15I

■ I - 2 | = 3 - 5I

- 2 =

т. е. I (—3) • 5 • (—2)

= I —3 I • I 5 I •

—2 |.

4.

Абсолютная величина

частного

равна частному

абсолютных величин делимого и делителя.

Например:

— 15

=

| - 5 | =

 

 

 

а)

3

 

 

- 1 5

1— 15 1

І - І 5 І

— 15- 5

 

 

 

9 1з 1

 

 

 

3

І 3!

-20

= | 4 | — 4.

 

 

 

б)

- 5

 

20 -

4

 

 

-20

1-201

1-20 1_

 

 

1—5 1

5

 

 

ѵ § 39. Последовательность. Характер изменения пере­ менной величины. I. Пусть дано множество чисел, рас­ положенных в определенном порядке, например:

2; 4; 8; 16; 32; 64; . . . ; 2"; О)

тогда каждому числу этого множества можно припи­ сать номер места, которое оно занимает.

Смотрите также файлы