Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 363

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ ЗУ]

Х А РА К ТЕР И ЗМ ЕН ЕН И Я

П Е Р Е М Е Н Н О Й ВЕЛ И Ч И Н Ы

107

Так, число 8

занимает

третье место,

32 — пятое,

 

 

 

 

Числовой

последовательностью

64 — шестое последовательностьюи т. д.

называется

занумеро­

или просто

 

чисел,

расположенных

в порядке

ванноеО п р емножествод е л е н и е .

возрастания номеров.

 

 

 

 

 

 

 

 

Совокупность чисел (1) служит примером последо­

вательности.

 

 

 

 

 

 

 

 

Обычно последовательность записывают в общем

виде таким образом:

 

«з,

. • *,

пп,

»«. >

 

 

 

U[,

U21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где u„ называется общим членом последовательности.

Зная формулу общего члена последовательности, можно найти любой ее член. Например, десятый член последовательности (1)

гг10 = 2 і0 = 1024.

П р и м е р

1.

Найти

восьмой

член последователь­

ности

'

.

2 .

3 .

.

п

! ’ •••

Р е ш е н и е .

2

*

3

’ 4

’ • • • ’

п +

 

 

 

_____8

 

 

 

 

 

 

— 8 + Г

 

 

П р и м е р

2. Найти

ности

8

 

п

J _ . _ 2 . j H

 

2 ' 4 ’

 

' " *' 2" ’ " *

Ри1е ш~ е

27н и~е .

7

_

 

7 _

 

 

 

128 *

седьмой член последователь-

0

а

А

 

_л_

X

 

 

 

-ѵ~

X

Рис. 63.

II. Мы знаем (§ 5), что в математике и ее прило­ жениях встречаются величины постоянные и величины переменные. На числовой оси Ох (рис. 63) постоянной величине а соответствует неподвижная точка .4, а пе­ ременной величине х — движущаяся вправо или влево точка М.

Переменная величина может изменяться весьма раз­ нообразно: возрастать, убывать, переходить от возрас-

108 Т ЕО Р И Я П Р ЕД ЕЛ О В [ГЛ. V

тания к убыванию и т. д. Закон изменения переменной величины можно задать последовательностью числовых значений, которые она принимает. Пусть, например, переменная х принимает числовые значения последо­ вательности (1). Закон изменения здесь состоит в том, что каждое новое значение переменной х вдвое больше предыдущего.

Как видно, переменная в этом примере изменяется скачкообразно; однако очень часто рассматриваются переменные, изменяющиеся непрерывно; например, вре­ мя, путь, проходимый телом, и т. п.

Переменная величина, которая в процессе измене­ ния постоянно возрастает или постоянно убывает, на­ зывается монотонной. Примером такой величины слу­ жит переменная, принимающая значения (1).

Всякая величина, меняющаяся не монотонно, назы­ вается колеблющейся. Например, переменная величина, изменяющаяся по закону последовательности

1. о- —■ —■ —• —■ — •

1; 3 * 3 ’ 9 ’ 9 ’ 27 ’ • • •’

члены которой попеременно увеличиваются вдвое и

уменьшаютсяограниченныевтрое, являетсянеограниченные.колеблющейся.

Переменные величины по характеру изменения еще

делятся на

и

О п р е д е л е н и е .

Переменная величина у назы­

 

вается ограниченной, если, начиная с некоторого ее значения, выполняется неравенство

еде М — какое-либо

I У \ < М ,

 

 

 

постоянное

положительное

число.

ограниченная

 

хв про­

Например,

t g x —

 

х переменная

межутке значений аргумента от

= —45°

до

= 45°,

так как в этом случае

|tgx|sg; 1.

 

величинами

Наряду с

ограниченными переменными

встречаются и такие, которые не удовлетворяют выше­

указанному определению.

Возьмем,

например, tg x

в промежутке значений аргументах,

Nот

0 до 90°.i g xКакое> N .

бы большое положительное

число

мы нинеограничен­взяли, най­

ной.дется в первой четверти дуга

для которой

Такая переменная величина

называется

§ «1

Б ЕС К О Н ЕЧ Н О

М АЛАЯ В ЕЛ И Ч И Н А

109

ѵ § 40. Бесконечно малая

величина. Возьмем перемен­

ную величину а, принимающую последовательно зна­

чения:

1-

-L-

1 -

1-

1 .

6

 

(1)

 

1 - .

ИЛИ

’ 2 ’

3 ’

4 ’

5 ’

 

’

' '

__і. _ 1 .

_ ± .

_ j _ .

_ 1 . _ _ L .

(2)

По мере увеличения номера места, занимаемого чле­ нами этих последовательностей, абсолютная величина а уменьшается, и какое бы малое положительное чис­ ло е мы ни выбрали, в каждой из указанных последо­

вательностей

найдется число,

аначиная с которого' аб­

солютная величина значений

будет

меньше выбран­

ного е. Пусть,

например, е =

0,001. В

соответствующем

удалении от начала каждой из данных последователь­ ностей найдем число, по абсолютной величине меньшее, чем 0,001, причем абсолютное значение членов, следую­ щих за найденным, остается меньше этой дроби. Если

возьмем еще меньшую дробь,

например е = 0,0001, то

и в последовательности (1)

и в последовательности

(2), если достаточно удалиться от их начала, найдется число по абсолютному значению меньшее, чем 0,0001, причем абсолютные величины последующих членов

также будут меньше, чем 0,0001.

 

а

стремится

к нулю.В этом случае говорят, что

величина

неограни­

ченно приближается к нулю

или, иначе,

 

Этот факт записывают так: а -> 0 .

Геометрически процесс изменения величины а, прини­ мающей значения последовательности (1), можно пред­ ставить изменением абсциссы точки А, перемещающей­ ся по координатной оси в направлении, указанном стрелками на рис. 64. Какое бы малое положительное число мы ни взяли, наступит момент, когда абсцисса точки А станет и в дальнейшем останется меньше вы­ бранного числа.

Процесс изменения величины а, принимающей зна­ чения последовательности (2), представится изменением

п о

ТЕО РИ Я П Р ЕД ЕЛ О В

[ГЛ. V

Вперемещающейся по

абсциссы точки В,

координатной

оси в направлении,

указанном на рис. 64.

И в этом слу­

чае абсцисса точки

по абсолютной величине сделается

и останется меньше напередПеременнаязаданноговеличинаположительногоа назы­

ваетсячисла, какбесконечнобы маломалой,оно нпеслибыло.она изменяется так, что,

какоеО п рбые дмалоее л е н иположительноее .

число

ни взять,

становится и при дальнейшем изменении величины а

остается меньше е.

 

 

 

 

 

 

е

 

|сс|

Не

следуетсм смешивать

бесконечно малую

величину

с ничтожно малой. Так, например, при сравнении дли­

ны в

1

 

с

 

расстоянием

 

Земли

от

Солнца

---+■ --------------- 1----1—н -------1------ н —I------1---------------- +-ъ>-

- -1

 

- 1 - 1 1 1

О

111

1

 

1

 

 

2

3

4

5

 

5

4

3

2

 

 

'(150 000 000

 

 

 

Рис.

64.

 

 

по

отношению ко

км)

первую

величину

Еторой можно считать ничтожно малой, но назвать ее бесконечно малой нельзя, так как она не меняет сво­ его значения, между тем как бесконечно малая вели­ чина — переменная.

Как видно, никакая постоянная величина не может быть бесконечно малой, так как*она по абсолютной ве­ личине не может сделаться меньше любой наперед за­ данной как угодно малой величины.. Однако нуль составляет исключение из всех постоянных величин; нуль всегда меньше любого сколь угодно малого по­ ложительного числа. Поэтому нуль относят к беско­

нечно малым величинам.

 

 

а =

-^г

при

П р и м е р 1. Переменная

3;

4;

я =

0;

1;

2;

 

получает значения: ± .

1 -

18 -

J L .

 

’ 2 ’ 4

’

’

16 ’ " *

Какое бы

малое положительное число

мы ни взяли,

в данной

последовательности найдется

число, меньшее

Смотрите также файлы