Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 362

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 40]

Б Е С К О Н ЕЧ Н О М АЛАЯ В ЕЛ И Ч И Н А

ІИ

взятого. Выберем, например, дробь 1QQQ . При п = 10 по­

лучим:

 

 

_

 

1 0

_

1

,

I

 

 

 

Таким

образом,

а

2

 

 

1024

^ 1000 ‘

 

указанных

ппеременная

а =

 

при

выше

значениях

есть

бесконечно

малаяАОМ

величина.

П р и м е р

2.

Возьмем

окружность

радиуса, равного

единице (рис. 65). Обозначив

угол

 

 

в

радианной

мере через а,

получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РМ

=

РМ

 

 

п м

 

 

 

 

 

 

sin а = -ОятгМ

—г~ =

РМ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Но, как видно из рисунка,

 

 

 

 

 

или

РМ <

^ AM,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РМ <

а.

 

 

 

 

 

 

Рис.

65.

Поэтому

sin а <

а.

 

 

 

 

 

 

Если а неограниченно приближается к нулю, то тем

более

sin а

стремится

к нулю. Следовательно, sin а при

а —*0 — бесконечно малая величина.

 

имеет отрицатель­

Тот же

вывод получим, если

угол

ное значение —а. В этом случае при сс->-0 абсолютная

величина

sin(—а) также

стремится

к нулю, а

пртому

sin (—а)

при

а - + 0 — величина 'бесконечно малая.

 

П р и м е р

3. Давление

газа

р

и

его объем

ѵ

свя­

 

 

заны функциональной зависимостью

где с = const. Как видно, с увеличением объема ѵ дав­ ление р уменьшается. Если объем ѵ увеличивать не­ ограниченно, то давление р будет неограниченно умень­ шаться. Какое бы малое положительное число е мы ни взяли, можно подобрать величину ѵ настолько боль­

шой, что дробь

станет меньше е. Следовательно,

112

 

 

 

 

 

 

ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

 

 

 

 

[ГЛ. V

давление

 

газа

 

р

— величина

бесконечно

малая,

если

объем его

ѵ

неограниченно растет.

 

,

 

 

 

V"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 41.

Бесконечно большая величина. Пусть перемен­

ная

величина

у

 

принимает

последовательно значения:

или

 

 

 

 

 

2; 4;

6; 8; 10;

12; . . .

 

 

 

(1)

 

 

- 2 ; - 4 ; - 6 ; - 8 ;

- 1 0 ;

- 1 2 ; . . .

 

(2)

Как

видно,у

с увеличением номера места, занимаемого

членами

 

написанных

последовательностей,

абсолютная

величина

 

 

возрастает.N Положим, что этот

процесс

воз­

растания идет неограниченно; тогда, какое бы большое

положительное число

мы ни взяли, в каждой

из ука­

занных

последовательностейN.

найдется

член,

начинаяN =

с которого все последующие члены по абсолютному

значению больше

 

Зададим,

например,

число

 

= 1000.

 

В

последовательностях

(1)

и

(2)

найдем

число, абсолютная величина которого больше 1000, причем абсолютные величины последующих членов также больше 1000.

—Ю -8 - Б -4 -2 0 2 4 6 в Ю

Рис. 6 6 .

Геометрически изменение величины у можно пред­ ставить изменением абсциссы точки, удаляющейся в бесконечность по координатной оси (рис. 66):

в первом

случае — вправо

от

начала

О,

во втором

» — влево

»

»

».

 

Переменная

величина у

называет­

ся бесконечно большой, если она изменяется так, что,

какоеО п рбые д ебольшоел е н и е . положительное

число N

ни

взять,

\у\ становится и при дальнейшем

изменении

величины

у остается больше N.

не следует

,

Бесконечно большую величину

смеши­

вать с очень большим числом, так как последнее по­ стоянно, бесконечно большая же величина — пере­ менная.

5 41]

БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШАЯ ВЕЛИЧИНА

113

•Если у — бесконечно большая величина, то услови­ лись записывать

у- + о о

ичитать: «игрек стремится к бесконечности». Необходимо помнить, что символ бесконечности не

выражает определенного числа, а указывает только на

характер

 

изменения

переменной

 

 

 

 

величины,

 

а именно на ее неогра­

 

 

 

 

ниченный рост.

1.

 

 

 

у =

из­

 

 

 

М

 

П р и м е р

 

Рассмотрим

 

 

 

 

менение

 

переменной

 

 

 

tg х

 

 

 

 

при * —»•-£-. Взяв

окружность

ра­

 

 

 

 

диуса

R

=

1

 

(рис.

67),

можем

 

 

 

Д

 

 

 

 

 

написать:

 

AM

 

 

AM

 

. . .

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

=

—— =

AM.

 

 

 

 

 

 

tg * =

 

X ,

 

 

в

пер­

 

 

 

 

Если

дуга

 

 

находясь

 

 

 

 

вой Aчетверти, приближается

К у ,

 

 

 

 

то

M

 

 

следовательно, tg x

неограниченно

растут.

 

N, а

Действительно,

 

какое бы большое положительноеN,

число

 

 

мы

ни

выбрали,

найдется N,в

первой

четверти

дуга,

тангенс

которой

 

будет

больше

а

потому

tg x останется

и

 

подавно

больше

если дуга

увели­

чится.

 

 

tg x

 

при

x ~ > - j

 

бесконечно большая вели-

 

Итак,

 

 

 

 

 

 

.чина.

 

 

 

 

2. Переменная величина

у = —

 

 

 

П р и м е р

 

 

 

 

 

 

 

 

при

х = 1 ;

 

1

т1 ; 5 , . . .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, 1

 

 

принимает соответственно значения: 1; 2; 3; 4; 5; . , ,

Если X неограниченно уменьшается ( х —»-О), то у не­ ограниченно возрастает, т. е. будет бесконечно боль­ шой величиной, так как, какое бы большое положи­ тельное число N мы ни взяли, найдется такое малое

114

 

 

 

ТЕО РИ Я П Р ЕД ЕЛ О В

 

 

ГГЛ. V

значение

х,

при

котором

у >

N.

Возьмем, например,

N =

1000.

 

Тогда,

подобрав -

х

= - 10* ,

получим

у —

 

 

 

 

=1001 > N .

Чтобы истолковать геометрически рассмотренную

бесконечно большую величину, напомним, что уравне­

ние У — — ПРИ положительных

значениях х определяет ветвь равносторонней гиперболы, рас­ положенную в первом координат­ ном угле (рис. 68). Из рисунка видно, что с неограниченным приближением абсциссы точки М к нулю значение ординаты ее неограниченно возрастает, т. е. представляет бесконечно боль­ шую величину.

\/ § 42. Связь бесконечно малой величины с бесконечно большой. Между бесконечно малой и бесконечно боль­ шой величинами существует связь, а именно:

 

если

у

 

бесконечно

большая

величина,

то

обрат­

ная ей

величина

у

 

бесконечно малая,

 

 

 

 

—

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

-----

 

 

 

 

 

если

а

 

бесконечно

малая

величина,

не

равная

нулю, то

обратная

ей величина

^- — бесконечно

боль­

 

—

 

 

 

 

 

 

 

 

шая.

Не доказывая этих утверждений, поясним их на примерах.

1. Пусть у — бесконечно большая величина, прини­ мающая значения:

1, 10, 100, 1000, . . . -*оо; тогда — получит соответственно значения:

1; 0,1; 0,01; 0,001; . . . - > 0 ,

т.е. будет бесконечно малой величиной.

2.Пусть а — бесконечно малая величина, прини­

мающая значения:

1; 0, 1; 0,01; 0,001; . . .

- > 0;

§ 431

П О Н Я Т И Е О П Р Е Д Е Л Е П Е Р Е М Е Н Н О Й

115

 

 

1 тогда — примет соответственно значения:

1; 10; 100; 1000; ... ->оо,

т. е. будет бесконечно большой величиной.

Ѵ^' § 43. Понятие о пределе переменной. Пусть перемен­ ная X , изменяясь, неограниченно приближается к числу 3 и при этом принимает значения:'

3,1; 3,01; 3,001; 3,0001; . . .

или

2,9; 2,99; 2,999; 2,9999; . . .

В этих случаях абсолютная величина разности х — 3 стремится к нулю. В самом деле, при указанных выше значениях переменной х

|д: — 3 1= 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; ...->0,

т. е. разность х — 3 есть величина бесконечно малая. Число 3 в нашем примере называется пределом пе­

ременной X.

Предел обозначается символом lim (от француз­ ского слова limite, что значит предел). Таким образом, в нашем случае можно написать:

 

 

1ітх =

3.

 

х —

 

есть

ломУпотребляютпеременной такжех, еслии такуюразностьзапись:между>-3. ними

бесконечноО п р е д е лмалаяе н и е .

Постоянная а

называется преде­

величина

а,

т.

е. 1ітх =

а,

если

X — а =

а.

 

 

На

основании этого определения

можно

записать:

x = a -j-a .

(1)

 

Отсюда следует, что предел бесконечно малой вели­ чины равен нулю, т. е.

1іша = 0.

Если переменная х неограниченно возрастает, то говорят, что она стремится к бесконечности: в этом случае условились писать:

lim X = оо.

Смотрите также файлы