Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл (15,67Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 360

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.


116	П р и м е р	1. В треугольнике						А В С (рис. 69) по-
		ТЕО РИ Я			П Р ЕД ЕЛ О В			ІГЛ. V
ложим		Z A C B = x,				Z B C D		= a-,
тогда		X	-f- о =			2d,
откуда							а.	(2)
		2d		—	X —

Если вершина В движется равномерно и безостано вочно по прямой, параллельной AD, то углы х н а ста новятся переменными, причем а будет бесконечно ма лой. Таким образом, в равенстве (2) разность между

постоянной	величиной			2d			и переменной			х стремится
к нулю, а потому согласноX							определению предела
П р и м е р	2.	В	lim				— 2d.			правильный
			окружность вписан
«-угольник (рис. 70).
Обозначив		ап,	О А		=		R	и	OK = hn,
АВ =
имеем из треугольника						(:
				АОЬ
				-
или		О А			ОК < АК					(3)

		R — hn < — .

Будем неограниченно увеличивать число п сторон этого многоугольника. Тогда hn и ~~ станут переменными


§ И]	С ВО Й СТВА		Б Е С К О Н ЕЧ Н О	М АЛЫ Х В ЕЛ И Ч И Н	117
величинами, причем			-у- будет	бесконечно малой. В са
мом, деле, сторонаап		правильногоАВ = —		я-угольника—,
	п < -w		п	= 2nR ■ п ’

где 2л;/? — длина окружности (см. § 46).

При неограниченном возрастании я дробь ^— бес

конечно малая величина (§ 40), 2яR — постоянный множитель. В § 44 будет доказано, что произведение постоянной величины на бесконечно малую — также бесконечно малая; поэтому

2лR •-п -> 0,7

s ’

т. е. а„ и, следовательно, -у- — бесконечно малые вели

чины. Из неравенства (3) следует, что в таком случае разность R — h„ также будет бесконечно малой вели чиной, а потому согласно определению предела имеем:

lim hn — R.

Л -> оо

П р и м е ч а н и е . Всякая переменная величина, име ющая конечный предел, в частности бесконечно малая, является ограниченной переменной.

§ 44. Свойства бесконечно малых величин.				бесконечно
П е р в о е	с в о й с т в о .	Произведение
			0)	есть вели
малой величины а на постоянную а(а ф
чина бесконечно малая.

Для доказательства возьмем произвольное положи тельное число е. Так как а — бесконечно малая вели чина, то |а| при изменении а может сделаться и остаться меньше любой положительной дроби, а сле

довательно, и меньше у у р т. е. с некоторого момента

будет

' или

[ аа I < в /

118		ТЕО РИ Я П РЕД ЕЛ О В				малая	[ГЛ. V
	Значит, произведение й а — бесконечно						вели
чина.		свойство		справедливо		и в	случае
а =	Рассмотренное
	0, как будет показано в этом же параграфе.
	П р и м е р . Умножив		бесконечно		малую	величину
	а = 1;	0,1;	0,01;	0,001;	. . . -* 0
на —8, получим				—0,08;	—0,008; . . .		(1)
	— 8а — — 8; —0,8;

Произведение —8а также является бесконечно малой величиной, так как, какое бы малое положительное' число е мы ни взяли, в последовательности (1) най дется дробь, абсолютное значение которой меньше е. Например, абсолютная величина —8а может сделать

нойся меньшена бесконечно0,0001; 0,00001;малую0,000001величинулі т. д.есть		бесконечно
малая.С л е д с т в и е .	Произведение ограниченной перемен

Так как ограниченная переменная меньше некото
рой постоянной (§ 39), доказанное свойство		бесконечно

малых можно распространить и на случай произведе ния ограниченной переменной величины на бесконечно малую.

Это следствие справедливо и для произведения двух бесконечно малых величин, а также для произведения нуля на бесконечно малую, так как бесконечно малые величины относятся к ограниченным переменным (при

мечание § 43), а нуль естьАлгебраическаячастный случайсуммабесконечнодвух
бесконечномалой (§ 40)малых.	а			есть величина бесконечно ма
В т о р о е , с в о й с т в о .
лая.		+	ß

Возьмем произвольное положительное число е. Так как а и ß — величины бесконечно малые, то |а| и |ß| каждая в отдельности с некоторого момента сделается и будет оставаться меньше любого положительного числа

е и даже	т. е. начиная	с некоторого момента будет
	\| а \| < \|	и \| ß \| < \| .

§ -14]	свойства б е с к о н е ч н о малы х	в е л и ч и н	119
Сложив эти неравенства, получим:		+ I ß K e .
M	+ I ß K f + y или M	+ I ß K e .

Но на основании § 38, п. 1,

"|a + ß | < | a | + |ß|. Поэтому, начиная с некоторого момента, будет


Следовательно,		a + ß	I а +		ß I < е-				малая.
			— величина			бесконечно
П р и м е р . Сложив				две	бесконечно малые				величины:
а == — 2;		—0,2;		-0 ,0 2 ;		-0 ,0 0 2;		. . . -* 0
ß =	— 14;	- 1 ,4 ;		-0 ,1 4 ;		-0 ,0 1 4;		. . . -> 0 ,
получим:	ß = — 16;		— 1,6;		—0,16;		—0, 016; . . . .			(2)
<x +
Результат	сложения			а + ß — тоже			бесконечно			малая

величина, так как, какое бы малое положительное чис ло е мы ни взяли, среди членов последовательности

(2) найдется дробь, абсолютная величина которой меньше е; например, |a + ß| может сделаться меньше 0,0001; 0,00001; 0,000001 и т. д.

Пользуясь методом математической индукции, лег ко доказать, что:

Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых есть величина бесконечно малая.

Нужно помнить, что конечность числа слагаемых в формулировке этого свойства существенна. Если нужно сложить бесконечно большое число бесконечно малых величин, то указанное свойство может оказаться неверным. Пусть, например, дана сумма п слагаемых

— + — + — + ••• + - •

п п п п

Если число этих слагаемых неограниченно растет, т. е.

оо, то каждое слагаемое - — бесконечно малая вели-

чина, т. е. -^•-»•0; однако сумма таких бесконечно малых

равна ~ • п — 1, т. е. не есть бесконечно малая величина.