Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл (15,67Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 361

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

120		ТЕО РИ Я П РЕД ЕЛ О В				[ГЛ. V
двух§ 45.различныхТеоремыпределов.о пределах.
	Т е о р е м а 1.	Переменная величина не может иметь
						что переменная	х
	Д о к а з а т е л ь с т в о . Допустим,
имеет два разных предела			А	и	В.	В этом случае со

гласно определению предела (§ 43) разность между переменной и ее пределом должна быть бесконечно

малой, т. е.					X — А		=	а,
					X — В
где а							= ß ,
	и ß — бесконечно малые величины.
Вычитая		из первого				равенства				второе, получим:
или		X	—	А	—	X +	В — а		— ß,
	часть	этого		а — ß =			В — А.			разность двух бес
Левая				равенства,				как

конечно малых величин, есть величина бесконечно ма


лая; правая же		часть — величина постоянная. Но				бес
конечно	малая	величинаВ —можетА		равняться	А постояннойВ,
только	в том случае,		если эта постоянная		равна	нулю
(§ 40);		Если две переменные величины, име
	следовательно,		=	0, отсюда	=	т. е.

переменная величина имеет один предел. С л е д с т в и е .

ющие пределы, при всех своих изменениях равны ме жду собой, то равны и их пределы.

В самом деле, каждая из переменных по доказанному имеет по одному пределу, но так как переменные равны между собой при всех изменениях, то они и стремятся

менныхк одинаковойвеличин,постоянной,имеющих пределы,т. е. имеютравенравныесуммепределы.преде
		Предел суммы конечного числа пере
ловТэтихе о р епеременных.м а II.
Д охкиа з а т е л ь с т в о . Возьмем две переменные вели
чины	у,	имеющие пределами соответственно				А	и	В,
т. е.		lim	X — А,					(1)
		lim	у	=	В.			(1)
		lim		=

§ 451	ТЕО РЕМ Ы О П Р ЕД ЕЛ А Х	121

у	Согласно определению предела (§ 43) разности			х	—	А
и	—	В	суть бесконечно малые величины, т. е.
и	—		суть бесконечно малые величины, т. е.

X — А — а,

у — В = & ,

где а и ß — бесконечно малые величины. Сложив эти равенства, получим:

{х + у ) - ( А + В ) = . а + $.

В левой части последнего равенства имеем разность ме жду переменной х -J- у и постоянной А -f- В, в правой же части — бесконечно малую величину (см. второе свойство в § 44).- Следовательно, согласно определению предела имеем:

lim (а: + у) = А + В.

Учитывая равенства (1), можем написать:

lim (х + у) — lim X + lim у.

Точно так же можно доказать эту теорему для трех, четырех и любого конечного числа переменных.

Те о р е м а III. Предел разности переменных, имею щих пределы, равен разности пределов этих переменных.

Как известно, разность можно рассматривать как ал гебраическую сумму, а потому теорему II можно распро странить и на разность.

Те о р е м а IV. Предел произведения конечного числа переменных, имеющих пределы, равен произведению пределов этих переменных.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Возьмем две переменные вели чины X и у, имеющие пределами соответственно А и В, т. е.

1ітх = Л, Пт у — В.

По определению предела [(1) § 43], можем написать:

X = А -|- и,

У = В + ß,

где а и ß — бесконечно малые величины.

122

ТЕО РИ Я П РЕД ЕЛ О В

[ГЛ. V

Перемножив эти равенства, получим:

ху = AB -f- ß/1 -|- ctВ -(- aß,

откуда

ху — AB = ß/1 -f- aß -)- aß.

В левой части последнего равенства имеем разность между переменной ху и постоянной A B , в правой же части каждое слагаемое — бесконечно малая величина (см. первое свойство в § 44), а потому сумма их — также величина бесконечно малая (следствие второго свойства §44) . Таким образом, разность ху — A B — бесконечно малая величина, а потому, по определению предела,

. или	lirn.vy =	AB,
. или	lim ху =	lim.v lim у.

Эту теорему можно доказать для любого конечного

величинычисла переменныхна переменную,сомножителей.имеющую предел, равен произ

С л е д с т в и е

Предел

произведения постоянной

ведению постоянной на предел переменной, т. е.

где а

постоянная,

lim

ах

lim

х,

—

а х

—

переменная.

Если

— постоянная величина, то, очевидно,

lim

а =

а.

Поэтому согласно теореме IV получим:

х.

lim

ах

lim

х = а

lim

ной,С лт.ее.д с т в и е

Предел

степени

переменной, имею

той же степени предела перемен

щей

предел,

равен

lim x"1=

(litnx)m.

ние

Втсамом

деле,

хт

можно представить' как произведе

одинаковых сомножителей; тогда

lim

хт =

lim

(х • X • х

. . .

х) =

. . . lim х = (lim x)m.

= lim x lim xlim х

Выведенное следствие, как доказывается в подробном курсе анализа, справедливо для любого действительного значения т.

. § 43]	Т ЕО РЕМ Ы О П Р ЕД ЕЛ А Х	123

Пользуясь этим, можно показать, что предел корня из переменной, имеющей предел, равен корню этой же

степени из предела переменной, т. е.
		ш			m	-------
			у ---			-------
		lim	X	=	У	уlimxх .					т,
					m		в	виде степени			х_L
Действительно, представив							в	виде степени
получим:		у х — Umxm					x)m =	у		x .
		m	_L				-L	т	--------
	lim			=	(lim			т	lim
	lim			=	(lim				lim

Т е о р е м а V. Предел частного от деления двух пере менных, имеющих пределы, равен частному от деления пределов делимого и делителя при условии, что предел делителя не равен нулю.

Д о к а з а т е л ь с т в о .			Пусть
			X	=	А,
		lim у
причем	В ФО.	lim		= В,		(2)

		Примем	без	доказательства существова

ние предела — ввиду сложности этого вопроса; докажем

только, что он равен частному от деления пределов			х	и	у*
Положим	7	= г ’		(3)
откуда
	x =	yz.

Приняв во внимание, что х, у и г имеют пределы, приме ним теорему о пределе произведения:

lim л: = lim # lim д:,

или

А — В lim г,

откуда

lim z = -g-.

Согласно равенствам (2)	и (3) имеем:
lim	_х	l i m X
при условии	у	limy
при условии

lim у ф 0.

124	ТЕО РИ Я П Р ЕД ЕЛ О В	\|ГЛ. V
	§ 46. Приложение теории пределов	к вычислению

длины окружности, площади круга и суммы членов бес конечно убывающей геометрической прогрессии. Впишем

в окружность		какой-нибудь	правильный многоугольник
A B C D E F	(рис.	71) и удвоим	число его сторон. Восполь

зуемся теоремой о том, что если выпуклый многоуголь ник лежит внутри другого, то периметр первого меньше

	и	А
	Рис. 71.	А
	Рис. 71.	Рис. 72.

периметра второго; значит, периметр полученного много

угольника	A K B L C M D N E R F S			станет	больше, так	как
		при
первый многоугольник лежит внутри второго.						пра
Таким	образом,		увеличении		числа сторон

вильного вписанного многоугольника периметр его уве личивается.

Опишем теперь около окружности правильный много

угольник	A B C D E F		(рис. 72)	и удвоим число его сторон;
мы получим		правильный		описанный	многоугольник
K LM NR S TU V WJ G ,			периметр которого		станет меньше,
	при
так как он лежит внутри первого.
Итак,		увеличении числа сторон правильного опи
санного многоугольника периметр его уменьшается.
Д л и н а о к р у ж н о с т и .				Можно найти только при

ближенное значение длины окружности. Покажем, как это делается.


Впишем в окружность радиуса				R	правильный много
				K
угольник		A B C D E F	и опишем около		нееп	одноименный,
тоже	правильный		многоугольник		LM N R S		(рис.	73).
				числа
При	неограниченном увеличении					сторон		этих

Смотрите также файлы

Массовых коммуникаций российской федерации ордена трудового красного знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образов.docx

Сынып 7.docx

Вы зашли под именем Алиева Виктория Николаевна (Выход) анпоо "нспк".pdf

Учебнометодическое пособие по курсовому проектированию А. Н. Губин спбгут. СанктПетербург, 2021. 30 с. Содержит рекомендации по выполнению курсового проектиро вания при изучении дисциплины Проектная оценка надежности ин формационных систем.pdf

Понятие мошенничества. Предпосылки, причины и условия возникновения.docx

Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно