Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 350
Скачиваний: 10
166 |
П РО И ЗВ О Д Н А Я Ф УН КЦ И И |
[ГЛ. VII |
|
|
Вычтя из Т2 значение Tlt получим приращение темпе ратуры АТ за время At:
АТ = Т2 - |
Т1 |
|
0,4 (10 + ДО |
2 |
— 40 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
отсюда |
|
|
|
= |
40 + |
8At |
+ 80,4 |
|
(At)2 — |
40 = |
|
8 |
A^ + |
0,4 |
(At)2, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Частное |
|
|
|
есть |
|
-g - = |
|
+ 0,4Af. |
|
|
|
|
|
тела |
за |
|||||||||||
ti = |
средняя |
|
скорость нагревания |
|||||||||||||||||||||||
времяt |
от |
|
|
|
|
10 до |
t2 |
= 10 -f- |
At. |
|
|
|
|
|
|
|
в |
мо |
||||||||
Чтобы определить скорость нагревания тела |
||||||||||||||||||||||||||
мент |
— 1 0 |
сек., |
найдем |
предел |
средней |
|
скорости |
на |
||||||||||||||||||
гревания при условии, что А^—► О. Получим: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
ДlimІ-У 0 |
Щг |
|
— |
ДlimІ-У 0 |
|
( 8 |
-j- 0,4 A^) = |
8 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
-д г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Итак, |
в |
|
момент |
t — |
10 |
|
сек. тело |
|
нагревается |
на |
8 |
° |
||||||||||||||
в единицу |
tвремени. Это значит, |
что |
если |
бы, |
начиная |
|||||||||||||||||||||
с момента |
|
= |
8 |
1 0 |
сек., тело нагревалось |
равномерно, то |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в каждую единицу времени температура его увеличи
валась бы на |
°. |
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
|
|
Упражнения |
|
|
у |
= |
2х |
— 1 при любом |
х. |
Найти скорость изменения функции |
|
|
|
|||||||
2. |
Объем |
V |
газа при температуре |
t |
определяется формулой |
|
||||
|
|
|
||||||||
V = 1 + 0,00751.
Определить скорость изменения объема газа при любой температуре.
2) |
3. Найти скорость изменения функции |
у = х2 |
.при |
1) |
х = \, |
||||||
л: = 3. |
|
|
|
|
в |
зависимости |
от времени |
||||
|
4. Сила ітока вР,амперах изменяется |
||||||||||
по |
закону |
= 0,2* |
где |
t |
— секунды. |
Найти скорость |
изменения |
||||
силы тока в конце четвертой секунды. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
§ 63. |
Производная |
функции. |
|
функции |
у — f(x) |
|||||
по |
О п р е д е л е н и е . |
П роизводной |
|||||||||
|
|
|
Дх-у0 |
— ■ отношения |
|||||||
|
аргументу х |
называется предел |
lim |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
приращения функции Ау к приращению аргумента Ах, когда A * r » 0 .
§ 63] |
П РО И ЗВ О Д Н АЯ Ф УН КЦ И И |
167 |
Для производной функции у = /(х) приняты обо значения:
у' («игрек штрих»), .
f ' (х) («эф штрих от икс»),
^(«дэ игрек по дэ икс»),.
у' («игрек штрих по икс»).
В целях упрощения производную функции, заданной аналитически, записывают в виде скобок, заключаю щих данную функцию, со штрихом с правой стороны. Например, производную функции у — 2х2 — З х + 1 можно записать так:
|
(2 х2 - Зх + |
1)'. |
|
Из определения производной следует правило: |
|||
Для отыскания |
производной |
функции |
y = f(x) по |
аргументу х нужно найти: |
|
у А у , |
|
1) наращенное |
значение функции, т. е. |
||
2)приращение функции, т. е. Ау,
3)отношение приращения функции к приращению
аргумента, т. е. Ду
4) |
предел этого отношения при |
Д х->0, |
т. е. |
lim диф |
|||
Процесс нахождения |
производной |
|
|
Ах -> о ь х |
|||
называется |
|||||||
ференцированием функции. |
Раздел |
математического |
|||||
|
|
|
|||||
анализа, занимающийся вопросами, связанными с про |
|||
изводной, называется |
дифференциальным исчислением. |
||
П р и м е р 1. Найти производную функции |
у |
= |
|
|
|||
. = X 2 + X.
Р е ш е н и е . 1 -й таг:
УАу — (х -f- Ах) 2 -(—(X -4“ Ах).
2 -й шаг:
Ау = |
(У |
+ |
Ау) — У = (•* + А |
* ) 2 |
|
(х |
+ Ах) — (х |
2 |
-+- х) = |
|||||||||
|
|
|
+ X |
|
||||||||||||||
|
|
= |
X2 |
+ |
2х Ах 4- (Ах |
) 2 |
+ + |
Ах :— х |
2 |
— х = |
) 2 |
+ Ах. |
||||||
3-й |
шаг: |
|
2х Ах |
+ (Ах)2 + |
Ах |
— |
= 2х Ах 4- (Ах |
|
||||||||||
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
А |
|
|
|
|
2х + Ах + |
1. |
|
|
|||||||
|
|
|
Ах |
|
|
Ах |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
168 П РО И ЗВ О Д Н АЯ Ф УН КЦ И И [ГЛ. VII
4-йу'шаг: lim |
- ~ = |
П т |
( 2 * -Ь Ах + |
1) = |
2 ' - - 1. |
|
||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
і |
|
|
|||
|
|
Д х -> О |
|
|
Д х -> О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у — —. |
|||
П р и м е р 2. Продифференцировать функцию |
||||||||||||||||||||
Р е ш е н и е . |
1 |
-й |
ушаг. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 - |
й |
шаг: |
|
|
J + |
А// = |
X |
|
. |
■ . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
+ |
Д |
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ді/ = |
О/ + Д 0 ) - 0 = |
7 ^ д 7 - 7 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3- |
й |
шаг:А / / ___ _________ 2 |
|
_ |
2 х — 2 л : — 2 А л : |
|
|
|
2 Д х |
|||||||||||
Да |
|
|
х |
( * |
+ |
|
Д х ) |
2 |
|
А ' (а + |
Д а ) " |
|||||||||
|
|
Да |
|
|
|
|
|
. Х ___ ______________ |
|
|
|
|
|
|||||||
4- |
й |
|
а (а + Да ) |
|
|
|
|
|
|
а (а + Д а ) ’ |
|
|
||||||||
шаг: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
у' |
= Дlimх->0 -Лт^х -= Дlimх -м ЛГ ------а: (,а |
+^ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Да .) J = — х ' |
|
|
|||||||||||||||
Производная |
|
функции |
|
у = |
f(x |
) |
является |
|
также |
|||||||||||
|
|
|
|
|
х. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функцией— X2 +аргументаX X |
значение |
производной |
функции |
|||||||||||||||||
f (х)П р и м е р З . |
Найти |
|||||||||||||||||||
|
|
при |
|
= |
3. |
|
в |
|
|
|
|
1 |
|
х = |
3, |
|
производ |
|||
Р е ш е н и е . |
Подставив |
найденную |
уже |
|
||||||||||||||||
ную данной функции |
(см. пример |
|
|
) |
|
|
получим: |
|||||||||||||
|
|
|
|
f |
(3) = |
2 - 3 + |
|
1= |
|
7. |
|
|
|
|
|
|
||||
В связи с данным выше определением производной |
||||||||||||||||||||
можно |
сформулировать |
|
определения |
рассмотренных |
||||||||||||||||
нами |
скорости движения |
(§ |
61) |
|
и |
|
скорости |
|
изменения |
|||||||||||
функции (§ 62) следующим образом.
Скорость прямолинейного движения тела в данный момент равна производной пути по времени, вычислен ной для данного момента.
Скорость изменения функции при данном значении аргумента равна производной функции при этом зна чении аргумента.
'§ 64J |
СВЯЗЬ Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РУ ЕМ О СТИ С Н ЕП РЕРЫ В Н О СТЬ Ю |
169 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Упражнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Найти производные следующих функций: |
|
|
|
|
|
|
|
2х. |
||||||||||||||||
|
I. |
у = |
4х — |
5. |
|
|
|
|
2. у = |
5х24 + |
|
1. |
|
|
|
|
|
3. |
fу = |
4х2 — |
|||||
f (х) |
= |
—2х2 |
+ |
х. |
|
|
|
б. о(х) = Зх2 - |
2х + |
5. |
|
|
6. |
(t) |
= |
- 2 |
t\ |
||||||||
4. V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
7. |
= |
и3 — и. |
|
|
|
|
|
|
8. |
= |
----- . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Дана функция f |
|
(х) = |
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
х2 — 5х. Найти: |
|
4) |
Г (—I). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
І)Г(З), |
|
|
2) |
Г (2,5), |
3) П О ), |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функция |
у = {(х) |
имеет производ |
|||||||||||||
|
§ 64. Связь дифференцируемости функции с непре |
||||||||||||||||||||||||
ную при каком -нибудь |
значении |
|
то при |
этом |
значе |
||||||||||||||||||||
рывностью. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
данная функция непрерывна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
нииТXе о р е м а. £сл« |
f(x) |
|
|
|
при каком-нибудь зна |
||||||||||||||||||||
|
|
X |
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть |
|
|||||||||||||||||||||||
чении |
|
функция |
|
= |
|
|
дифференцируема, т. е. имеет |
||||||||||||||||||
производную |
(§ 63) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
тогда по определению предела можем написать: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
где а |
|
|
|
|
|
|
|
|
Д х |
|
У' + а, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
и |
|
|
О при Д х —>0. Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ау |
У' Ах |
|
а Ах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Д х - > 0 |
Аи = |
|
Д х - > и |
(у' Ах) + |
|
Д х -> -0 |
(аЛх) = |
0 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
lim |
|
|
|
|
lim |
|
|
+ |
|
Пт |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
у'Ах) = |
0 |
, |
|
как предел |
произведения |
постоянной |
|||||||||||||||||
[lim ( |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Дх |
|
|
|
|
|
|
малую, |
и |
lim |
|
(оАх)== |
|
, как |
предел |
|||||||||||
->0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
на |
бесконечно |
|
|
0 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д х - > 0
произведения бесконечно малых]. Но функцию, для ко торой при данном значении аргумента выполняется ра венство
lim Ay — 0,
Д х -> 0
мы и называли непрерывной при этом значении apry^ мента (см. § 57). Теорема доказана.