Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Обратное же утверждение не всегда бывает верно, так как существуют функции, всюду непрерывные, но при некоторых значениях х не имеющие производной.

§ 65. Касательная. Касательную к окружности мы определили как прямую, имеющую с ней одну общую точку. Такое определение годится не для любой кри­ вой линии. Например, прямая M N касается кривой в точке А (рис. 89), но имеет с этой кривой не одну, а две общие точки. С другой стороны, прямая LR имеет с

кривой одну общую точку С, однако не является каса­

неограниченно приближается к точке М.

В математике и в технических дисциплинах часто приходится рассматривать прямую, проходящую через точку касания М перпендикулярно касательной; эта прямая называется нормалью к кривой в точке М.

§ 6 6 . Геометрический смысл производной. Пусть дана непрерывная функция y = f(x), график которой пред-

§ G6] г е о м е т р и ч е с к и й с м ы с л п р о и з в о д н о й 171

ставлен на рис. 91. Возьмем на нем точку М (х ;у ); тогда

OP = X и РМ = у.

Дадим X приращение

РР, = Ах; в этом случае наращенному значению абсциссы

О Рх— X + Ах

будет соответствовать наращенное значение ординаты

P lM l = f ( x + Ах)

точки М 1 кривой. Проведем из точки М прямую M Q, параллельную оси Ох, а также секущую через точки

М и М\. В полученном прямоугольном треугольнике

MiMQ

MQ = Ад:,

QMi = Р,М , — PM = f(x + Ах) - f (х) = Ау.

Обозначим угол наклона секущей ЛДР к положитель­ ному направлению оси Од: через ß; тогда

Z M XM Q = Z M R P = ß.

Остается определить угловой коэффициент каса­ тельной, для чего следует найти производную данной

угловой коэффициент касательной, проведенной в лю­

У' = 2 x 4 1

вместо а: подставить его значение, равное 2 . Получим:

6 = 2 - 2 + 1= 5 .

Искомое уравнение касательной напишется в сле­ дующем виде:

ведены касательная и нормаль. Написать их уравнения.

ГЛАВА VITT

ФОРМУЛЫ ДИ Ф ФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

В § 63 было дано основное правило нахождения производной. Однако применение его занимает много времени, а во многих случаях представляет большие трудности. Поэтому выгодно иметь такие правила, ко­ торые позволяли бы находить производные проще, с минимальной затратой времени. Действительно, та­ кие правила имеются, причем они выводятся из основ­ ного правила дифференцирования.

§ 67. Производная постоянной. Пусть С — постоянная величина; тогда равенство

У = С

можно рассматривать как выражение функции, не ме­