Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 348

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

176

Ф ОРМ УЛЫ Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО В А Н И Я

[ГЛ. VIII

 

 

Слагаемые правой части последнего равенства яв­ ляются производными функций и, V и ад. Получаем:

у' = и' + ѵ' — ад', или

(и 4- ѵ — ад)' = и' + ѵ' — ад'.

(Ill)

т. e. производная алгебраической суммы конечного числа функций равна алгебраической сумме производ­ ных каждой из них.

§ 70. Производная произведения двух функций. Пусть дана функция

 

и

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

у — иѵ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х.

где

и

— функции

 

от

х,

имеющие производные

по

Дадим

 

аргументу

х

 

приращение

Ах\

 

тогда

согласно

основному правилу имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1-

 

 

 

й

 

 

 

у

 

 

 

(и

Аи)(ѵ

-f- Ди).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

шаг:Ау =

+{уДг/=Ау)

- f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u v =

 

2-

 

 

й шаг: и Au

 

 

Au+Av

—у — (и

 

 

 

 

(ѵ

+

Au)—

 

 

 

 

 

 

uv — и

-j- Аи)

 

 

= uv

+

 

и Av

+х

 

Д х

-f-

 

Ах

—

 

 

 

 

Av

+

 

v Au

 

Au Av.

 

 

 

 

А

 

 

 

 

^

 

 

 

 

 

Дд-+-

 

 

 

 

 

3-й шаг: Д

у

_

« A D

I

нА«

j Au Av

 

,,

До

 

 

Aw

 

 

 

Да

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ах

 

-U —— \-ѵ т—.

ЬАМт--

 

4-й

шаг:

 

 

 

 

Ау_

 

 

 

 

Дл;

 

I1 Ал: I

 

л

 

Дл:

 

уи' — lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Au

 

 

 

 

=

Д х - > 0

Ах

 

 

 

 

 

 

+

Л lim

 

 

Д

х Д

и

 

Но а и а не зависят

 

 

 

 

 

 

 

 

(Aw

Д

т)-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х - > 0

'

 

 

 

 

 

от Д-т, а потому их нужно счи­

тать постоянными*) при Ах->-0; согласно

 

следствию

1

 

*)

Это

можно

проиллюстрировать

на

 

рис.

 

93.

 

Здесь

ОР =

х,

РР, = Ах, РМ = и. Если Дх 0, то РМ = « не меняется.

§ 71] П РО И ЗВ О Д Н АЯ П Р О И ЗВ ЕД ЕН И Я П О СТО ЯН Н О Й НА Ф УНКЦИЮ 177

теоремы IV § 45 можем написать:

 

 

 

lim

 

(и -^ -] =

и

 

Аа.

 

 

 

 

 

 

 

'

 

Аи /

 

 

 

Дlim

Аи

’

 

 

 

 

 

 

Дл; -> 0

 

 

 

 

 

 

 

д ;- > 0

Ах

 

 

 

Приращение

lim

 

 

 

Ах

=

 

V

lim

Т х '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А л - > 0

 

 

 

 

 

 

Дл: -> О

 

 

 

 

же

 

 

функции

 

Лгл

меняется с измене­

нием Д,ѵ, поэтому согласно теореме IV § 45 имеем:

Таким

 

lim

(д'

«

4

~ ) =

 

lim Л«Д limл -

4

^-.

 

 

А х -> 0

 

 

 

А Х

J Д л -> 0

 

 

> 0

 

 

 

 

образом

 

 

 

 

 

V

 

 

-Г Т +

 

 

 

hu

 

Аѵ

у ' — и

lim

Д.ѵ

+

 

 

lim

 

 

 

 

lim

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

Ах

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д л - > О

 

 

 

 

Д л - > 0

 

 

 

Д л - > 0

 

 

Д л -> О

Но

 

Ар

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д л - > 0

Ах

 

 

 

 

 

 

Д ..л -> О & х

 

 

 

,

 

 

 

lim

Аѵ

 

 

 

 

 

 

 

lim

Аи

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—-

 

 

и .

 

Далее, так как функция к дифференцируема, то она непрерывна (§ 64), следовательно,

Поэтому

lim

hu

=

0

.

 

 

 

 

Д л - > 0

 

 

 

 

 

у' = uv' - f VU' r\- 0 • v' = uv' +

vu'.

Итак,

(uv)' =

uv' +

vu',

(IV)

T. e. производная произведения двух функций равна сумме произведений первой функции на производную второй и второй функции на производную первой.

§ 71. Производная произведения постоянной на функ­ цию. Возьмем функцию

у = Си,

где

С = const,

и = f (х),

причем функция и имеет производную по х. Применяя правило (IV ), получим:

у'

=

(Си)'

=

Си'

+

иС' — Си'

+

и ■

0 =

Си',

 

 

 

 

=

Си'.

 

 

 

 

 

 

(Си)'

 

 

 

( V )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

178

Ф ОРМ УЛЫ Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО В А Н И Я

[ГЛ. VIII

т. е. производная произведения постоянной на функ­ цию равна произведению постоянной на производную функции.

§ 72. Производная частного. Возьмем функцию

где и и V — функции от х, имеющие производные по х, причем »т^ О при значении х, при котором находится производная. Применим основное правило дифферен­ цирования.

1

-й шаг:

У +

Ау

 

и - f - А и

-

у

 

 

 

(уо + А

Ау)р

 

 

2-й шаг:

 

А

=

+

 

 

 

=

- £

 

 

 

 

 

 

 

иу +

о

Аи —

3-й шаг:

 

 

 

о ( о

+

А у

о А »

—

и Д

о

Ах

р ( о

+

А о )

 

4-шаг: применяя теоремы V, теоремы IV § 45, находим:

иѵ —

и Д о

о А

и— и ко

Д

о )

 

о ( о

+

Л о ) ’

 

 

А и

 

Д

о

.

д

А д :

 

U Ах

’Х у ( о - f - Д о )

III, II' и следствие 1

 

 

 

А»

П т

 

(о

Ах

 

 

 

и Д о

\

А

х

->■ 0

Ах±о\

 

 

 

Ах )

y'—

П

т

Ах

П т

 

 

( о ( о

 

+

 

А о ) ]

 

 

 

 

о

Н т Дл->0

 

и

 

П

т

 

 

 

 

 

 

 

Аи

 

 

 

−>0

 

Д о

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

л7

 

 

 

А х - > 0

Ах

 

 

Д .г - М )

 

 

 

 

о

Г П т

 

о

- ( -

 

П т

 

Д о ]

 

 

 

 

L Д д с - >

 

 

д

х

 

 

 

J

П т

А*->-0

П т [ о ( о 4 - Д о ) ]

Дл:->0

 

уи'— иѵ'

ои'— иѵ'

o(o-t-O)

о2

Здесь,

как

и при выводе

формулыд * - > о(IV ), нужно

счи­

тать

и

и о не зависящими от

Ах,

а

lim Да = 0 .

 

Итак,

(и_)Ѵ___ ѵи' —

2

’

(VI)

 

 

 

\ о

 

н о

'

 

 

 

 

о

 

 

т. е. производная частного равна дроби, знаменатель которой есть квадрат делителя, а числитель есть раз­ ность между произведением делителя на производную делимого ■ и произведением делимого на производную делителя.

§ 74]

П РО И ЗВ О Д Н А Я С Т Е П Е Н И

С

Ц ЕЛ Ы М П О К А ЗА ТЕЛ ЕМ

179

§ 73. Понятие о сложной функции. Пусть даны две

тригонометрические функции

 

 

(

1

) -

и

г/ =

sin дг

 

 

у

=

sin

(х2

— х).

 

2

 

 

 

( )

В функции (1) аргументом служит х, а в функции (2) аргументом является выражение х21 — х, зависящее от X, т. е. функция X. Функция, аргументом которой слу­ жит функция, называется сложной функцией.

Обозначим

и — х2— X,

тогда функцию (2 ) можно записать так:

у — sin ц, где и = f {х) — X2— х.

Возьмем еще несколько функций:

1)

у — {Ах —

I)34,

4)

у =

а3*-1,

X2.

У

 

 

у

 

2)

=

1^1 +

X2,

5)

 

=

arctg

 

3)

y =

ln(2* + 3),

 

 

 

 

 

Все эти функции имеют аргумент, зависящий от х, по­ этому являются сложными функциями. Обозначив каждый из аргументов написанных функций через и, представим эти функции в следующем виде:

1

у =

и5,

 

где

2 )

У =

]/“и,.

 

)

у —

 

где

3)

у — In

 

где

4)

 

 

аа,

 

где

у

=

arctg

и,

5)

 

 

где

u =

f(x) =

4х — 1,

и

f (х) =

1

+

X2,

u =

 

 

 

 

= f {х) — 2х

 

 

u =

f(x) =

З х -г 3,

 

 

 

— 1

,

и =

f {х) =

X2.

 

§ 74. Производная степени с целым положительным показателем. Дана функция

у = и т, где u=f(x), т — целое 'положительное число. (1 )

Как видно, функция (1) является сложной функцией. Требуется найти ее производную.

Смотрите также файлы