Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 347

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

180

Ф ОРМ УЛЫ Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО В А Н И Я

[ГЛ. VIII

 

 

Пусть функция и имеет производную по х * ) . Рас­ смотрим сначала функцию

у = и2.

Представив ее в виде произведения и применяя пра­ вило (IV ), получим:

Как

видно,

правая

часть равенства (2)

 

(2)

исоставлена

по следующему закону: первый множитель

ее — пока­

затель

данной

степени,

второй — основание

 

в степени

на единицу меньше данной, а третий — производная их. Чтобы убедиться, что' и производная функции ит определяется по этому же закону, применим метод мате­

матической индукции.

Допустим, что справедливо равенство

(«'")' = тит~ хи'х.

(3)

Докажем, что и производная функции ит+1 подчиняется тому же закону. Для этого представим ит+і в виде произведения ити, а затем найдем производную от этого произведения по правилу (IV). Приняв во вни­ мание равенство (3), получим:

(ит+1У = ( и ти)' — ити'

 

и(ит)' = и ти'

 

шпит~хи'

X

=

 

'

'X

'

1X

 

 

 

X

 

 

 

'л

(1

 

X

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

ити'х

 

тити'х

итих

 

т)

 

(т

 

 

ити

 

 

=

+

 

 

 

+

 

 

 

=

+

 

)

'х .

 

 

 

 

{ит)х==

тит~'и'х,■ +•

 

и

 

 

 

 

Следовательно,

если

 

 

(т

+

 

)

 

 

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ит+1)'х =

 

1

 

ити'х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мы видели, что указанный выше закон верен для {и2)'х;

следовательно,

по

 

доказанному,

 

этот

закон

 

верен

и

для

(и3)';

если

же

 

он верен

 

для

(и3)',

то он

верен

и

для

(и%

и

т. д.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*) В дальнейшем изложении при нахождении производной от функции у = }{и) будем предполагать, что функция и дифферен­ цируема.

§ 76]

ПРО И ЗВО Д Н АЯ Ф УН КЦ И И

у = -и

181

 

L

 

Итак, при любом целом положительном показателе т имеем:

равнаТаким

 

 

 

(«'")(. =

ши

 

 

 

 

 

 

(VII)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

производная

степенной функции

 

у =

произведениюобразом,

трех множителей,

первый из кото­

=

ит, где и — f х

а т

 

 

целое положительное число,

рых

 

 

 

 

 

данной

степени,

второй основание

 

 

показатель( ),

 

 

—

 

данной

и

третий

 

 

про­

в

степени на

единицу

меньше

 

 

 

—

 

основания по х.

 

 

 

 

 

 

—

—

 

изводнаяи — X

, то

и'х =

х' =

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

 

 

(xmY =

 

1и формула (VII) примет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mxm~ l

 

 

 

 

(VI Г)

 

З а м е ч а н и е . Формулу (VII) мы, начиная

со

 

 

 

следующего па­

раграфа, будем применять для любых показателей

(дробных

 

и це­

лых),

хотя

доказано это будет позднее, в § 80.

 

 

 

 

 

 

§

75.

Производная

функция

у — Y u .

Найдем

 

про­

изводную функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у

=

Y u

,

 

где

и =

f (х).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Представив данную функцию в виде степени с дробным

показателем и применив затем правило

(V II), получим:

Итак,

y'x = { Y u ) ' x =

( и 2)х

 

 

 

(VIII)

т. е.

 

 

производная

функции у = У и ,

где u = f(x),

 

 

 

равна производной подкоренного выражения по х, де­ ленной на удвоенную функцию.

При

и = х формула (VIII)

преобразуется

в сле­

дующую:

 

-

 

сѵпп

§ 76.

(V x )' = W T

'у=^=^.

Пусть

(ѴІІГ)

Производная функции

 

дана

функция

-

 

 

 

1

182

ФОРМ УЛЫ Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО В А Н И Я

ІГЛ. VIII

 

Заменив

на и- 1

и дифференцируя полученную

функцию по правилу

(V II), получим:

 

Ух =

— I • и-2«'

( IX ) V

т. е. производная функции У — -^, где u = f(x), равна

частному от деления производной по х знаменателя на квадрат знаменателя, взятому со знаком минус.

При и = х формула (IX) принимает вид

(IX*) ' /

X 2

§ 77. Применение формул дифференцирования. Рас­ смотрим несколько примеров на применение выведен­ ных правил.

П р и м е р 1. Продифференцировать функцию

у = 2х3 — 4х2 + 5х — 3.

Р е ш е н и е . По правилу (III) имеем:

у' = (2хз)' - (Ах2)' + (5*)' - (3)'.

Применяя к

первым

 

трем

слагаемым

 

правило (V), ^

а к последнему — правило

(I), получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

у' =

2

(х3)' — 4

(х2)'

+ 5 •

х'

— 0.

 

 

Согласно правилам (VII*) и (II) имеем:

8х

 

 

 

 

у' =

2 • Зх

2

—

4

-2х + 5 • I =

6

х

2

-

+ 5.

 

П р и м е р

 

 

 

 

 

 

 

2. Продифференцировать

 

функцию

 

Р е ш е н и е .

 

 

г/ =

(х2+

1)(2х +

 

3).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По правилу

(IV)

имеем:

 

 

 

 

 

 

 

у' =

(X2

+

 

I) (2х + 3)' +

(2х +

3)

(X2

+

 

1)'.

 

По правилу

 

 

 

 

 

 

(III):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[(X2)'

 

 

.

У'

=

(X2

+

1)[(2х)' +

(3)'] +

(2х +

3)

 

+

(1)'].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П Р И М Е Н Е Н И Е

Ф ОРМ УЛ

Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО В А Н И Я

183

У'

 

По правилам

0

(V),

(II), (I)

и (ѴІГ):

 

 

=

(X2

+

1

)

( 2

+

) +

(2х

+ 3)

(2х

+

0

) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2*2 + 2 + 4х2 + 6х = 6х2 + 6 х + 2 .

Этот пример можно решить иначе: сначала пере­ множить выражения в скобках, а затем продифферен­ цировать полученную сумму:

.у =

(х2+

1) (2х +

3) =

2х3+

З*2 + 2х +

3,

 

у' =

(2х3 +

Зх2+

2х +

3)' =

6х2+

Зх +

2.

 

П р и м е р 3.

Продифференцировать

функцию

у —

 

хУ~х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

Преобразуем

данную функцию следую­

Р е ш е н и е .

щим образом:

 

2х • X 2

2хх2X

3 = 2 х 6.

 

 

 

 

 

X з

 

 

 

 

 

(V II*), получим:

 

 

Применяя правила (V) и

 

 

П р и м е р 4. Продифференцировать функцию

Р е ш е н и е . Представим данную функцию в следую­ щем виде:

у = 2 • — 3 У х + 4 • X 3.

Применяя правила (III) и (V), получим:

■І/' = 2( І ) '- 3 0 ^ У + 4 ^ ) .

184

 

ФОРМУЛЫ Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО В А Н И Я

 

[ГЛ. VIII

По правилам (IX’), (ѴІІГ) и

 

 

 

1

 

 

(VII*) имеем:-

 

^

2 ( - ^ ) - 3 - і 7 Г +

 

 

 

I .-- г

 

 

 

 

2_

 

3

4 _

 

( 2

I

 

 

 

 

 

 

_

 

 

 

Ч -

з

 

 

 

 

X 2

 

2 У х

±

 

 

 

 

I x 2 ^ 2 у :

 

з/ F )'

П р и м е р

5.

 

Зх3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У :

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Продифференцировать функцию

 

 

 

 

 

 

 

2х

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

л + X -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

(VI) имеем:

 

 

 

Р е ш е н и е . По правилуз

 

 

 

 

У,

2х (х2 +

х —

 

 

— (х2 + X — 3) (2х)'

 

 

Дифференцируя сумму

 

(2х)2

правилу

 

X)

получим:

(з/|

 

 

 

по

-

(III),

 

У.

2х [(х2)' +

(*)' -

 

 

 

(X- +

X -

3) (2

 

Наконец,

по

 

 

 

 

4х2

 

 

(I)

и

(V)

найдем:

правилам (VII*), (II),

=

2х(2х +

1) -

(х2 +

X - 3) • 2 _

 

4х2 +

2х -

2х2 — 2х + 6

 

 

 

4х2

 

 

 

 

 

 

 

 

4х2

6

X2+ 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2х2 +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4х2

 

2х2 -

Можно иначе продифференцировать данную функ­ цию, разделив в правой части данного уравнения по­ членно числитель на знаменатель. Получим:

 

У =

X2+

X - 3

 

 

 

_3_

 

или

 

 

2х

 

 

 

 

X ’

2х ’

 

 

 

У = Т

1

х +

Т1

'

 

 

отсюда

 

 

 

 

I

 

 

 

 

+ 3

 

 

 

 

 

2 \

 

 

X 2 )

2 ~ 2х2

П р и м е р

6

 

 

 

 

 

 

2х2

 

. Продифференцировать функцию

 

 

 

 

у =

3

—

Ах

+ 1)3.

 

 

 

 

 

 

 

(х

 

 

 

 

Смотрите также файлы